河南省信阳市淮滨县多校联考2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份河南省信阳市淮滨县多校联考2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
4．已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
6．等差数列前项和为，则（ ）
A．44B．48C．52D．56
7．双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知分别是函数的零点，则（ ）
A．B．C．3D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是方程的实根，则下列各数为正数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（ ）

A．为的中点时，平面平面
B．为的中点时，平面
C．存在点，使得三棱锥体积是8
D．存在点，使得直线与平面所成的角为
11．已知函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数
B．在上单调递增
C．关于点中心对称
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则 ．
13．已知是函数的零点，则 .
14．设函数，若且，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角A，，所对的边分别为，，，的最大值为.
(1)求角；
(2)若点在上，满足，且，，解这个三角形.
16．已知函数（）．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，求实数的取值范围．
17．某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的列联表：
(1)根据以上数据，判断是否有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；
(2)若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：．
18．已知数列满足，，数列的前项和为，且．
(1)求数列，的通项公式，
(2)求数列的前项和为．
19．已知点，在双曲线（，）上，直线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点；
(3)当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据交集、并集的定义求出、，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】因为，，
所以，，
即，，.
故选D.
2．【答案】C
【分析】上午打球为事件A，下午游泳为事件B，利用全概率公式求出，再利用条件概率公式计算即得.
【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件，
则，
于是，因此，
所以上午打球的概率为.
故选C.
3．【答案】C
【分析】构造函数，可判断在上的单调性，根据单调性即可求解.
【详解】令，，则，
所以在单调递减，因为，所以，
时，不等式化为，即，即，所以，
所以不等式的解集为.
故选C.
4．【答案】A
【分析】由，得，由必要不充分条件可得的取值范围.
【详解】由，得，
因为不等式成立的一个必要不充分条件是，
所以.
故选A.
5．【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质，并结合奇函数的定义，即可判断选项.
【详解】根据二次函数和指数函数的性质可知，和不是奇函数，故AB错误；
的定义域为，且满足，所以函数是奇函数，
当时，，所以函数在先增后减，故C错误；
的定义域为，且满足，所以函数是奇函数，
并且是增函数，也是增函数，所以在单调递增，故D正确.
故选D.
6．【答案】C
【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可
【详解】.
故选C.
7．【答案】B
【分析】根据双曲线的离心率为，求得，即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】由题意，双曲线的离心率为，
即，所以，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选B.
【关键点拨】本题考查了双曲线的几何性质——渐近线方程的求解，根据双曲线的离心率，得到是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
8．【答案】C
【分析】由题意可得函数与直线的交点为，与直线的交点为，而与互为反函数，则由反函数的性质可得和关于直线对称，从而得，，进而可求得答案.
【详解】由题意可得函数的零点为函数与直线的交点的横坐标，
则两函数图象的交点坐标为， ，
函数的零点为函数与直线的交点的横坐标，
则两函数图象的交点坐标为，，
因为与互为反函数，其图象关于直线对称，直线也关于直线对称，
所以点和关于直线对称，
所以，
所以.
故选C.
9．【答案】BC
【分析】根据是方程的实根可得，计算判断各个选项.
【详解】因为是方程的实根，令，当时，，当时，，可得
对于A，因为，所以，则，A错误；
对于B，因为，所以，则，B正确；
对于C，因为，所以，C正确；
对于D，因为，所以，则，D错误；
故选BC.
10．【答案】ABC
【分析】利用圆柱性质和等腰直角三角形性质证明平面，结合面面垂直判定定理可判断A；利用直线平行的传递性证明，然后由线面平行判定定理可判断B；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离向量公式求点到平面的距离，然后由棱锥体积公式列方程即可判断C；求出平面的法向量，根据线面角的向量公式列方程求解可判断D.
【详解】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，
由圆柱性质可知平面，
又平面，所以，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为是平面内的相交直线，所以平面，
又平面，所以平面平面，A正确；
对于B，因为为圆柱底面圆的直径，所以，
由上知，，所以，
由棱柱性质可知，，所以，
因为平面，平面，所以平面，B正确；

