山东烟台招远2024_2025学年高一下册第一次月考数学试卷[附解析]

这是一份山东烟台招远2024_2025学年高一下册第一次月考数学试卷[附解析]，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．4
2．已知，则的值为（ ）
A．3B．1C．D．
3．在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
5．已知，均为锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在长方形中，，，点在上，且，点，分别是边，上的动点，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．4
8．已知的重心为，过点的直线分别与边，交于点，，若，，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．不确定
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的有（ ）
A．起点相同的单位向量均相等
B．若向量，则
C．若向量，，则、不一定平行
D．任意两向量、均有
10．已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若的图象关于点中心对称，则
C．若在上单调递增，则的取值范围是
D．若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称
B．是周期为的周期函数
C．的值域为
D．不等式的解集为
三、填空题（本大题共3小题）
12．与向量方向相反的单位向量为 ．
13．若，则 ．
14．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则点的坐标为 ，向量在向量上的投影向量为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，满足，，．
(1)求；
(2)求与的夹角的值；
(3)求．
16．已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)当时，求的最大值及取得最大值时的集合．
17．求值：
(1)；
(2)已知，，求的值．
18．已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的最大值；
(3)记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，求函数在区间上的值域．
19．对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；
(2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由；
(3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为，所以，则，解得.
故选A.
2．【正确答案】C
【详解】
故选C.
3．【正确答案】C
【详解】在中，M为BC的中点，，，
所以.
故选C.
4．【正确答案】A
【详解】因为，，三点共线，
所以存在非零实数，使得，
所以，
所以，
所以，
所以.
当时等号成立，所以的最小值为
故选A.
5．【正确答案】C
【详解】因为，
又因为，均为锐角，则，所以，，
所以，
故选C.
6．【正确答案】C
【详解】
因为，，，
由余弦定理得，
所以，
所以为直角三角形，且，
以为原点，建立如图直角坐标系：
所以，
所以，
所以.
故选C.
7．【正确答案】B
【详解】设，因为四边形是长方形，，，.
在中，根据勾股定理，可得.
因为，，所以，
又因为，则，所以（两角分别相等的两个三角形相似）.
由可得，已知，，
则，那么，所以.
在中，根据勾股定理，可得.
因为，所以.
根据均值不等式，对于，，
有：
,（当且仅当，即时等号成立）.
因为，，所以，那么.
所以面积的最小值为.
故选B.
8．【正确答案】B
【详解】
因为，，
所以，，
因为的重心为，
所以，
又因为三点共线，
所以，
所以.
故选B.
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A选项，起点相同的单位向量的方向不一定相同，故这些向量不一定相等，A错；
对于B选项，若向量，则，B对；
对于C选项，向量，，若，则、不一定平行；
若，若、中至少有一个为零向量，则、平行，
若、均为非零向量，可设，，则，则、平行，
综上所述，若向量，，则、不一定平行，C对；
对于D选项，若、中至少有一个零向量，则，
若、都为非零向量，设这两个向量的夹角为，则，则，
所以，，
综上所述，，D对.
故选BCD.
10．【正确答案】AC
【详解】因为函数的图象经过点，
所以，而，所以，即，
选项A，的最小正周期是，则，A正确；
选项B，的图象关于点中心对称，
则（因为），B错误；
选项C，时，，
则，，解得，C正确；
选项D，时，，
方程在上恰有两个不同的实数解，
即方程在上恰有两个不同的实数解，
则，解得，D错误．
故选AC．
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A：由题意函数的定义域为R，且，
故的图象关于轴对称，所以A正确；
对于B：因为，，所以，故B错误；
对于C：当时，
则，此时值域为；
当时，，
此时值域为，故C正确；
对于D：由
，
则是的一个周期，当时，，
所以由，解得，
则，
又由的图象关于轴对称可知当时，
的解为，
所以不等式的解为.故D正确.
故选ACD.
12．【正确答案】
【详解】向量方向相反的单位向量.
13．【正确答案】
【详解】因为，
所以，
解得或（舍），
所以.
14．【正确答案】
【详解】空：由题意得，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，
则点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，
则，
，设，又因为，
所以，解得，所以.
空：向量在向量上的投影向量为，
因为，，
所以.
15．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，
又，所以；
（3）因为，
所以．
16．【正确答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 ，
(2)最大值为2，取得最大值时的集合为
【详解】（1）
，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的单调递增区间为 ，；
（2）当时，，
所以当，即时，取得最大值2，
故的最大值为2，取得最大值时的集合为．
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）将两边平方可得，，
两边平方可得，，
两式相加可得，，
即，
解得．
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期为，所以，
所以，所以，
故，
解得，
所以；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
再向上平移1个单位长度，得到的图象，
所以，
又，所以当时，，
又，所以，
要使最大，则最大，最小．
所以当最大，最小时，
即取得最大值，
最大值为；
（3）因为，所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
此时；
又，所以，所以，
所以的取值范围为；
当时，在上单调递减，
所以，，
此时；
又，所以，所以，
所以的取值范围为，
综上，函数的值域为．
19．【正确答案】(1)
(2)存在，理由见解析
(3)
【详解】（1）由题意可得：，则，解得：；
（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：
由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，；
（3）由题意，得，，即，
即，同理，
，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由得：，
设，则依题意得：，
得，
故，
，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
故.