湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（含答案解析）

这是一份湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
2. 已知D为三棱锥棱的中点，则（ ）
3. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（ ）
4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
5. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）

6. 高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
7. 设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（ ）
8. 已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
9. 如图，正方体的棱长为1，下列结论正确的是（ ）
10. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ）
11. 关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 数列成等比数列，其公比为q，前n项和为Sn．若，，则_______．
13. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
14. 抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点,射线与抛物线交于点，与抛物线准线交于点．若成等差数列，则_______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 已知圆．
(1)过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，求点P的坐标；注：两条直线相交所形成的小于等于的正角称为这两条直线的夹角
(2)点，，动点P始终满足，试判断动点P的轨迹与圆的位置关系；
16. 已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
17. 如图，三棱锥中，是边长为的正三角形，，底面于点，，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
18. 已知圆锥曲线上的点的坐标满足．
（1）说明是什么图形，并写出其标准方程；
（2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，点为．
①求直线在轴上的截距的取值范围；
②求证：的平分线总垂直于轴．
19. 如图，直线与相交于点M.直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，….点的横坐标构成数列.
(1)求的值，并求与的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前n项和.
湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题
整体难度：适中
考试范围：数列、空间向量与立体几何、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．34
C．52
D．
A．6
B．9
C．11
D．14
A．
B．
C．
D．
A．462
B．465
C．468
D．475
A．2
B．3
C．4
D．6
A．
B．
C．
D．
A．若P在棱AB上运动，则直线与直线所成的夹角一定为
B．若P在棱AB上运动，则三棱锥的体积为
C．若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为
D．若P在内（包含边界）运动，则直线与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为
A．，
B．离心率为
C．的面积为12
D．的外接圆面积为
A．若数列为等比数列，且其前项的和，则
B．若数列为等比数列，且，则
C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列
D．若数列为等差数列，，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
7
适中
11
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；等差数列前n项和的基本量计算
2
0.94
用空间基底表示向量；空间向量加减运算的几何表示；空间向量数乘运算的几何表示
3
0.85
空间向量加减运算的几何表示；空间向量数量积的应用
4
0.85
利用定义求等差数列通项公式
5
0.65
抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
6
0.85
累加法求数列通项；求等差数列前n项和
7
0.65
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的焦距
8
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；由直线与圆的位置关系求参数
二、多选题
9
0.65
锥体体积的有关计算；求异面直线所成的角；求线面角；线面垂直证明线线垂直
10
0.85
椭圆定义及辨析；求椭圆的离心率或离心率的取值范围；椭圆中焦点三角形的面积问题；椭圆中焦点三角形的其他问题
11
0.65
求等差数列前n项和的最值；等比数列下标和性质及应用；等比数列片段和性质及应用；前n项和特点
三、填空题
12
0.85
等比数列前n项和的基本量计算
13
0.85
由直线与圆的位置关系求参数；求点关于直线的对称点；直线关于直线对称问题
14
0.65
根据抛物线方程求焦点或准线
四、解答题
15
0.65
轨迹问题——圆；判断圆与圆的位置关系；已知切线求参数
16
0.65
由定义判定等比数列；求等比数列前n项和；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式恒成立问题
17
0.65
证明线面平行；面面角的向量求法；判断线面是否垂直
18
0.65
利用椭圆定义求方程；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；椭圆中的定直线
19
0.65
由定义判定等比数列；求递推关系式；求等比数列前n项和；错位相减法求和
序号
知识点
对应题号
1
数列
1,4,6,11,12,16,19
2
空间向量与立体几何
2,3,9,17
3
平面解析几何
5,7,8,10,13,14,15,18