山东省青岛第二中学分校2023−2024学年高二下学期期末教学质量检测 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛第二中学分校2023−2024学年高二下学期期末教学质量检测 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，是偶函数且值域为的是（ ）．
A．B．
C．D．
3．已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．( 3，4)
4．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的（ ）
A．10倍B．100倍C．1000倍D．10000倍
6．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．C． D．
7．函数的部分图象大致为（ ）.
A．B．
C．D．
8．已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数的最小正周期为2
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A．变量与具有正相关关系
B．去除后的回归方程为
C．重新求得的回归直线必过点
D．去除后相应于样本点的残差为-0.05
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．幂函数的图象过点，则
B．函数的定义域为，则的定义域为
C．，是奇函数，是偶函数，则
D．关于的方程与的根分别为，，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数恒过定点 .
13．设函数的最小值是，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数，则使得成立的实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：
(1)计算a，b，c的值；
(2)问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？
附：，.
16．已知命题“，使不等式成立”是假命题.
(1)求实数m的取值集合；
(2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
17．已知函数为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
18．近年来，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速，我国养鸡企业发展也取得了显著成就．某小型养鸡场从2017年到2023年每年养鸡数量（单位：千只）的统计结果如下表所示．
(1)由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（系数精确到0.01）；
(2)建立关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量．
参考数据：．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
19．已知函数，.
(1)若，求函数在的值域；
(2)若，求的值；
(3)令，则，已知函数在区间有零点，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【分析】求得集合，可求得.
【详解】依题得，则．
故选C.
2．【答案】D
【分析】分别判断每个选项函数的奇偶性和值域即可.
【详解】对于A项，，即值域为，所以A错误；
对于B项，的定义域不关于原点对称，不是偶函数，所以B错误；
对于C项，的定义域不关于原点对称，不是偶函数，所以C错误；
对于D项，的定义域为，，所以是偶函数，
且，即值域为，所以D正确.
故选D.
3．【答案】C
【解析】可判断函数单调性，将区间端点代入解析式，函数值为一正一负，该区间就必有零点.
【详解】在上增函数
由零点存在定理可知，在区间(2，3)存在零点.
故选C.
4．【答案】C
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，与和的大小关系即可求解.
【详解】因为为减函数，所以，
因为在单调递减，所以，
因为在单调递增，，
即，，，
所以.
故选C.
【方法总结】利用指数函数、对数函数的性质比较大小的题目，常用的方法：
（1）作差法；
（2）作商法；
（3）利用函数的单调性（指数和对数经常化为同底）；
（4）图象法；
（5）构造中间量法，比如和0，±1进行比较.
5．【答案】C
【分析】设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为和，利用公式，结合对数的运算性质可求出的值，从而得到的值．
【详解】设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为和，
由，所以，则，因此，
所以它释放的能量是里氏3.1级地震的1000倍.
故选C.
6．【答案】C
【分析】求出函数的定义域，利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可.
【详解】由,可得，设,
因为函数在区间上递减，在区间上递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选C.
7．【答案】A
【分析】由的定义域排除B；由是奇函数排除C；由排除D，从而得出答案.
【详解】由，得，则的定义域是，B错误；
由，
得，
所以函数是奇函数，C错误；
，D错误.
故选A．
8．【答案】D
【分析】根据得到，所以的周期为4；根据得到关于对称，画出的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据求出时函数解析式，从而判断C选项；对于D选项，根据的最小正周期，得到的最小正周期.
【详解】因为，所以，所以，
所以的周期为4，
又因为，所以，所以关于对称，
又时，，所以画出的图象如下：

对于A选项，函数的图象关于点不中心对称，所以A错误；
对于B选项，函数的图象不关于直线对称，所以B错误；
对于C选项，当时，，则，所以C错误；
对于D选项，由图象可知的最小正周期为4，
又因为，所以的最小正周期为2，所以D正确.
故选D.
9．【答案】AC
【分析】由不等式的性质可判断；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D.
