湖南省邵阳市一中、岳阳市一中联考2024−2025学年高三下学期4月知识检测 数学试题（含解析）

这是一份湖南省邵阳市一中、岳阳市一中联考2024−2025学年高三下学期4月知识检测 数学试题（含解析），文件包含2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型原卷版docx、2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A．B．C．D．
2．设直线的方程为，则直线l的倾斜角a的范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心内心
C．外心重心垂心D．外心重心内心
4．由曲线围成的图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列的通项公式为，前n项和为．则取得最小值时的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（ ）
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的的假设
C．不满足一元线性回归模型的假设
D．不满足一元线性回归模型的和的假设
7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（ ）
A．质点回到原点的概率为；B．质点回到原点的概率为
C．质点位于4的位置的概率为D．质点位于4的位置的概率是
8．如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．已知，则
D．已知，则
10．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ）
A．点到直线的距离是；B．直线到直线的距离是；
C．点到平面的距离是；D．直线到平面的距离是．
11．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次，则下列正确的是（ ）
A．按照统计专家的化验方法能减少化验次数
B．按照统计专家的化验方法不能减少化验次数
C．如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取7时化验次数最少
D．如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取8时化验次数最少
三、填空题
12．已知为锐角，且，使得①；②同时成立，则 ， .
13．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：

（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面所在四边形的面积为定值；
（4）棱始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号是
14．如图，直线与的边，分别相交于点，．设，，，，请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系为 ．
15．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．
四、解答题
16．如图，和所在平面垂直，且，．求：
（1）直线AD与直线BC所成角的大小；
（2）直线AD与平面BCD所成角的大小；
（3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值．
17．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足，
求证：
（1）数列为等差数列；
（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列．
18．已知等比数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
19．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
20．设，a是不等于的常数，探究X相对于的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意义．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，
又，所以为等边三角形，
则，故，
所以向量在向量上的投影向量为：．
故选A．
2．【答案】D
【详解】直线的方程为，
当时直线方程为，倾斜角，
当时，直线方程化为，斜率，
因为，所以，即，
又因为，所以，综上可得，
故选D.
3．【答案】C
【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.

考点：向量在几何中的应用.
4．【答案】A
【详解】解：当，时，可得，
，表示的图形占整个图形的，
而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆，
∴
故围成的图形的面积为：
故选A
5．【答案】C
【详解】由得，
由得，
所以当或时，，
所以取得最小值时，．
故选C.
6．【答案】C
【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型，根据对应的残差图，残差的均值可能成立，但明显残差的轴上方的数据更分散，不满足一元线性回归模型，正确的只有C.
故选C.
7．【答案】D
【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动6次，且每次移动是相互独立，则．
（1）质点回到原点，则，
，
所以质点回到原点的概率是；
（2）当质点位于4的位置时，则，
，
所以质点位于4的位置的概率是．
故选D
8．【答案】B
【详解】解：设，，，，则，，
于是，
又的周长为2，即，变形可得，
于是，
又，所以，
.
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】对于A：由，，
得，
所以，正确，
对于B：由，
所以，解得，正确，
对于C：由，
得，解得，，错误；
对于D：由，得：
．正确，
故选ABD
10．【答案】ABD
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则
对于A：因为，所以．
所以点到直线的距离为．正确，
对于B：因为所以，即
所以点到直线的距离即为直线到直线的距离
，
所以直线FC1到直线的距离为正确，
对于C：设平面的一个法向量为，．
由，令，则，即．
设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为．错误，
对于D：因为平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离．
，由C得平面的一个法向量为，
所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为．正确，
故选ABD
11．【答案】AC
【详解】按照统计专家的化验方法，需要化验两轮，第一轮化验次数为，
携带病毒的人占，因此携带病毒的人有(人)，
第二轮最多有500组需要化验，最多化验次数为，
因此这种方法最多化验次数为，化验次数减少．
按人一组，第一轮需要化验次，
如果携带病毒的人只占，则携带病毒的人有(人)，最多有200组需要化验第2轮，
第二轮最多化验次数为，因此最多化验次数为，当且仅当时等号成立，由于，易得，所以时，化验次数最少．
故选AC
12．【答案】
【详解】存在．由①得，
∴，
将②代入上式得，
因此，，是方程的两根，
解得，．
当时，∵，∴，此时不存在，舍去，
故，，
所以，
∵，均为锐角，∴，．
13．【答案】（1）（2）（4）（5）
【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，
其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，
所以（1）和（2）正确；
因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，
所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误；
因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确；
因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值，
所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确.
14．【答案】
【详解】如图所示，因为，所以，
即，
又因为，
，
，
所以，
即．
15．【答案】
【详解】解：因为异面直线a，b所成的角为，
则与得夹角为或，则，
由，
得，
即，
所以，
即公垂线.
16．【答案】（1）90°（2）（3）
【详解】解：设，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：
，， ， ，
（1），
，所以AD与BC所成角等于90°．
（2），显然为平面BCD的一个法向量
∴，直线AD与平面BCD所成角的大小
（3）设平面ABD的法向量为则
所以，即，令，则，
则
设平面ABD和平面BDC的夹角为，则
因此平面ABD和平面BDC的夹角的余弦为．
17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【详解】解：（1）因为等差数列满足，，所以，所以，所以
所以，即，即为公差为的等差数列；
（2）设数列中任意三项，，
则，假设成等比数列，则
即
因为
所以，所以，即，与矛盾，所以数列中的任意三项均不能构成等比数列．
18．【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意知当时，①，
当时，②，
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.
19．【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
20．【答案】X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，X相对于的偏离程度（即的方差）是相对于任意常数a的偏离程度中最小的，从而方差能很好的反映一组数据的集中与离散程度.
【详解】设取的概率为，
又，所以X相对于的偏离程度为，
X相对于a的偏离程度为，
又因为，，，
所以
，
，即X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，
结论的意义：X相对于的偏离程度（即的方差）是相对于任意常数a的偏离程度中最小的，从而方差能很好的反映一组数据的集中与离散程度.