湖南省部分学校2023−2024学年高一下学期期中联考 数学试题（含解析）

这是一份湖南省部分学校2023−2024学年高一下学期期中联考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A．2B．4C．-2D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
4．将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
6．一艘轮船从地出发，先沿东北方向航行15海里后到达地，然后从地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达地，则地与地之间的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．15海里
7．设，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知为第一象限角，若函数的最大值是2，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知（，），若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．D．点是图象的一个对称中心
11．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．当时，的值域是
D．当时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量．若，则 ；若，则 ．
13．已知某圆台的上、下底面直径分别为4，10，高为4，则该圆台的侧面积为 ．
14．已知函数在0,π内恰有两个不同的零点，则 ， .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数，．
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16．已知向量，的夹角为，且．
(1)求向量在向量上的投影向量；
(2)若，求的值．
17．在中，．
(1)若为的角平分线，且交于，求的长；
(2)若为的中线，且交于，求的长．
18．如图，在长方体中，分别在上.已知，.
(1)作出平面截长方体的截面，并写出作法；
(2)求（1）中所作截面的周长；
(3)长方体被平面截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积.
19．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)若为锐角，且，求的面积；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)当时，在四边形所在平面内，求的最小值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意得，，
则.
故选：B.
2．【答案】A
【详解】因为，所以
则z的虚部为2.
故选：A
3．【答案】D
【分析】根据正四棱锥的定义即可判断A；举反例即可判断BC；根据棱台特点即可判断D.
【详解】对于A：底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误；
对于B：以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误；
对于C：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，故C错误；

对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，故D正确.
故选D.
4．【答案】A
【详解】图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数.
故选：A
5．【答案】C
【详解】对于，则fx为上的增函数，
而，，，，，由于，
根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为.
故选：C.
6．【答案】A
【详解】在中，由题意可知海里，海里，.

由余弦定理可得，
则海里.
故选：A.
7．【答案】D
【详解】因为函数在R上单调递增，所以，即.
又因为函数在0,+∞上单调递增，所以，所以.
故选：D.
8．【答案】A
【详解】由题意可得，
，
则，解得，又为第一象限角，，
所以
.
故选：A.
9．【答案】BCD
【详解】依题意可得，则，解得，则，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD
10．【答案】ABD
【详解】解：由图象知：，
函数的最小正周期为，
，则，故A正确，
即，
又，得，
由，可知，故C错误，
从而，
，
点是图象的一个对称中心，故D正确，
，
，
故在上单调递增，故B正确；
故选：ABD．
11．【答案】ABD
【详解】因为，则关于直线对称，
则，因为函数是定义在上的偶函数，
则，则，则B正确，
则
则的图象关于直线对称，故A正确；
对C，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同，
当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误；
对D，当时，，则，
当时，，根据的周期为4，
则，故D正确；
故选：ABD.
12．【答案】
【详解】由于，则时，，解得；
则时，，解得.
故答案为： ；.
13．【答案】
【详解】如图，圆台的上、下底面直径分别为4，10，高为4，则.
则，根据侧面积公式，知道圆台侧面积为．
故答案为：．
14．【答案】 /
【详解】由题意可得.
令，得，
则或，
解得或.
由，得或，所以.
不妨取，
则.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解；
（2）由实部小于0与虚部大于得到不等式组，求出的取值范围．
【详解】（1）是纯虚数，
故，解得.
（2），
因为在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
故的取值范围为.
16．【答案】(1)；
(2)或3.
【详解】（1）由向量，的夹角为，且，得，
所以向量在向量上的投影向量为.
（2）由（1）知，，由，得，即，
整理得，解得或，
所以的值是或3.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
则
得，即的长为.
（2）由为的中线，则，
得，
故，即的长为.
18．【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】（1）如图所示，五边形为所求截面.
作法如下：
延长，与的延长线交于点，
连接并延长，分别交于，交的延长线于，
连接，交于点，连接，则五边形为所求截面.
（2）因为，所以，则，
由，可得，
得，则，
.
由，得，由，得，
则
.
故截面的周长为.
（3），
故所求体积为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）连接.
在中，由余弦定理可得，即.
在中，由余弦定理可得，即，
则，即.
因为为锐角，且，所以，所以，则，
故的面积为.
（2）四边形的面积，
则.①
由（1）可知，则.②
联立①②，解得，则，等号成立当且仅当，
所以四边形面积的最大值为.
（3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，
则，，，.
因为，所以，
所以，则.
由图可知，
当且仅当，，，四点共线时，等号成立，
故的最小值是.