新疆维吾尔自治区部分名校2023—2024学年高二下学期期末联考 数学试题（含解析）

这是一份新疆维吾尔自治区部分名校2023—2024学年高二下学期期末联考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1． （ ）
A．6B．7C．8D．9
2．已知函数的导函数为，若，则（ ）
A．1B．2C．D．-2
3．一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（ ）
A．480种B．1200种C．2400种D．5040种
4．已知两个变量与的对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A．29B．30C．31D．32
5．向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
6．不透明的袋子中有8个除颜色外其余完全相同的小球，其中4个红色小球，4个蓝色小球，从袋子中随机摸出4个小球，在摸出红色小球的条件下，摸出的红色小球个数大于蓝色小球个数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ）
A．1B．C．2D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值但没有最大值
B．对于任意的，恒有
C．仅有一个零点
D．有两个极值点
10．若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列为“凸数列”
B．若，则数列为“凸数列”
C．若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列”
D．若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列
11．袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ）
A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B．若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则
C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D．若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等比数列的公比为3，且，则 .
13．已知随机变是，则 .
14．已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)求在上的最值.
16．某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：
(1)根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
(2)为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
附：.
17．已知数列满足，其中表示从个元素中任选个元素的组合数.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
18．点球大战是指在足球比赛中，双方球队在经过90分钟常规赛和30分钟加时赛后仍然无法分出胜负的条件下，采取以互罚点球决胜负的方法.在点球大战中，双方球队确定各自罚球队员的顺序，通过抽签的方式决定哪一方先罚，双方球队各出1人进行1次罚球作为1轮罚球，点球大战期间队员不可重复罚球，除非一方球队的全部球员已依次全部罚球.点球大战主要分为两个阶段：第一阶段，以双方球员交替各踢5次点球作为5轮罚球，前5轮罚球以累计进球数多的一队获胜，当双方未交替踢满5轮，就已能分出胜负时，裁判会宣布进球多的一队获胜，当双方交替踢满5轮，双方进球数还是相等时，则进入第二阶段：第二阶段，双方球队继续罚球，直到出现某1轮结束时，一方罚进而另一方未罚进的局面，则由罚进的一方取得胜利.现有甲､乙两队（每支队伍各11名球员）已经进入了点球大战，甲队先罚球，各队已经确定好罚球队员的顺序，甲队的球员第1轮上场，球员在点球时罚进球的概率为，其余的21名球员在点球时罚进球的概率均为.
(1)求第3轮罚球结束时甲队获胜的概率；
(2)已知甲､乙两队的点球大战已经进入第二阶段，在第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜的条件下，甲､乙两队第二阶段的进球数之和为，求的分布列及数学期望.
19．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当恒成立时，判断的零点个数．
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用组合数公式及阶乘运算计算即得.
【详解】.
故选D.
2．【答案】B
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】.
故选B.
3．【答案】C
【分析】利用排列组合的知识结合分步计数原理的知识求解即可.
【详解】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有种不同的演出顺序；
再排2个小品节目，共有种不同的演出顺序.
根据分步乘法计数原理可知，共有2400种不同的演出顺序.
故选C.
4．【答案】A
【分析】根据样本中心点在回归方程上即可.
【详解】由表格数据得，
因为样本中心点在回归方程上，
所以，
解得.
故选A.
5．【答案】A
【分析】根据容器形状，结合自变量为水的高度可得解.
【详解】在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长.
故选A.
6．【答案】A
【分析】根据题意知从袋中随机摸出4球情况有种，摸出红球的情况是摸出4球的情况减去摸出4个球都蓝球的情况，即，摸出红色小球个数大于蓝色小球个数是红色球摸3个蓝色摸1个再加4个都是红色小球情况，即，代入条件概率公式即可得.
【详解】设事件A为摸出红色小球，事件B为摸出的红色小球个数大于蓝色小球个数，
则，则.
故选A.
7．【答案】B
【分析】根据题意设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得，通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，列出相关等式解求首项即可；
【详解】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得
通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，
设该数列为，公差为，则．由题意得
即解得
故选B.
8．【答案】D
【分析】对展开式两边同时求导，再令即可求解得结果.
【详解】对两边求导，
得.
令，得.
故选D.
【方法总结】先对展开式的两边同时求导，然后令即可.
9．【答案】BC
【分析】AD选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD错误；BC选项，结合函数特征得到当时，，且函数只有一个零点0，BC正确.
【详解】AD选项，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故有最大值但没有最小值且只有一个极值点，AD错误；
BC选项，由于恒成立，故当时，，
令，得，所以函数仅有一个零点，B，C正确.
故选BC.
【方法总结】先求导，得到函数单调性；结合函数特征得到当时，，且函数只有一个零点0，即可解题.
10．【答案】BC
【分析】根据题意，由“凸数列”的定义，即可判断AB，再由单调数列的定义以及“凸数列”的定义分别判断CD，即可得到结果.