对于C，以中点为原点，所在直线为轴，圆柱的旋转轴为轴，
过点垂直于平面的直线为轴建立如图所在空间直角坐标系，
则，
因为点在以CD为直径的半圆上，所以设，
则，
设为平面的法向量，
则，令，得，
则点到平面的距离为，
易知，为正三角形，
所以，
所以，
令，则，
因为，所以，所以，
所以，显然有解，
所以存在点（与不重合），使得三棱锥体积是8，C正确；
对于D，由上可得，
设平面的法向量为，
则，
令得，
若存在点，使得直线与平面所成的角为，
则，整理得，
因为，所以，即，，
此时，点与点重合，无法确定平面，不符合题意，D错误.
故选ABC.
11．【答案】ABD
【分析】由，结合偶函数定义及性质判断C，结合条件及偶函数定义判断A，结合指数函数单调性及周期性判断B，由条件结合周期性，对称性求判断D.
【详解】因为，
所以函数为偶函数，
所以函数的图象关于直线对称，C错误；
由，可得，
由，可得，
所以，
所以函数为偶函数，A正确；
因为当时，，
又函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，所以函数为周期函数，为函数的一个周期，
所以函数在上单调递增，B正确；
因为为函数的一个周期，
所以，又，
所以，D正确；
故选ABD.
12．【答案】3
【分析】根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的期望公式计算即得.
【详解】依题意，摸出红球个数服从超几何分布，，
所以.
故答案为：3.
13．【答案】1
【分析】利用三次导数判断的单调性，结合可得，然后可得.
【详解】由题可得，记，
则，记，
则，所以在上单调递增，
又，所以，所以在上单调递增，
又，所以当时，，在上单调递增，
因为，所以在上存在唯一零点，
所以.
故答案为：1.
14．【答案】
【分析】画出函数的图象，判断的范围，进而可得，然后利用导数研究函数的性质，进而推出的取值范围．
【详解】函数，
若且，
如图画出函数的大致图象，
由已知条件可知：，
，
，
，
由，故在为减区间，
，
的取值范围是：．
故答案为：．
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简函数式，再利用三角函数的性质求A；
（2）利用平面向量的基本定理及数量积计算可得AC，余弦定理可得BC，再由勾股定理逆定理可得B、C.
【详解】（1）由，
由题意及三角函数的性质可知：，即，
又，∴；
（2）

如图所示，易得，
∴(负值舍去)，
由余弦定理可得：，∴，
显然：，由勾股定理逆定理可得.
综上.
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)求导，根据导数判断函数单调性，进而可得最值；
(2)由，可知，可初步确定的取值范围，再变换主元，根据关于函数单调性可得，再根据(1)可知当时恒成立.
【详解】(1)当时，，，
可得，，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
则函数的最小值为；
(2)由题意有，
又由函数（）单调递减，且，可得，
下面证明：当时，，
由关于的函数（）单调递减，
则有，
由(1)有，故有在时恒成立，
故若，则实数的取值范围为．
17．【答案】(1)有
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算，与临界值比较可得结论；
（2）利用超几何分布写出分布列和期望.
【详解】（1）由题可知：
则，
因为，所以有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；
（2）座谈的家长中更喜欢正装的人数为，更喜欢运动装的人数为，
由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
故X的分布列为：
所以X的数学期望．
18．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据构造法可得数列的通项公式，再根据退一相减法可得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法可得数列前项和.
【详解】（1），，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
；
，
当时，，即，
当时，，所以，即，
当时，，；
（2）由（1）得
，
，
作差可得，
.
19．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）将点的坐标代入方程，求出a，b，即可得双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线，结合韦达定理可得直线方程，即可得证；
（3）由已知可得直线与双曲线相切，可得，也可得点与的坐标，进而可得点的轨迹方程.
【详解】（1）由点，在双曲线，
即，解得，
所以双曲线方程为；
（2）
由已知，设，，
联立直线与双曲线，得，
则，即，且，
则，，
又点与关于轴的对称，
则，
所以直线，即
，
即直线，恒过定点；
（3）由已知直线，，且，
联立直线与双曲线，可得，
则,，
即，
所以，,代入直线可得，
即，
所以直线，即，
所以，，
即，可得.
即点的轨迹方程为.更喜欢正装
更喜欢运动装
家长
120
80
学生
160
40
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
更喜欢正装
更喜欢运动装
总计
家长
120
80
200
学生
160
40
200
总计
280
120
400
X
0
1
2
P