山西省太原市第五中学2023-2024学年高一下册5月月考数学试题【附解析】

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总分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知是非零向量，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
4. 在三角形中，，，，则（）
A. 10B. 12C. D.
5. 在△中，若，则（）
A. B. C. D.
6. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（）
A B. C. D.
7. 《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）
A. B. C. D.
8. 在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（）
A. 1B. C. D. 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，下列说法正确的是（）
A. B.
C. 与向量平行的单位向量仅有D. 向量在向量上的投影向量为
10. 下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（）
A
B. 复数的共轭复数的虚部为2
C. 若复数满足，则的最大值为2
D. 若是关于的方程的一个根，则
11. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上一个动点，则（）
A. 存在点，使
B. 存在点，使平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 平面截正方体所得截面的最大面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则_____.
13. 如图，直角是水平放置的的直观图，对应直角坐标系中的坐标原点，，，，则______.

14. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，．
（1）若，求在上的投影向量的模；
（2）若，向量，求与夹角的余弦值．
16. 如图，在直角梯形中，，，，，梯形绕着直线AB旋转一周.
（1）求所形成的封闭几何体的表面积；
（2）求所形成的封闭几何体的体积.
17. 在中，角所对的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若中，，求的面积．
18. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.

（1）证明：；
（2）证明：∥平面；
（3）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形设.
（1）当时，求四边形OACB的周长；
（2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求
（3）问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值