湖南省怀化市溆浦县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份湖南省怀化市溆浦县2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．8B．7C．6D．5
2．（3分）正六边形的一个外角为（ ）
A．360°B．36°C．60°D．720°
3．（3分）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，OA＝OC，OB＝OD．添加下列条件（ ）
A．AC⊥BDB．AB＝CDC．∠ABD＝∠CBDD．AC＝BD
4．（3分）顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（ ）
A．平行四边形B．菱形
C．梯形D．正方形
5．（3分）下列交通标志中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）若长度为3、4、m的三条线段能组成一个钝角三角形，则m的值可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（3分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝25，c＝24B．a＝12，b＝13，c＝5
C．a＝11，b＝41，c＝40D．a＝8，b＝17，c＝15
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，AE、BF交于点O．若BF＝13，AO＝5（ ）
A．60B．65C．120D．130
9．（3分）如图，港口A在观测站O的正西方向，AO＝4nmile，沿北偏西30°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏西60°的方向（ ）
A．4nmileB．2nmile
C．nmileD．
10．（3分）如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，过B作BG⊥AE于点G，交AD于点H（ ）
A．AH＝DF
B．S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH
C．∠AEF＝45°
D．△ABH≌△DCF
二、填空题：本题共8个小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，BO是斜边AC的中线，则AC的长为 ．
13．（3分）如图，若AB∥CD，AB⊥AF，AF＝14，BD＝50，则CF＝ ．
14．（3分）如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是 度．
15．（3分）在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，BD相交于点O．若AC＝6，则AO的长等于 ．
16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 ．
17．（3分）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，则水深是 cm．
18．（3分）如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，延长BF⊥CD于点F，DE，延长BF与AD的延长线交于点G，下面给出四个结论：①BD＝；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；⑤线段BG与CD互相平分．其中正确的结论有 个．
三、解答题：本题共8个小题，共66分。
19．（6分）如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，求∠EAC的度数．
20．（6分）已知：如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H
21．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，AE平分∠BAC，CE⊥AE，EF∥BC．求证：
（1）四边形BDEF是平行四边形；
（2）BF＝（AB﹣AC）．
22．（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
23．（8分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点G与点D重合．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求GF的长．
24．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，BC＝，CD＝2．
（1）求DB的长；
（2）求证：AC⊥BC．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10），连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
26．（12分）如图，已知菱形ABCD，∠ABC＝60°，以AP为边向右侧作等边△APE，连结PC．
（1）求证：PC＝PE；
（2）设∠CPE＝α，∠BCP＝β，求证：α＝2β；
（3）设AB＝m，当CP⊥PE时，求AP的长（用含m的代数式表示）．
2024-2025学年湖南省怀化市溆浦县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题本题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n＝（n﹣2）•180°，
解得n＝6，
故选：C．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算是解答此题的关键．
2．（3分）正六边形的一个外角为（ ）
A．360°B．36°C．60°D．720°
【分析】根据任何多边形的外角和是360°，得出正六边形的一个外角为，即可选出正确答案．
【解答】解：∵任意一个多边形的外角和都是360°，
∴正六边形的外角和为360°，
∴正六边形的一个外角为，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和360°是解题的关键．
3．（3分）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，OA＝OC，OB＝OD．添加下列条件（ ）
A．AC⊥BDB．AB＝CDC．∠ABD＝∠CBDD．AC＝BD
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4．（3分）顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（ ）
A．平行四边形B．菱形
C．梯形D．正方形
【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥AC，EH＝AC，同理FG∥AC，FG＝AC，进一步推出EH＝FG，EH∥FG，即可得到答案．
【解答】解：连接AC、BD，
∵E是AD的中点，H是CD的中点，
∴EH＝AC，
同理FG＝AC，
∴EH＝FG，
同理EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
故选：A．
【点评】本题主要考查了中点四边形，平行四边形的判定等知识点，解此题的关键是连接AC、BD，把它转化成三角形的中位线来证明．题型较好，比较典型．
5．（3分）下列交通标志中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐个进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的定义，能熟记中心对称图形的定义是解此题的关键．
6．（3分）若长度为3、4、m的三条线段能组成一个钝角三角形，则m的值可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边，结合勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意可得，4﹣3＜m＜8+3，
解得1＜m＜4，
∵＝，＝5，
∴1＜m＜，5＜m＜7，
∴m的值可能为2．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；运用三角形的三边关系定理是解答的关键．
7．（3分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝25，c＝24B．a＝12，b＝13，c＝5
C．a＝11，b＝41，c＝40D．a＝8，b＝17，c＝15
【分析】欲判断是否为直角三角形，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、72+246＝252，能构成直角三角形，不符合题意；
B、58+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；
C、117+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；
D、52+152＝175，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，AE、BF交于点O．若BF＝13，AO＝5（ ）
A．60B．65C．120D．130
