河北省沧州市献县迎春中学2024−2025学年高二下学期第三次月考 数学试卷（含解析）

这是一份河北省沧州市献县迎春中学2024−2025学年高二下学期第三次月考 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知是函数的导数，则“在上为减函数”是“在内恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．为了进一步加强对青少年的中华优秀传统文化教育和自然生态保护教育，某市举行了面向中学生的“青少年中华优秀传统文化暨自然生态保护知识大赛”．经层层选拔，学生甲等10名选手进入了决赛，其中决赛的一个环节是从有若干道中华优秀传统文化类试题和自然生态保护类试题中不放回地抽两次，每次抽一道，进行现场回答．已知第一次抽取抽到自然生态保护类试题的概率是，连续两次抽取抽到自然生态保护类试题的概率是，则学生甲在第1次抽到自然生态保护类试题的条件下，第2次抽到自然生态保护类试题的概率是( )
A．B．C．D．
3．已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
4．按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为（ ）
A．2023年11月12日B．2023年11月13日
C．2023年11月14日D．2023年11月15日
5．已知是等比数列，，，则
A．B．C．D．
6．已知函数的极值点为，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
7．袋中装有标号为且大小相同的个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和不是的倍数，则获奖，若有人参与摸球，则恰好人获奖的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，设命中目标的人数为，则等于（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为0
D．是偶函数
10．关于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．展开式所有项的系数和为B．展开式二项式系数和为
C．展开式中第5项为D．展开式中不含常数项
11．数列中，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．二项式的展开式中常数项是 ；展开式中各项的二项式系数之和为 ．
13．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望 ．
14．若随机事件、满足：，，，则 .
四、解答题
15．证明：
（1）函数在定义域上是减函数；
（2）函数在区间上是增函数．
16．某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
(1)求甲在一年内考试失败的概率；
(2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
17．已知等差数列的前n项和为，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18．2022年初，新冠疫情在辽宁葫芦岛市爆发，市某慈善机构为筹措抗疫资金，在民政部门允许下开设“疫情无情人有情”线上抽奖活动，任何人都可以通过捐款的方式参加线上抽奖.在线上捐款后，屏幕上会弹山抽奖按钮，每次按下按钮后将会随机等可能的出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字中的一个.规定：若出现“利”字，则抽奖结束.否则重复以上操作，最多按4次.获奖规则如下：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，获一等奖；不按顺序出现这四个字，获二等奖；出现“抗”“疫”“胜”三个字为三等奖.
（1）求获得一､二､三等奖的概率；
（2）设按下按钮次数为，求的分布列和数学期望.
19．已知函数，.
（1）若，求函数的最小值；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】若在上为减函数时，在内不恒成立，
例如，显然在递减，但当时，则；
若在内恒成立，设任意，则在点处的切线的斜率，所以在上为减函数．
所以“在上为减函数” 是“在内恒成立”的必要不充分条件．
故选B．
2．【答案】A
【详解】设学生甲第1次抽到自然生态保护类试题为事件，第2次抽到自然生态保护类试题为事件，则有，
则学生甲在第1次抽到自然生态保护类试题的条件下，第2次抽到自然生态保护类试题的概率为．
故选 ：A
3．【答案】A
【详解】等差数列，，，
，，则取最大值时，.
故选A.
4．【答案】C
【详解】根据题意，从2023年10月26日开始到读完的前一天，
他每天阅读《巴黎圣母院》的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为60，公差为，
则由，且，得，
所以小方读此书20天恰好可以读完，故他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为2023年11月14日.
故选C
5．【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，，，
∴，∴.
故选C.
6．【答案】C
【详解】由，得（），令（），则，在上单调递增，由，可得存在，使，即，进而可判断出为其极值点
【详解】解：由，得（），
令（），则，
所以在上单调递增，
因为，
所以存在，使，即，
当时，，
当时，，
所以为 的极大值点，
所以所在的区间为，
故选C
7．【答案】D
【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况，
其中两个号码的和为的倍数的有，，，，，共种情况，
一个人摸球，能够获奖的概率为，
人参与摸球，恰好人获奖的概率.
故选D.
8．【答案】A
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
则，，，
所以，，
所以，.
故选A.
9．【答案】AC
【分析】通过对函数求导，即可得出结论.
【详解】由题意，，
在中，，
∴当时，，
∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；
A项，当时，，
故在单调递增，A正确；
B项，当时，，
当时，，所以只有0一个零点，B错误；
D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.
故选AC.
10．【答案】BCD
【详解】A选项：取．有，A错，
B选项：展开式二项式系数和为，B对，
C选项：由，
则时即为第5项为，C对，
D选项：由C选项可知恒成立，D对，
故选BCD.
11．【答案】ABD
【详解】由题意得：，，，，…，
∴数列是以3为周期的周期数列．
对于A，，A正确，
对于B，，B正确，
对于C，，C错误，
对于D，由递推关系式知：，
∴
，D正确．
故选ABD
12．【答案】7 256
【详解】根据二项式展开式的通项公式可得：
.
令的指数为0，即，求得.
将代入中，常数项为.
根据二项式系数之和的性质，对于二项式，其展开式的二项式系数之和为.
在本题中，所以二项式系数之和为.
13．【答案】
【详解】利用二项分布的数学期望公式计算出的值，然后利用期望的性质可求得的值.
【详解】离散型随机变量，
，
.
14．【答案】
【详解】因为，，
，所以，
由条件概率公式可得.
15．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【详解】（1）证明：函数的定义域为，则对任意的恒成立，
故函数在定义域上是减函数.
（2）证明：对任意的，，
故函数在区间上是增函数.
16．【答案】(1)
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率；
（2）由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望
【详解】（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）由题意得的可能取值为，
所以的分布列为
故．
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：设公差为d，因为成等比数列，所以，即，
整理得，解得或，
又，所以，
因为，所以，所以，
又，解得，所以，所以；
（2）解：由（1）可知，，则，所以，
所以，则，
两式相减，可得，
所以.
18．【答案】（1）获得一､二､三等奖的概率分别为，，
（2）分布列见解析，数学期望为.
【详解】（1）一等奖：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，每个字出现概率均为，
所以概率为，
二等奖：最后一个字为“利”字，前面三个字“抗”“疫”“胜”，不能按顺序出现，
故概率为，
三等奖：“抗”“疫”“胜”三个字有一个字出现了两次，
故概率为
（2）的可能取值为1,2,3,4
其中，，，，
分布列为：
数学期望为
19．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值，，
所以函数的最小值是.
（2），恒有
设函数，，求导得，
令，，求导得：，即函数在上单调递增，
有，即函数在上单调递增，则当时，，即，
所以的取值范围是．
2
3
4
1
2
3
4