江苏省南通市2024−2025学年高三下学期押题卷（考前最后一卷） 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600．从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是（ ）
32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08
71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30
A．098B．147C．513D．310
3．复数满足，则的虚部为（ ）
A．iB．C．D．
4．已知命题 ，命题，则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知两个不相等的向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若O为坐标原点，P为单位圆O上一动点，Q为直线l上一动点，且对于使直线l的解析式有意义的任意角无论如何变化，的最小值恒为1，则l的表达式不可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．在边长为4的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（ ）
A．B．直线与平面所成角为
C．四面体的体积为4D．二面角的正弦值为
11．对于任意实数x，y，定义运算“”：则满足条件的实数a，b，c可能为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
三、填空题
12．已知，且，则 ．
13．点M在椭圆上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，O为坐标原点，，则 ．
14．在2024×2023的方格表中，除首尾两行外每行各有一个坏人，同时每列有至多一个坏人.甲从第一行出发，每次沿相邻方格移动，要移动到最后一行，一旦触碰到坏人则本轮终止返回起点，但能记住已探明的坏人位置.因此，无论坏人如何分布，甲总能通过不超过轮到达最后一行.则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知数列满足．
（1）若，求的值．
（2）若，证明：．
（3）若，设，证明：
16．某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下：
（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程；
（2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差.
附：参考数据：，，，，.
参考公式：回归直线方程，其中，.
相关系数.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求B；
（2）已知D为边AB上的一点，且.
（ⅰ）若，，求AC的长；
（ⅱ）求的取值范围.
18．已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）．
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）求证：．
19．在平面直角坐标系中，将双曲线绕着轴旋转一周构成双曲面，其中在旋转过程中的所有实轴落在平面内，设所在的平面为，平面满足，且与之间的距离为.
（1）若点在上，试用含的方程表示（不用说明理由）.
（2）设分别是截得的截面.
（i）设分别为上的弦，求所在直线间的距离的取值范围；
（ii）已知截面的圆周上的点恰好构成正边形的顶点，为上一动点，若对任意恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】易知，
又，可得.
故选B
2．【答案】C
【详解】由题意可知得到的编号依次为231，023，147，098，513，…，则得到的第5个编号是513.
故选C.
3．【答案】D
【详解】因为，则，故，则，
因此，的虚部为.
故选D.
4．【答案】A
【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出，
即充分性成立；
由可推出，不能推出，即必要性不成立；
因此命题是命题的充分不必要条件.
故选A
5．【答案】C
【详解】因为向量，，所以，
由得，即，
解得或，当时，，，此时，不符合题意，
当时，，，此时，符合题意.
故选C
6．【答案】A
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到，
由题有，即，取，得到，
故选A.
7．【答案】A
【详解】方法一：由得，即，故抛物线的方程为.
设，则的面积为，得，
代入，得，
过点作轴于点，则，.

所以在中，，则，
所以；
方法二：由得，即，故抛物线的方程为，
设，则的面积为，得，
代入，得，不妨设，
由勾股定理得，由焦半径公式得，
在中，由余弦定理得，
又，故
故选A
8．【答案】B
【详解】因为正方体 的体积为1，所以该正方体的棱长为1，则 .
当 时，连接 ， ，则 ，
， ， ， 四点共面，截面为四边形 （如图），不符合题意，
当 时，延长, 交于点，
由与相似可得,
所以，因为，所以在线段上一定存在一点，
使得,即四边形为平行四边形，所以;
过作于，连接，则易知，
所以，即四点共面，所以截面为四边形.
当 时，延长, 交于点，
由与相似可得，
所以，因为，所以在线段的延长线上一定存在一点，
使得,即四边形为平行四边形，所以;
如图，过向的延长线作垂线，交于点，连接，交于，
则易知，所以，即四点共面.
连接交于，连接，即所求截面为五边形.
综上可知，故B正确.
故选B.
9．【答案】ABC
【详解】由题意可知在圆上，设，
则的最小值为到的距离减1，且到的距离，
则的最小值为，即．
对于A，当时，，此时，不满足题意；
对于B，当时，，此时，不满足题意；
对于C，当时，，此时，不满足题意；
对于D，由于，则恒成立．
故选ABC.
10．【答案】ACD
【详解】
对于A，由题意，，又，平面，
所以平面，又平面，所以，故A正确；
对于B，平面，平面，所以平面平面，
且面面，因为为等边三角形，在平面内过作，
则平面，所以和平面所成角为，故B错误；
对于C，，所以面积为，
因为平面，所以四面体，
故C正确；
对于D，过作交于，因为平面，平面，
所以，且，平面，
所以平面，且平面，所以，
所以是二面角的平面角，
在等腰三角形中，由等面积法可得
即，在中，，故D正确；
故选ACD
11．【答案】BD
【详解】由题意可得，若满足，则a，b，c互不相等时，b最大．
对于A，先比较a和b，，，构造函数，则，
所以在R上单调递减，，所以，即，
再比较b和c，，，因为在上单调递减，
所以，所以，故A错误．
对于B，由A可知，，即，故B正确．
对于C，第一步：构造函数，比较a和b的大小
，，
构造函数，则在上单调递减，
由A可知，当时，，所以，
将代入，得，即．
第二步：选取中间值0.99，比较c和0.99的大小
设函数，，
则，在上单调递减，
所以，故，，即．
第三步：比较b和0.99的大小
设函数，，则，
因为，所以，所以，在上单调递增，
所以，即，，，，
即，所以，故C错误．
对于D，由C可知，，即，故D正确．
故选BD.