【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
∵BF＝13，AO＝5，
∴四边形ABEF＝2××13×5＝65，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质等知识，证得四边形是菱形是解答本题的关键，难度不大．
9．（3分）如图，港口A在观测站O的正西方向，AO＝4nmile，沿北偏西30°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏西60°的方向（ ）
A．4nmileB．2nmile
C．nmileD．
【分析】易得∠B和∠AOB的度数相等，那么根据等角对等边可得AB的长度和OA的长度相等．
【解答】解：如图：由题意得：AM∥ON，ON⊥OA，∠MAB＝30°，
∴∠AMO＝∠NOB＝60°，∠AON＝90°，
∴∠B＝60°﹣30°＝30°，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠B＝∠AOB，
∴AB＝OA＝4nmile，
故选：A．
【点评】本题考查方向角的相关知识．判断出∠B和∠AOB的度数是解决本题的关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，过B作BG⊥AE于点G，交AD于点H（ ）
A．AH＝DF
B．S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH
C．∠AEF＝45°
D．△ABH≌△DCF
【分析】先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到A、D正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出C正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出B错误．
【解答】解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF，
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.8°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故ACD正确；
如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故B错误，
故选：B．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外角的性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．
二、填空题：本题共8个小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” 8 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC﹣AB进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：AB＝＝10（m），
则AC+BC﹣AB＝14﹣10＝6（m），
故他们仅仅少走了：4×2＝3（步）．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，BO是斜边AC的中线，则AC的长为 8cm ．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，BO是斜边AC的中线，
∴AC＝2BO＝8（cm），
故答案为：5cm．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
13．（3分）如图，若AB∥CD，AB⊥AF，AF＝14，BD＝50，则CF＝ 6 ．
【分析】由“ASA”可证△AEB≌△FED，可得BE＝DE＝BD＝25，由勾股定理可求DF＝24，即可求解．
【解答】解：∵E是AF的中点，
∴AE＝EF＝AF＝7，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DFE＝90°，
在△ABE和△FDE中，
，
∴△AEB≌△FED（ASA），
∴BE＝DE＝BD＝25，
∴DF＝＝＝24，
∴CF＝CD﹣DF＝6，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
14．（3分）如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是 108 度．
【分析】根据五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，再根据正五边形的各个内角都相等求得∠ABC的度数．
【解答】解：∵ABCDE是一个正五边形，
∴五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠ABC＝540°÷3＝108°．
【点评】掌握多边形的内角和定理以及正多边形的性质．
15．（3分）在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，BD相交于点O．若AC＝6，则AO的长等于 3 ．
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形对角线互相平分，即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AC＝6，
∴AO＝AC＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出AO＝CO是解题的关键．
16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 2.5 ．
【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
【解答】解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥AD，AB∥CD．
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PE∥AF，PF∥AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S△POF≌S△AOE．
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积＝AC•BD＝2，
∴图中阴影部分的面积为5÷2＝8.5．
故答案为：2.4．
【点评】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
17．（3分）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，则水深是 45 cm．
【分析】在RT△ABC中，AB＝h cm，AC＝（h+30）cm，BC＝60cm，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，即（h+30）2＝h2+602，解方程即可．
【解答】解：设水深为h cm，
由题意得：在Rt△ABC中，AB＝h cm，BC＝60cm，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，
即（h+30）2＝h2+607，
解得：h＝45．
答：水深是45cm．
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．（3分）如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，延长BF⊥CD于点F，DE，延长BF与AD的延长线交于点G，下面给出四个结论：①BD＝；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；⑤线段BG与CD互相平分．其中正确的结论有 3 个．
【分析】①由等腰直角三角形的性质可求BD＝BE；②由余角的性质和平行四边形的性质可求∠A＝∠C＝∠BHE；③由“ASA”可证△BHE≌△DCE，可得BH＝CD； ④在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，则△BCF与△DCE不全等，设D是AG的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BD＝DG．而没有这个条件，故⑤不正确．
【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE，
∴BD＝＝BE；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH＝∠DEC＝90°，
∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C，
∴∠C＝∠BHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正确；
∵∠C+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠HBE，
在△BHE和△DCE中，
，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
∴BH＝CD＝AB，故③正确，
在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，
