湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二下学期5月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，635等内容，欢迎下载使用。
数学试题
试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、班级、考场座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列的公比，前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
2．过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．某人射击8枪命中4枪，这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数为（ ）
A．720B．480C．224D．20
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．28B．56C．112D．120
6．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则（ ）
A．B．C．D．1
7．若为函数的零点，则（ ）
A．0B．1C．2D．
8．设两个相关变量和分别满足下表：
若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ）
（参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③.）
A．平均分为100
B．及格率超过86%
C．得分在内的人数约为997
D．得分低于80的人数和优秀的人数大致相等
10．研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．相关系数不变B．变量x与y的相关性变强
C．线性回归方程不变D．回归系数不变
11．已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．无最大值，有最小值
D．若函数有两个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设（）的个位数为，则 ．
13．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差D(X)=2.1，，则 ．
14．若恒成立，则实数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在数列中，，，．
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
16．（15分）的展开式中，偶数项的二项式系数之和为，且前三项系数成等差数列.
（1）求的值；
（2）若，展开式有多少有理项？写出所有有理项.
17．（15分）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立.
(1)当时，求；
(2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值；
(3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望.
18．（17分）预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位:只）：
(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势R2=PAB1−PAB，利用抽样的样本数据，求的估计值.
(3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望.
附：，其中.
19．（17分）已知，且在处取得极小值．
(1)求的值；
(2)若，且在处取得极大值，求的取值范围；
(3)证明：对于任意的，有恒成立．
发病
没发病
合计
接种疫苗
7
18
25
没接种疫苗
19
6
25
合计
26
24
50
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
1．B
【分析】利用等比数列的定义即可.
【详解】由题意可得.
故选：B
2．D
【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式.
【详解】设切点为，对函数求导可得，
则切点处的斜率为，所以切线方程为，
因为切线过点，代入切线方程，可得，
整理得，则所求切线方程为.故选：D.
3．D
【详解】试题分析：把相邻的3枪问题可以看作一个元素，故问题本质是从5个位置中有顺序是选出2个的排列数，有20种，选D.
考点：相邻问题的排列与排列数.
4．C
【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果.
【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：，
又，则.故选：C
5．B
【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解.
【详解】由，得，解得，
所以
.故选：B
6．C
【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义计算作答.
【详解】依题意，X的可能值为，则，
因此.故选：C
7．C
【分析】利用导数可得在上无零点，当时，由，可得，即，两边取对数可得结论.
【详解】当时，，求导得，
令，可得，当时，，当时，，
所以在单调递减，在上单调递增，所以，
又，所以在上无零点，
当时，。
令，得，得，即，
因为为函数的零点，则，两边取对数得，所以.
故选：C.
8．B
【分析】先将非线性回归方程化为线性，令，则可得，根据数据及公式分别求出，代入非线性回归方程可得变量和之间的关系，将代入化简计算即可.
【详解】解：因为非线性回归方程为：，则有，
令，即，列出相关变量关系如下：
所以，，
，，
所以，所以，所以，
即，即，因为，所以，
当时，.
故选：B
9．ACD
【分析】由正太分布概念及指定区间概率逐个判断即可；
【详解】由题意知，，，A：，，故A正确；
B：
，
，故B错误；
C：，
人，故C正确；
D：，
因为成绩服从标准正态分布，
，故D正确，
故选：ACD.
10．ACD
【分析】设，，得到，，根据相关系数的计算公式，可得判定A正确，B错误；根据回归系数的计算公式，可得判定C和D正确，即可得到答案.
【详解】设，，则，，所以，.
对于A、B中，由，
，，
则相关系数，
可得相关系数不变，所以变量x与y的相关性不变，故A正确，B错误；
对于C、D中，因为，
且回归直线过点，所以均不变，所以线性回归方程不变，故C和D都正确.
故选：ACD.
11．AC
【分析】根据题意，求得，得到，可判定A正确；求得函数的单调区间，可得判定B错误；作出的大致图象，可判定C正确；由和，结合有两个零点，求得的取值范围，可得判定D错误．
【详解】由函数，可得，则.所以A正确；
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.所以B错误；
作出的大致图象，如图所示，可得无最大值，有最小值.所以C正确；
又由，，
所以函数有两个零点，则或，所以D错误．
故选：AC.
