重庆万州区224-2025学年高二下册第一次月考数学试卷[附解析]

这是一份重庆万州区224-2025学年高二下册第一次月考数学试卷[附解析]，共18页。试卷主要包含了 函数的单调递减区间为， 当时，函数的图象大致是， 下列结论正确的是， 设函数定义域为，若函数满足等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.
【详解】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即

又
即
故选：D.
2. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出定义域以及导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可
【详解】由题意，
在中，，
当时，解得（舍）或，
当即时，函数单调递减，
∴的单调递减区间为.
故选：B.
3. 函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是
A. 5，-15B. 5，-4C. -4，-15D. 5，-16
【正确答案】A
【分析】求出，判断在[0,3]上的单调性，再进行求解．
【详解】，令，得或，所以当时，，即为单调递减函数，当时，，即为单调递增函数，所以，又，所以，故选A．
点睛】本题考查利用导数求函数最值问题，考查计算能力，属基础题
4. 已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（ ）．
A. －1B. 0C. 1D. 2
【正确答案】D
【分析】根据极值点的定义即可求解.
【详解】由题意可知，若1不是函数极值点，则，即，
当时，，故当 ，当，因此是 的极值点，1不是极值点，故满足题意，
故选：D
5. 当时，函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】根据f(x)ef0,f20250，所以满足性质；
对于B，，则有唯一变号零点0，所以不满足性质；
对于C，，则m′x=ex>0，所以满足性质；
对于D，，则，所以满足性质.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 方程有唯一实数根
B. 在区间上单调递增
C.
D. 若且，则
【正确答案】BCD
【分析】先求出，然后讨论的单调性，即可判断A，B，C选项；对于D选项，使用基本不等式并结合的最小值即可验证.
【详解】设，则，所以恒为常数.
又由于，故.
所以，即.
对于A，由于，故对有，对有.
从而在上递减，在上递增，故，所以方程没有实数根，故A错误；
对于B，前面已经证明在上递增，故B正确；
对于C，前面已经证明，所以，故C正确；
对于D，若，，则，
故D正确.
故选：BCD.
关键点点睛：本题的关键在于构造合适的新函数，从而求出已知函数的表达式.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数的极大值点是________________；
【正确答案】
【分析】利用导数求解函数的单调区间，进而得到极大值点即可.
【详解】由题意得定义域为，
因为，所以，
令，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值点是.
故
13. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为___________；
【正确答案】
【分析】先求函数的导数，由函数在给定区间上的单调性得到在上恒成立，将其转化成在上恒成立，求出在上的最大值即可.
【详解】由，可得，(x>−m).
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，可得在上恒成立.
即在上恒成立.
设，则，
故在上单调递减.
所以在上的最大值为.
则.
同时，要使有意义，则在上恒成立，即在上恒成立，所以.
综上可得.
故答案为.
14. 设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：____________；
【正确答案】
【分析】先根据题中给出的结论确定函数的对称中心，再结合函数的对称性求值.
【详解】因为，所以，.
由.
又，所以点是函数的拐点，也就是函数的对称中心.
所以，
所以，，…，，，
所以.
故
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线在点处的切线方程；
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出，利用、求出函数的解析式再检验即可；
（2）求出得切点坐标，求出得切线斜率，再由直线的点斜式方程可得答案.
【小问1详解】
，
因为函数在处取得极值，
所以可得①，
②，
由①②解得，或，
所以，或
当时，
，
所以在R上单调递增，没有极值，不符合题意；
当时，，
当，或时，，当时，，
所以在，上都是单调递增，在单调递减，
所以在处取得极大值，且，符合题意.
综上；
【小问2详解】
由（1），，
，切点坐标为，
切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
16. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，记函数的最小值为，求证.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析.
【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可求出结果；
（2）根据（1）的单调性求出，再利用导数可证不等式成立.
【小问1详解】
的定义域为，
,
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
17. 万州区为提高市民的健康水平，拟在半径为20米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，，，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，健身广场的面积为．

（1）求出关于的函数解析式；
（2）当角取何值时，健身广场的面积最大？其最大面积是多少？
【正确答案】（1）
（2）；
【分析】（1）借助三角函数将矩形的长与宽，三角形的底与高表示出来，利用面积公式求解面积再相加即可.
（2）借助导数研究函数的单调性，求出的最大值，进而得到的最大值即可.
【小问1详解】
由已知得，
等腰底边上的高为，
而，
，
，得到.
【小问2详解】
设，则，
令，由，可得，令，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则时，有，
故，即时，健康广场的面积最大，最大值为.
18. 设函数
（1）当时，若在存在，使得不等式成立，求的最小值.
（2）若存在且，使得，求实数的取值范围.
（参考数据）
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由存在使不等式成立，只需，利用导数得到的最小值即可；
（2）分类讨论a保证在上不是单调函数，从而确定a的范围即可.
【小问1详解】
若存在，使得不等式成立，则只需，
由题意得，当时，，
则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
故在处取得极小值，即，
又，得到，
则，即，得到.
【小问2详解】
因为，所以，
因为存在且，使得，
所以在上不单调，下面我们对的范围分类讨论，
当时，，此时在上单调递增，与题意不符，排除，
当时，令，，
当时，得到，解得，
但此时，即，得到在上单调递减，与题意不符，排除，
当时，得到，解得，
此时结合二次函数性质得有两个变号零点，设其为，
即一元二次方程由两个根，且设，
由韦达定理得，，
故成立，得到有两个恒正的变号零点，
则有两个恒正的变号零点，满足，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
满足在上不单调，故符合题意.
关键点点睛：解题关键是分析给定条件得到函数不单调，然后对的范围分类讨论，再验证符合题意，得到所要求的参数范围即可．
19. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若有两个极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明.
【正确答案】（1）极大值为，极小值为.
（2）（i）；（ii）证明过程见解析.
【分析】（1）求导研究函数单调性即可；
（2）（i）求导后利用换元法，将问题转化为在上有两个不同零点，再求的取值范围；
（ii）利用（i）中的韦达定理将化简为关于的函数，进而求该函数的最大值即可.
【小问1详解】
当时， ，
则，
由得，；得，或，
则在和上单调递减，在上单调递增，
则的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
（i），
则，
令，则，
因，故，
当，即时，，
则在上单调递减，无极值，不满足题意；
当时，令，
欲使有两个极值点，
需使在上有两个不同零点，
则，即，
则取值范围为.
（ii）由（i）可知，，
则
令，则，
令，则，
则在上单调递减，因，
则存在使得，即，
则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
则，
又，则，则.
关键点点睛：第（i）的关键在于转化与划归思想，求导后得到，可令将其转化为一元二次函数，故而可将问题转化为在上有两个不同零点；第（ii）的关键在于利用（i）中的韦达定理将化简为关于的函数，进而求该函数的最大值.