【详解】因为，，
且，则，所以数列不是“凸数列”，故A错误；
因为，，
且，所以，
则数列为“凸数列”，故B正确；
因为，，
，
则，
，
所以，
又数列是单调递减数列，则，即，
所以，即，
即数列为“凸数列”，故C正确；
因为数列为“凸数列”，则，
即，即，
所以，而的符号不确定，
故an不一定为单调递减数列，故D错误；
故选BC.
11．【答案】BCD
【分析】应用独立事件概率乘积公式判断A，根据n次独立重复实验计算判断BD，计算条件概率判断C即可.
【详解】每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误；
，则，故B正确；
记恰好取4次停止取球为事件A，第1次摸到红球为事件，则，
，所以，故C正确；
，当最大时，
即
所以即解得，
又，所以，当为6时，最大，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】2
【分析】由等比数列的通项公式求解．
【详解】因为的公比为3，所以.
故答案为：2.
13．【答案】2
【分析】利用二项分布的方差计算求解即可.
【详解】因为，所以，则.
故答案为：2.
14．【答案】
【分析】不等式同构变形为 ，分类讨论，在时，引入函数，确定单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围．
【详解】因为，，所以等价于.
若，则，，显然恒成立.
若，令，则在上恒成立，则在上单调递增，
由，得，则，则在上恒成立.
令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为.
故答案为：.
【方法总结】不等式同构变形：若不等式能变形为，而是单调的如递增，则转化为，经常用到的如对数与指数间的互化：，，，，等等．
15．【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为2
【分析】（1）求导，根据的图象在点处的切线与直线垂直，得到方程组，求出；
（2）求导，得到函数单调性，从而得到最值.
【详解】（1）由，得，
因为的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，即，解得；
（2）由（1）可知，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
因为，
所以，
所以在上的最大值为，最小值为2.
16．【答案】(1)有关
(2)
【分析】（1）利用独立性检验，代入公式求解即可；
（2）结合超几何分布求解即可.
【详解】（1）零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关；
（2）由题意得，抽取的8人中，男性人数为，女性人数为，
当3人中有2名女性和1名男性时，，
当3人全部为女性时，，
则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
【易错警示】超几何分布和二项分布的区别与联系：
(1)超几何分布需要知道总体的容量N，而二项分布不需要；
(2)超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)；
(3)当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布．
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)利用错位相减法求解即可；
(2)利用错位相减法求解数列的前项和即可.
【详解】(1)因为，
所以，
则，
所以，
则.
(2)因为，
所以，
则，
所以，
则，
所以.
18．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据第一阶段的规则，当甲队前3轮进3球时，无论后两轮甲队是否进球均可确定甲队累计进球数多，则甲队胜；
（2）首先求出第二阶段每一轮的所有结果的概率，包括：甲队进球且乙队未进球、甲乙两队均进球、甲乙两队均未进球，根据题意知第二阶段的前3轮罚球甲､乙两队的进球数相等，第4轮罚球为甲队进球､乙队未进球，则可分析出X的可能取值，然后求解其条件概率，进而求得分布列及数学期望.
【详解】（1）第3轮罚球结束时甲队获胜，则甲队前3轮进3球，乙队前3轮未进球，
所以第3轮罚球结束时甲队获胜的概率为.
（2）甲､乙两队的点球大战已经进入第二阶段，每一轮罚球甲队进球､乙队未进球的概率为，甲､乙两队均进球的概率为，甲､乙两队均未进球的概率为.
设事件为“第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜”，则第二阶段的前3轮罚球甲､乙两队的进球数相等，第4轮罚球为甲队进球､乙队未进球，
所以.
由题意得的可能取值为，
，
，
，
，
的分布列为
所以.
19．【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减.
(2)当时，的零点个数为；当时，的零点个数为.
【分析】（1）分类讨论并判断导函数的正负性即可；
（2）先通过分类讨论法确定的取值范围，再利用的单调性确定零点的个数.
【详解】（1）由知.
当时，对有，所以在上递增；
当时，对有，对有，
所以在上递增，在上递减.
综上，当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减.
（2）当恒成立时，
假设，则.
从而，这与矛盾，所以一定有.
当时，据的单调性有.
故对，有，代入表达式知，即.
所以对都有，
这就得到
.
故恒成立.
综上，的取值范围是.
下面来讨论的零点个数：
当时，根据的单调性，有，所以没有零点；
当时，首先有.
而根据的单调性，对有，所以有唯一的零点即.
综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为.
【关键点拨】本题的关键在于先通过恒成立条件确定参数的取值范围，再在这个范围内确定零点个数.1
3
5
7
9
6
18
39
53
喜欢
不喜欢
合计
男
45
5
50
女
35
15
50
合计
80
20
100
0.05
0.025
0.01
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
1
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