河南省信阳市淮滨县多校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（解析版）

这是一份河南省信阳市淮滨县多校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 已知集合，，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，
所以，，，故A、B、C正确，D错误；
故选：D
2. 某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设上午打球为事件，下午游泳为事件，
则，
于是，因此，
所以上午打球的概率为.
故选：C
3. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，，则，
所以在单调递减，因为，所以，
时，不等式化为，即，即，所以，
所以不等式的解集为.
故选：C.
4. 已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
因为不等式成立的一个必要不充分条件是，
所以.
故选：A.
5. 下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据二次函数和指数函数的性质可知，和不是奇函数，故AB错误；
的定义域为，且满足，所以函数是奇函数，
当时，，所以函数在先增后减，故C错误；
的定义域为，且满足，所以函数是奇函数，
并且是增函数，也是增函数，所以在单调递增，故D正确.
故选：D
6. 等差数列前项和为，则（ ）
A. 44B. 48C. 52D. 56
【答案】C
【解析】.
故选：C.
7. 双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，双曲线的离心率为，
即，所以，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，故选B.
8. 已知分别是函数的零点，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由题意可得函数的零点为函数与直线的交点的横坐标，
则两函数图象的交点坐标为， ，
函数的零点为函数与直线的交点的横坐标，
则两函数图象的交点坐标为，，
因为与互为反函数，其图象关于直线对称，直线也关于直线对称，
所以点和关于直线对称，
所以，
所以.
故选：C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知是方程的实根，则下列各数为正数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为是方程的实根，
令，当时，，
当时，，可得
对于A，因为，所以，则，A错误；
对于B，因为，所以，则，B正确；
对于C，. 因为，所以，C正确；
对于D，因为，所以，则，D错误；
故选：BC.
10. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（ ）

A. 为的中点时，平面平面
B. 为的中点时，平面
C. 存在点，使得三棱锥体积是8
D. 存在点，使得直线与平面所成的角为
【答案】ABC
【解析】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，
由圆柱性质可知平面，
又平面，所以，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为是平面内的相交直线，所以平面，
又平面，所以平面平面，A正确；
对于B，因为为圆柱底面圆的直径，所以，
由上知，，所以，
由棱柱性质可知，，所以，
因为平面，平面，所以平面，B正确；

对于C，以中点为原点，所在直线为轴，圆柱的旋转轴为轴，
过点垂直于平面的直线为轴建立如图所在空间直角坐标系，
则，
因为点在以为直径的半圆上，所以设，
则，
设为平面的法向量，
则，令，得，
则点到平面的距离为，
易知，为正三角形，
所以，
所以，
令，则，
因为，所以，
所以，
所以，显然有解，
所以存在点（与不重合），使得三棱锥体积是8，C正确；
对于D，由上可得，
设平面的法向量为，
则，
令得，
若存在点，使得直线与平面所成的角为，
则，整理得，
因为，所以，即，，
此时，点与点重合，无法确定平面，不符合题意，D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. 为偶函数
B. 在上单调递增
C. 关于点中心对称
D.
【答案】ABD
【解析】因为，
所以函数为偶函数，
所以函数的图象关于直线对称，C错误；
由，可得，
由，
可得，
所以，
所以函数为偶函数，A正确；
因为当时，，
又函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，所以函数为周期函数，为函数的一个周期，
所以函数在上单调递增，B正确；
因为为函数的一个周期，
所以，又，
所以，D正确；
故选：ABD.
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则______．
【答案】3
【解析】依题意，摸出红球个数服从超几何分布，，
所以.
故答案为：3
13. 已知是函数的零点，则__________.
【答案】1
【解析】由题可得，记，
则，记，
则，所以在上单调递增，
又，所以，所以在上单调递增，
又，所以当时，，在上单调递增，
因为，所以在上存在唯一零点，
所以.
故答案为：1
14. 设函数，若且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数，
若且，
如图画出函数的大致图象，
由已知条件可知：，
，
，
，
由，故在为减区间，
，
的取值范围是：．
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，的最大值为.
（1）求角；
（2）若点在上，满足，且，，解这个三角形.
解：（1）由
由题意及三角函数的性质可知：，即，
又，∴；
（2）如图所示，易得，
∴(负值舍去)，
由余弦定理可得：，，
显然：，由勾股定理逆定理可得
综上.
16. 已知函数（）．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，，
可得，，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
则函数的最小值为；
（2）由题意有，
又由函数（）单调递减，且，可得，
下面证明：当时，，
由关于的函数（）单调递减，
则有，
由（1）有，故有在时恒成立，
故若，则实数的取值范围为．
17. 某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的列联表：
（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；
（2）若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：．
解：（1）由题可知
则，
因为，所以有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异．
（2）座谈的家长中更喜欢正装的人数为，更喜欢运动装的人数为．
由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
故X的分布列为
所以X的数学期望．
18. 已知数列满兄，，数列的前项和为，且．
（1）求数列，的通项公式，
（2）求数列前项和为．
解：（1），，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
；
，
当时，，即，
当时，，所以，即，
当时，，；
（2）由（1）得
，
，
作差可得，
.
19. 已知点，在双曲线（，）上，直线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点；
（3）当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
解：（1）由点，在双曲线，
即，解得，
所以双曲线方程为；
（2）由已知，设，，
联立直线与双曲线，
得，
则，即，且，
，，
又点与关于轴的对称，
则，
所以，
即，
即，恒过定点；
（3）由已知直线，，且，
联立直线与双曲线，可得，
则,，
即，，
所以，,代入直线可得，
即，
所以直线，即，
所以，，
即，可得.更喜欢正装
更喜欢运动装
家长
120
80
学生
160
40
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
更喜欢正装
更喜欢运动装
总计
家长
120
80
200
学生
160
40
200
总计
280
120
400
X
0
1
2
P