吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

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2024—2025学年度下学期期中考试
高一数学试题（满分150分，时间120分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知（为虚数单位），则（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．四边形的面积为
C．D．四边形的周长为
4．在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（ ）
A．2B．4C．8D．0
5．如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（ ）
A．D在C的北偏西方向B．
C．D，C相距D．D，B相距
6．下列命题正确的是（ ）
A．若a、b是两条直线，、是两个平面，且，，则a、b是异面直线
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．四边形可以确定一个平面
D．已知两条相交直线a、b，且平面，则b与的位置关系是相交
7．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（ ）
A．B．C．D．
8．在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，选错得0分）
9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．若复数z满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于第一象限
D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．（多选题）已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（ ）
A．四面体的高B．四面体表面积为
C．四面体体积为D．四面体的内切球半径为
11．（多选题）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．，
C．D．在上的投影向量为
三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分）
12．若复数，则实数的值为________．
13．一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为________．
14．如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下4个结论中，正确的结论是________．
①平面；②平面；③平面．
四、解答题（本题共5道小题，共77分）
15．（13分）（1）计算：（2）已知复数，，求
16．（15分）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：直线、、三线共点．
17．（15分）已知，其中，，．
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且向量与共线，求边长b和c的值．
18．（17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求C；
（2）若，求外接圆的半径；
（3）若，求周长的取值范围
19．（17分）如图，在正方体中，M为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若N为的中点，求证：平面平面．
（3）求三棱锥与正方体的外接球半径之比．
参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C
8．【答案】A
【分析】根据正方体的几何性质确定外接球半径，设球心为，求解到截面的距离，从而可得截面圆的面积.
【详解】取正方体的中心为，连接，，
由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为，
正方体外接球球心为点，半径，
又易得，且，
所以三棱锥为正四面体，如图所示，取底面正三角形的中心为，
即点到平面的距离为，又正三角形的外接圆半径为，
由正弦定理可得，即，所以，
即正方体外接球的球心到截面的距离为，
所以截面被球所截圆的半径，
则截面圆的面积为．
故选：A．
二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，选错得0分）
9．AD 10．BCD 11．BCD
三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分）
12．3 13．
14．①③
【答案】C
【分析】结合已知条件，利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可
【详解】对于①，因为，平面，平面，
所以平面，所以①正确，
对于②，延长到，使，连接，如图，
因为为的中点，所以，因为与平面交于点，所以与平面不平行，所以②不正确；
对于③，连接交于，连接，如图，
因为，为的中点，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，所以③正确，
故选：C
四、解答题（本题共5道小题，共77分）
15．（答案：）
16．略
17．【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）化简得，，整体代换结合余弦函数的单调性，即可得出结论；
（2）由求出，与共线,结合余弦定理，建立，关系，即可求解．
【详解】（1）
，
在上单调递增,
令，
得，
的单调递增区间．
（2），
，又，
，即．
，由余弦定理得．
因为向量与共线，
所以，由正弦定理得，
，．
【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，向量的数量积，正弦定理，余弦定理，考查了运算能力，属于中档题．
18．【答案】（1） （2）1 （3）
19．【答案】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，，
（2）取的中点，连接，，
是的中点，则为的中位线，，，
又由（1）可得，且，，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面．