【详解】因为，
所以的符号不确定，
由不等式的性质知成立，
但不一定成立，故A正确，B错误；
因，故C正确；
因为，所以，所以，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ACD
【分析】利用重新求得的回归方程的斜率为1.2，即可判断选项；利用样本中心在回归直线上，求出，由此进行分析求出，从而得到去除后的回归方程，即可判断选项；利用回归方程求出去掉前的样本中心，分别去掉的两个数的平均数，即可判断选项C；求出，然后作差即可判断选项．
【详解】对A,因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项正确；
对C,将代入回归直线方程为，解得，
则样本中心为，去掉两个数据点和后，
由于，
所以去掉后的，没有变化，故样本中心还是，
故去除这两个数据点后的回归直线过点，故选项C正确；
对B,又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，
所以，解得，
所以去除后的回归方程为，故选项错误；
对D,因为，
所以，故选项正确．
故选ACD．
11．【答案】ACD
【分析】对于A项，用待定系数法求解即可；对于B项，根据复合函数定义域的求法求解即可；对于C项，利用奇偶性推出周期，根据周期求解即可；对于D项，利用、、的图象的对称性即可.
【详解】对于A项，设，则，得，所以，所以A正确；
对于B项，因为函数的定义域为，即，所以，
由，得，即的定义域为，所以B不正确；
对于C项，因为是奇函数，所以，因为是偶函数，
所以，所以，即，
所以，所以，
所以，，则的一个周期为，
所以，所以C正确；
对于D项，依题意得，，
所以分别为函数、的图象与函数的图象的交点的横坐标，
又因为、的图象都关于直线对称，自身关于直线对称，
所以函数、的图象与函数的图象的交点也关于对称，
联立，得，得，
因为的中点为，所以，所以D正确.
故选ACD.
12．【答案】.
【分析】令，根据对数的性质，即可得出结果.
【详解】令，则，所以，
即函数恒过定点.
故答案为：.
13．【答案】.
【分析】由题可得，进而即求得.
【详解】当时，，
因为的最小值是，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
14．【答案】.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ,
因为,
所以,
所以函数为偶函数，
当 时, , 且 在 上单调递减,
当 时, , 且 在 上单调递减,
而,
所以在 上单调递减, 且，
则使得成立，
需，
所以且，
所以且，
所以且
解得或.
故答案为：.
15．【答案】(1)，，；
(2)有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关.
【分析】（1）借助列联表数据计算即可得；
（2）计算，与3.841比较大小即可得.
【详解】（1）由，得，
由，得，
由，得.
（2），
因为，
所以有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关．
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）首先根据题意得出命题的否定“，不等式”成立是真命题，然后由或求解即可；
（2）根据题意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.
【详解】（1）因为命题 “，不等式”成立是假命题，
所以命题的否定 “，不等式”成立是真命题，
所以或，解得或，
所以集合；
（2）因为，即，
所以，
因为是集合的必要不充分条件，
令集合，则集合是集合的真子集，
即，解得，所以实数的取值范围是
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由求出参数并检验即可得解；
（2）分离参数并通过换元法可得，所以只需求出不等式右边的最小值即可得解.
【详解】（1）因为是奇函数，
所以，解得，此时符合题意．
（2）原问题即为，即恒成立，
则，
设，
则，
因为，所以当时，y取得最小值26，
要使不等式在上恒成立，则.
18．【答案】(1)答案见解析；
(2)，17760只．
【分析】（1）根据公式得到相关系数，与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合；
（2）得到，得到线性回归方程，并代入，预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量.
【详解】（1）由题意知，，，
，
，
，
则，
因为相关系数接近1，所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．
（2）由（1）得，
．
所以与的回归方程为．
将2026年对应的年份代码代入回归方程得，
所以预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量为17760只．
19．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）化简可得，利用二次函数单调性，即得解；
（2）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算可得，利用倒序相加即可求值；
（3）由已知可得，令，函数等价为在上有零点，参变分离即得解.
【详解】（1）若
，
当上函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，则函数的值域为.
（2）若，则，
则
，
设，
则，
两式相加得，即，
则，
所以.
（3），
设，当，则，
则函数等价为，
若函数在区间有零点，
则等价为在上有零点，
即在上有解，
即在上有解，
即，
设，则，则，
则在上递增，
则当时，，当时，，
所以，即，
即实数的取值范围是.
【方法总结】已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围
(1)直接法：直接根据题设条件构造关于参数的方程(组)或不等式 (组)，通过解方程(组)或不等式(组)确定参数的值或取值范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，化为a＝g(x)的形式，进而转化成求函数的值域问题；
(3)数形结合法：将函数解析式(方程)作移项等变形，转化为两函数图象的交点问题，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解．物理方向
历史方向
总计
男生
13
a
23
女生
7
20
27
总计
b
c
50
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
养鸡数量千只
2
3
7
5
8
11
13