2022-2023学年山东省青岛二中等部分中学高三上学期12月教学质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省青岛二中等部分中学高三上学期12月教学质量检测

数学

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．已知复数，，若是纯虚数，则实数的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

3．已知两个不同的平面，两条不同的直线，，，则“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．要不充分也不必要条性

4．已知命题，则命题为

A． B．

C． D．

5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度从点处移动到点处，其所用时间长短为

A．2 B．3 C．4 D．8

7．已知等差数列,,数列满足,则(    )

A． B． C． D．

8．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为(　　)

A．4 B．5

C．8 D．10

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　）

A．的单调递减区间为

B．的最大值为

C．的最小值为

D．的单调递增区间为

10．最小正周期为的函数有（    ）

A． B．

C． D．

11．设等差数列的前项和是，已知，，正确的选项有（    ）

A．， B．与均为的最大值C． D．

12．给定函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数有两个零点 B．函数在上单调递增

C．函数的最小值是 D．当或时，方程有1个解

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．定义是向量 和的“向量积”，其长度为，其中为向量 和 的夹角．若，，则=______．

14．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则tan α＝____.

15．已知点、为椭圆：左、右焦点，在中，点为椭圆上一点，则___________.

16．已知关于的不等式的解集为R，则的最大值是______．

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．

（1）求函数与的解析式；

（2）若，是第一象限的角，且，求的值．

18．已知数列满足，.

(1)令，证明：数列为等比数列；

(2)求数列的前n项和.

19．已知函数在处的极值是2，，.

(1)求，的值；

(2)函数有两个零点，求的取值范围.

20．设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边上有一点，且.

(1)求及的值；

(2)求的值.

21．已知函数，且成等差数列， 点是函数图象上任意一点，点关于原点的对称点的轨迹是函数的图象.

（1）解关于的不等式；

（2）当时，总有恒成立，求的取值范围．

22．已知函数

（1）若为单调增函数，求实数的值；

（2）若函数无最小值，求整数的最小值与最大值之和.

参考答案

1．B

∵集合，，

∴，

故选B.

2．D

由题意，得，

又因为是纯虚数，所以，解得.

故选：D.

3．B

若，则，无法得到，充分性不成立；

若，，，则，，必要性成立；

“，”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

4．D

试题分析：由题意得，根据全称命题与特称命题互为否定，所以命题，命题为“”，故选D．

考点：全称命题与特称命题的关系．

5．B

因为，，所以.

故选：B.

6．B

由题意可知，，，

则，，

则所用时间.

故选:B.

7．C

,

故:

根据等差数列,

可得:

故选:C.

8．B

∵f(x＋2)＝f(x)，

∴函数的周期为2．

由题意可得，

在同一坐标系内画出函数和的图象，如下图，

由图象得，两函数图象有5个交点，

所以函数y＝f(x)－|log5x|共有5个零点．

故选B．

9．ABC

对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确；

对于B，当时，，B正确；

对于C，当时，，C正确；

对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.

故选：ABC.

10．BC

解：对于A：的最小正周期，故A错误；

对于B：因为为最小正周期的奇函数，是由将轴下方的图形关于轴对称得到的，故的最小正周期，故B正确；

对于C：的最小正周期，故C正确；

对于D：的最小正周期，故D错误；

故选：BC

11．ACD

因为所以 故C正确.

又因为所以 ，，

所以等差数列前6项为正数，从第7项开始为负数，

则，，为的最大值

 故ACD正确.

故选：ACD

12．BCD

因为，所以，

由，得，所以在单调递增，

由，得，所以在单调递减，

又因为，恒成立，，，结合单调性可知，大致图象如下：

对于A选项，由图象知，函数只有一个零点，故A错误；

对于B选项，函数的单调递增区间为，而，所以函数在上单调递增，故B正确；

对于C选项，函数的最小值是，故C正确；

对于D选项，由图象可知，当或时，方程有1个解，故D正确.

故选：BCD.

13．

，,,进而,,所以

由“向量积”的定义可知:

故答案为:

14．

由

消去cosα整理，得

25sin2α－5sinα－12＝0，

解得sinα＝或sin α＝－.

因α是三角形的内角，

所以sinα＝.

又由sinα＋cosα＝，得cosα＝－，

所以tanα＝－.

15．

因为椭圆方程为，

所以，

所以

故答案为：2

16．1

由题知：，

当时，不等式的解集为R，

等价于不等式的解集为R，

设，，即在R上为减函数，不符合题意.

当时，不等式的解集为R，

等价于在R上恒成立，

即于相切时，取得最大值.

设的切点为，则，切线为，

即，即.

设，，

所以，，为增函数，

，，为减函数.

所以，即的最大值为1.

故答案为：1

17．（1），（2）

（1）由函数的周期为

又曲线的一个对称中心为

故得，所以

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，

可得的图象，

再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象1，

所以

（2）

得到，因为是第一象限角，所以

18．(1)证明见解析

(2)

(1)

，

又

故数列是首项为，公比为3的等比数列；

(2)

由（1）有，

可得，

所以有.

19．(1)，

(2)

（1）因为，所以，

又函数在处的极值是2，

所以，即，解得，

检验：故，，

令，得；令，得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在取得极大值，且极大值为，

所以

（2），令，得，

令，的斜率恒为，

所以，当时，，

又，所以在处的切线为，

所以当时，为在处的切线，此时，与有一个零点，如图，

.

要使有两个零点，即与有两个交点，

所以比与相切时的位置还要向下平移，

又因为与相切时，，

所以，即.

20．(1)，，

(2)

(1)

∵，∴，

即，

，.

(2)

（2）原式.

21．（1）；（2）.

（1）由 成等差数列，得 ， 

即       ，  

由题意知： 、 关于原点对称，设 函数 图象上任一

点，则 是 上的点，所以 ，于是 ，

，，

 此不等式的解集是 ；

（2）

当时，恒成立，

即在当时恒成立，即,    

设

单调递增，    .

22．（1）.（2）

（1） 由题意，，

，解得，或，

因为函数为单调函数，所以有两个相同的根，即，

时，，为增函数，故适合题意；

（2）由（1）知，，解得，或，

①当时，则在上为减函数，

在上为增函数，

当时，有最小值，

故不适合题意；

②当时，则在上为增函数，

在上为增函数，

在上为增函数，无最小值，故适合题意；

③当时，则在上为增函数，

在上为减函数，

在上为增函数，

因为无最小值，

所以，

，

由在上恒成立，

在上单调递增，

且 存在唯一的实根

在上单调递减； 在上单调递增增，

且

存在唯一的实根，

由，

无最小值，则，，

综上，，，

，.