山西太原2024_2025学年高一下册5月月考数学试卷[附解析]

这是一份山西太原2024_2025学年高一下册5月月考数学试卷[附解析]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ）
A．圆B．矩形C．椭圆D．梯形
3．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．直线与相交
C．A，B，C，D四点中不存在三点共线D．直线与平行
4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
5．在中，内角，，的对边分别为，，，则“”是“为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．已知圆锥的母线长度为6，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正三棱锥 P−ABC 中， PA=AB ，点 D ， E 分别是棱 AB ， PB 的中点，则直线 PD 与 CE 所成角的余弦值为（ ）
A． 36 B． 35
C． 16 D． 15
8．已知为锐角三角形，内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ）
A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．一个棱柱至少有5个面
10．已知的内角所对的边分别为，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．若，则的形状能唯一确定
11．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，是等边三角形，，，点D是棱PB的中点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．点D到平面ABC的距离为D．球O的表面积为
三、填空题
12．用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比 .
13．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上､下底面周长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 .
14．如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为 .
四、解答题
15．一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周.
（1）求所得几何体的体积；
（2）求所得几何体的表面积.
16．如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：
（1）平面PCD；
（2）平面平面PBC．
17．已知的内角的对边分别为，且的周长为．
（1）求；
（2）若，，是的平分线，且交于点，求．
18．如图，直四棱柱中，平面平面，平面与交于点.
（1）证明：三线共点；
（2）若二面角的大小为，
①求该四棱柱的体积；
②求多面体的体积.
19．如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确.
故选:C.
2．【正确答案】B
【详解】如图所示，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，
可得分别为圆柱的母线，所以且，
又因为圆柱的母线与底面垂直，且在底面内，所以，
所以截面为矩形.
故选B.
3．【正确答案】C
【详解】由已知条件将四个点的位置定下来，可得选项.
【详解】因为空间四点A，B，C，D不共面，所以这四个点的位置如三棱锥的顶点和底面三角形的顶点，所以只有C选项正确，
若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故A错误；
若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确；
若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故D不正确，
故选C.
4．【正确答案】D
【详解】若，，则或，故A错误；
若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，故B错误；
若，，则或，又，
则与可能平行，可能相交，故C错误；
两条平行直线，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直，故D正确．
故选D．
5．【正确答案】A
【详解】因为，由正弦定理可得，所以，
所以，所以，
因为，，所以，，则，
所以为直角三角形，但为直角三角形时不一定是，
所以“”是“为直角三角形”的充分不必要条件．
故选A．
6．【正确答案】B
【详解】设圆锥的顶点为，记点是底面圆周上的一点，作出圆锥侧面展开图如图所示：

又蚂蚁爬行的最短路程为，故，又，
所以，
所以．设圆锥底面半径为，高为，
则，解得，所以，
所以圆锥的体积．
故选B．

7．【正确答案】C
【详解】如图，取线段 BD 的中点为 G ，连接 EG ， CG ，由点 E 是棱 PB 的中点，可得 EG//PD ，所以 ∠CEG 为直线 PD 与 CE 所成角或其补角.
不妨设 AB=4 ，由题知正三棱锥 P−ABC 为正四面体，则 PD=23 ， CE=23 ，所以 EG=3 .
在 △BCG 中，由余弦定理得 CG2=BG2+BC2−2BG⋅BCcs∠GBC=1+16−2×1×4×cs60∘=13 ，所以 CG=13 .
在 △ECG 中，由余弦定理得 cs∠CEG=EG2+CE2−CG22EG⋅CE=3+12−132×3×23=16 ，
即直线 PD 与 CE 所成角的余弦值为 16 .
故选C.
8．【正确答案】B
【详解】令函数，函数在上都递增，
则函数在上递增，由，得，
即，由为锐角三角形，得，因此，，
由及正弦定理得，则，，
又，，则，
因此
，
由，得，则，
所以的取值范围为.
故选B
9．【正确答案】ABC
【详解】底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误；
球没有顶点和棱，B错误；
将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误；
棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确．
故选ABC．
10．【正确答案】AB
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，则，故B正确；
由余弦定理，可知为锐角，
但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误；
由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误.
故选AB
11．【正确答案】ABD
【详解】如图，
对于A选项，因为点D是棱PB的中点，所以，又，，
所以，所以，所以，故A正确；
对于B选项，因为，，
所以，，又，，
所以，又，所以，故B正确；
对于C选项，在平面PAB内，过点D作AB的垂线，垂足为E，又，，
所以，又，，，
所以，所以点D到平面ABC的距离为DE，
又，故C错误；
对于D选项，设球O的半径为R，的外接圆的半径为r，
所以 ，解得，所以，
所以球O的表面积，故D正确,
故选ABD．
12．【正确答案】
【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为，
直观图中,，则其周长为，
所以正方形与直观图的周长之比为.
13．【正确答案】
【详解】依题意，该四棱台的上、下底面边长分别为，，而棱台的高为，
所以该香料收纳罐的容积为．
14．【正确答案】
【详解】如图，取BC的中点E，的中点F，连接DE，，，FD，
因为E，F分别为BC，的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理平面，
又，，平面，所以平面平面，
即四边形为截正方体所得截面图形.
由正方体的棱长为2，易得四边形是边长为的菱形，
对角线即为正方体的体对角线，
又，
所求截面的面积.
15．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥，
所以所得几何体的体积；
（2）易知圆锥的母线为，所以，
，
所得几何体的表面积.
16．【正确答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析﹒
【详解】（1）由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴，
∵平面PCD，平面PCD，
∴平面PCD；
（2）由（1）知，平面PBC，平面PBC，
∴MN∥平面PBC，
∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点，
∴在△PBD中，NQ∥PB，
∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC，
∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ，
∴平面平面PBC．
17．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：因为的周长为，可得，
由正弦定理，可得，即，
整理得，
又由余弦定理，可得．
因为，所以．
（2）解：在中，因为，，
由余弦定理得，即，
解得或（舍去），
又因为是的平分线，可得，，
所以，解得．
18．【正确答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【详解】（1）易知与相交，设，
由平面，平面，平面平面，
知，
所以、三线共点.
（2）①：过作，垂足为，连接，
又平面，平面，所以.
又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以.
故为二面角的平面角，即，
所以，得.
所以，得.
故四棱柱的体积为.
②：由平面平面，平面平面，平面平面，
得.同理可得，
在四棱柱中，，
所以，则，
得，又，，
所以，则，
所以
.
19．【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，
所以，
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面.
（2）过点作，垂足为．
由（1）知，平面，因为平面，
所以，
又，，平面，所以平面，
所以为与平面所成角.
由（1）知，平面，平面，所以，
在中，因为，，为的中点，
所以，
在中，，
在中，，
在中，，
所以与平面所成角的余弦值为.
（3）取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，
由（1）知，平面，所以平面，平面.
所以，过点作，垂足为，连接，
因为，且，平面，
所以平面，又平面，
所以，所以为二面角的平面角.
在中，，
因为为等边三角形，为线段的中点，
所以，
由（1）知，平面，平面，
所以，
在中，，
由（2）知，，即，解得.
因为平面，平面，所以，
在中，，
所以，
则，
即二面角的平面角的正弦值为.