12．123
【分析】先计算确定数列的周期性，再应用数列的周期计算即可.
【详解】因为的个位数分别为，所以数列是周期为4的周期数列，
所以，
故答案为：123
13．
【解析】由题意可知：，且，从而可得值．
【详解】由题意可知：
∴，即,∴
故答案为：
【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．
14．/
【分析】设，则原式等价于，进而得到恒成立，再根据切线不等式得解．
【详解】因为恒成立，即恒成立，
即恒成立，
设，则恒成立，
又，则在上单调递增，
可得恒成立，即恒成立，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即恒成立（当且仅当时取等号），所以，解得
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用，化简可知，进而可知数列是首项为、公比为的等比数列；
（2）通过可知，进而利用分组求和法计算即得结论．
【详解】（1）证明：
又数列是首项为、公比为的等比数列；
（2）由（1）可知，即，
.
16．（1）或；（2）3项，， ，.
【分析】（1）根据题意，求得，求得展开式的前3项，结合前三项系数成等差数列，列出方程，即可求解；
（2）由（1）得到二项式，求得展开式的通项，结合通项确定的值，即可求解.
【详解】（1）因为偶数项的二项式系数之和为128，所以，解得，
所以二项展开式为
第一项：，系数为1，
第二项：，系数为 ，
第三项：，系数为，
由前三项系数成等差数列得：，解得或.
（2）若，由（1）得，故二项展开式为，
可展开式的通项为，其中
由于，要成为有理项，则，
当时，； 当时，；当时，
所以展开式有3项为有理项，分别是.
17．(1)
(2)；
(3)的分布列见解析；
【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，即可求得；
（2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简的，利用基本不等式即可求得的最小值及相应的值；
（3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5，求出对应概率，得到分布列与数学期望.
【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，
所以甲笔试满分的概率为，则，又，所以.
（2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，
所以甲能够进入面试的概率，
由（1）知，则，
则，整理得，
因为， ，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为.
（3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率，
由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束，
所以甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的分布列为：
数学期望为：.
18．(1)接种该疫苗与预防该疾病有关.
(2)
(3)分布列见解析，.
【分析】（1）求得卡方值，比较临界值即可判断；
（2）由条件概率计算公式即可求解；
（3）由题意确定，进而可求解；
【详解】（1）根据列联表可得
，
所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关.
（2）由于.
所以，，
,
由列联表中的数据可得，，所以.
（3）由题可知，抽取的24只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为18只和6只，所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的概率为，
则由题意可知，且，
，，
，，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为.
19．(1)1
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）通过对函数求导得到，再对求导得到，利用导数的单调性以及特殊点的值来判断的正负，进而根据函数极值的判定定理判断函数在处是否取得极小值.
（2）通过对函数求导，根据导数的性质判断函数的单调性，进而确定函数的极值点，从而求出参数 的取值范围.
（3）先看，此时结论显然成立.对于，设、两点，写出直线AB方程.
接着设，求二阶变化情况，发现其递增.
用反证法，若或会推出矛盾，所以，这表明先减后增，
那么在到间，即，进而得到，最终得出结论.
【详解】（1），则，解得，
当时，，
①当时，单调递增，又由，可知当时，，
②当时，对求导，得到，可知单调递增，有（理由：，只需证），
可知当时，单调递增，又由，可知当时，，
由①②可知时，函数在处取得极小值；
（2），则，对求导得到，
①当时，若单调递增，当时，不可能是的极大值点，
②当时，当时，单调递增，若，可得当时，单调递增，由①知不可能是的极大值点，
若时，存在，使当时，，当时，，又由，可知当时，时，故是函数的极大值点，由上知的取值范围为；
（3）时显然成立，时，，
不妨设，且，直线，
设，则，
当时，对求导得到，
则在上单调递增，又，
若，则在上单调递增，，矛盾，
若，则在上单调递减，，矛盾，
故，即在上先单调递减，后单调递增，
则时，，此时，
则，
综上所述：题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
B
C
C
B
ACD
ACD
题号
11









答案
AC









0
1
3
3
4
3
4
5
0
1
2
3