∴△BCF与△DCE不全等，故④错误．
若D点是AG的中点，
∵BG⊥CD，AB∥CD，
∴AB⊥BG，
则DB＝AG＝DG，
∴BF＝FG，
∵D点不一定是AG的中点，
则BF＝FG不一定成立
则线段BG与CD互相平分，不一定成立，
故⑤错误，
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用 这些性质解决问题是本题的关键．
三、解答题：本题共8个小题，共66分。
19．（6分）如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，求∠EAC的度数．
【分析】根据垂直的定义得到∠BAC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠C＝90°﹣54°＝36°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝54°，
∴∠C＝90°﹣54°＝36°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝36°．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（6分）已知：如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF＝AC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH＝AC，从而得证．
【解答】证明：∵D、F分别是△ABC三边中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝AC，
∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，
∴EH＝AC，
∴DF＝EH．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理和性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，AE平分∠BAC，CE⊥AE，EF∥BC．求证：
（1）四边形BDEF是平行四边形；
（2）BF＝（AB﹣AC）．
【分析】（1）先证△AGE≌△ACE，得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理得DE∥AB，然后由平行四边形的判定可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
【解答】证明：（1）延长CE交AB于点G，如图所示：
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴GE＝EC，
∵D是边BC的中点，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）由（1）可知，四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23．（8分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点G与点D重合．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求GF的长．
【分析】（1）根据翻折的性质可得∠AEF＝∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE＝∠CEF，然后求出∠AEF＝∠AFE，根据等角对等边可得AE＝AF；
（2）根据勾股定理列方程可得答案．
【解答】（1）证明：由翻折的性质得，∠AEF＝∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF；
（2）解：由翻折的性质得，AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴x2＝42+（8﹣x）8，
解得：x＝5，
∴AE＝5，
又由（1）可知，AF＝8，
∴FD＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，
由翻折的性质得，GF＝FD＝3．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出AE的长度是解题的关键．
24．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，BC＝，CD＝2．
（1）求DB的长；
（2）求证：AC⊥BC．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠CDA＝∠CDB＝90°，然后在Rt△CDB中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得AD＝4，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，从而利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，进而可得∠ACB＝90°，即可解答．
【解答】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
在Rt△CDB中，BC＝，
∴BD＝＝＝1，
∴DB的长为8；
（2）证明：∵AB＝5，BD＝1，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣1＝4，
在Rt△ACD中，AC＝＝，
∴AC2+BC2＝（3）2+（）2＝25，AB2＝72＝25，
∴AC2+BC7＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10），连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）能，首先证明四边形AEFD为平行四边形．当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解决问题．
（2）分三种情形讨论即可．
【解答】（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝6t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即40﹣4t＝2t，解得t＝．
∴当t＝秒时．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，则∠ADE＝30°，
∴AD＝3AE，即40﹣4t＝4t．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝7或5秒时．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26．（12分）如图，已知菱形ABCD，∠ABC＝60°，以AP为边向右侧作等边△APE，连结PC．
（1）求证：PC＝PE；
（2）设∠CPE＝α，∠BCP＝β，求证：α＝2β；
（3）设AB＝m，当CP⊥PE时，求AP的长（用含m的代数式表示）．
【分析】（1）根据菱形的对称性可得PC＝AP，又△APE是等边三角形，AP＝PE，即得PC＝PE；
（2）利用三角形的外角的性质证明∠APC＝∠ABC+∠PCB+∠BAP，可得结论；
（3）过P作PF⊥AB于F，由∠CPE＝90°，∠APE＝60°，得∠APC＝150°，知∠APD＝∠CPD＝∠APC＝75°，可得△APF是等腰直角三角形，设AF＝PF＝a，则AP＝a，可得AB＝BF+AF＝a+a，从而∴＝＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，点P在线段BD上，
∴由菱形的对称性可得PC＝AP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝PE，
∴PC＝PE；
（2）证明：如图1中，
∵△APE是等边三角形，
∴∠APE＝60°，
∵∠CPD＝∠CBP+∠BCP，∠APD＝∠ABP+∠BAP，
∴∠PAC＝∠PCB+∠PBC+∠ABP+∠BAP，
∴60°+∠CPE＝60°+∠PCB+∠BAP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△PBC与△PBA关于BD对称，
∴△PBC≌△PBA，
∴∠BAP＝∠PCB，
∴∠CPE＝2∠PCB，
∵∠CPE＝α，∠BCP＝β，
∴α＝8β；
（3）解：当P在线段BD上时，过P作PF⊥AB于F
∵∠CPE＝90°，∠APE＝60°，
∴∠APC＝150°，
由菱形ABCD的对称性可知∠APD＝∠CPD＝∠APC＝75°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴∠PAB＝∠APD﹣∠ABP＝45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
设AF＝PF＝a，则AP＝a，
在Rt△BPF中，BF＝a，
∴AB＝BF+AF＝a+a，
∴＝＝，
∵AB＝m，
∴AP＝m．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形性质与判定，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握菱形的性质及分类讨论思想的应用．
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
A
D
D
C
B
A
B