12．【答案】/
【详解】因为，
所以，
所以，即，
又因为，所以，
所以.
13．【答案】5
【详解】因为椭圆，所以，
设左焦点为，右焦点为，连接，
因为N为MF的中点，为的中点，，
所以，，，
所以，所以.
14．【答案】3
【详解】当时，肯定不行，因为在第一次尝试下到第二行时，无论从哪里下去，都可能碰到坏人；
当时，也肯定不行. 如果第一次从第一行下到第二行就碰到坏人了，
那么第一次尝试得到的信息只有第二行以及坏人所在那一列的信息，
对第三行的信息是一无所知的，第三行除了第二行坏人所在那一列没坏人都可能有坏人. 所以在第一次从第二行下到第三行时，无论从第二行的哪个位置下去，都可能碰到坏人，所以2也不行.
当时，是可以的.策略如下：
第一次尝试用来确定第二行坏人的位置（从第二行的左边一直向右走），
不妨令第二行坏人位置为 .
分两种情况：
1.第二行坏人位置不在第1列或第2023列.
这种情况从下到 ，从左往右走直至n，如果走到n都没碰到坏人，
那么从一直向下走就到最后一行了. 如果在n之前碰到坏人了，
那么第三次从到，再到，直着下去就行了.
2. 第二行坏人位置在第1列或第2023列.
不妨令坏人在第1列. 之后的策略如下：从下到之后一直向左走到，
如果碰到坏人了，位置不妨设为，那么第三次从到，
再到，直着下去就行了.
如果向左走到一直没碰到坏人，那坏人肯定在，
之后从回头走到下到，一直向左走到，
之后的处理方式与一直向左走到相同，之后重复上述步骤……
如果这样一直走到都没碰到坏人，
那么从直接下到就完成任务了.
15．【答案】（1）98
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）由题可知，
则．
（2）证明：因为，
所以，
则，
则．
（3）证明：由，可得，
又，则，
则，则．
因为，所以
．
16．【答案】（1），说明见解析，
（2）分布列见解析，，.
【详解】（1）依题意，，而，，，
则.
因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合.
，，
因此，回归方程为.
（2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，
“甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，
由题意可得，，，
，，
由全概率公式得：
，
同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为，
为人中从号门出学校的人数，则，
，，
，，
，
故的分布列为：
，.
17．【答案】（1）
（2）（1）；（2）
【详解】（1）由题意知，
又由正弦定理得，所以.
又，所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，

又因为，所以.
（2）（ⅰ）因为，
根据余弦定理得，所以，
因为，所以，
在中，由正弦定理知，，即，所以，
进而,所以故，
（ⅱ）因为，所以，
在中，由正弦定理得，所以；
又在中，；
所以，
因为，所以，所以，
所以的取值范围是.
18．【答案】（1）答案见解析；
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【详解】（1）的定义域为，
.
当时，，所以恒成立，
所以在单调递增；
当时，，
所以的两根为，
且，所以，
所以，时，或时，．
所以在上单调递减，在和单调递增．
综上：当时，在单调递减，
在和单调递增；
当时，在单调递增.
（2）（i）由（1）可知当时，在单调，
不可能有三个零点；
当时，的两根为，
且，所以，且，
因为在上单调递减，所以，
因为，所以，
设，
在上单调递减，，
即，所以使.
因为，
又因为，所以，
所以使，
所以，当时，有三个零点，
（ii）由（i）可知，的三个零点：，
因为，且，所以，
又因为，所以，
因为，所以函数单调递减，，
所以，得证．
19．【答案】（1）
（2）（i）（ii）
【详解】（1）将双曲线绕着轴旋转一周，
在旋转过程中所有点的纵坐标保持不变，将横坐标替换点在平面内的旋转半径，
则双曲面的方程为.
（2）（i）若共面，则，
如图1，过弦的中点作，垂足为，过作，垂足为，
则所在直线间的距离为.
因为与之间的距离为，所以，
则，故.
若异面，如图2，设，且，，则.
设向量满足且，
则由，可得，
解得，取，则.
又，设所在直线间的距离为，
则.
综上所述，所在直线间的距离的取值范围为.
（ii）设，
易知.
因为恰好构成正边形的顶点，所以.
由，可得，
则
.
由，可得，
则
由恒成立，可得.
则.
令，由，可得，则.
因为，所以，且当时，，
则，故的取值范围为.
日期
月日
月日
月日
月日
月日
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