河南省周口市沈丘县第一高级中学2024~2025学年高一下册5月份诊断性考试数学试题【附解析】

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一、单选题
1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
A．B．C．D．1
2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，则
3．已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则，则
D．若，，，，则
4．已知三棱锥中，，，两两互相垂直，且，，，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2B．C．D．3
6．在正方体中，为棱上一动点，为底面上一动点，是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ）
A．棱锥B．棱台C．棱柱D．球的一部分
7．在长方体中，,分别在线段和上，，则三棱锥的体积最小值为
A．B．C．4D．
8．已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，分别为该正三棱柱内切球和外接球上的动点，则两点间的距离最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．B．，则
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．三个平面最多可以把空间分成8部分
B．若直线平面，直线平面，则“与相交”的充要条件是“与相交”
C．若，直线平面，直线平面，且，则
D．若条直线中任意两条共面，则它们共面
11．如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）
A．直三棱柱侧面积是B．直三棱柱体积是
C．三棱锥的体积为定值D．的最小值为
三、填空题
12．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
13．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是 ．
14．如图，正方体的棱长为3，点N在BD上，点M在上，且，平面，则BN的长为 ．
四、解答题
15．如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，交于点，且与均为正三角形，为的重心．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
16．如图，直三棱柱中，是的中点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，求四棱锥的体积．
17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是正三角形，E是的中点，且平面.
（1）证明：平面；
（2）若，，求点P到底面的距离.
18．如图，棱长为的正方体中，.
(1)若是线段的中点，求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
19．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作argz．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．
请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将写成三角形式（辐角取主值）．
(2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，，．
①当时，解关于的方程；
②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为，点，以PA为边作等边，且在的上方，求线段的最大值．