安徽省蚌埠市固镇县第二中学2024-2025学年高二下学期第二次段考 数学试题（含解析）

这是一份安徽省蚌埠市固镇县第二中学2024-2025学年高二下学期第二次段考 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（ ）
A．7B．12C．21D．42
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，为的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
6．的展开式中的常数项为（ ）
A．10B．5C．D．
7．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ）
A．0.036B．0.044C．0.966D．0.956
8．某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（ ）
A．270种B．180种C．150种D．90种
二、多选题
9．已知，则满足不等式的的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．设离散型随机变量的分布列为
若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知某品牌的一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
参考数据：若，则，．
A．该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时
B．
C．
D．
三、填空题
12．若，则 .
13．某天文兴趣小组开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为 ．（用数字作答）
14．已知函数在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题
15．某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目.
（1）若任意选择三门课程，求不同的选法总数；
（2）若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数.
16．已知函数．
（1）求函数的极大值；
（2）求函数在区间上的最小值．
17．在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球.
（1）求前两次摸出的球均为黑球的概率；
（2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望.
18．某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示：
（1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率；
（2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率.
19．已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0．
(1)求的值；
(2)证明：对；
(3)已知数列的前项和，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题可知不同的取法的种数为.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由条件概率公式可得，
.
故选B.
3．【答案】D
【详解】由，得．
故选D．
4．【答案】A
【详解】离散型随机变量服从两点分布，则，
又，所以.
故选A.
5．【答案】B
【详解】由题意可知函数的定义域为，，
令，得，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选B.
6．【答案】C
【详解】展开式的通项为，
令，解得，
所以的展开式中的常数项为．
故选C．
7．【答案】B
【详解】设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”，
则，，，，
由全概率公式，可得.
所以这件产品是次品的概率为.
故选B.
8．【答案】C
【详解】先将5名学生分成三组，每组人数有1，1，3或2，2，1两种情况，
则不同的分组方法有，再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有种，
由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择方法有种．
故选C．
9．【答案】AB
【详解】因为，
所以，
即，又，
所以或4.
故选AB.
10．【答案】AD
【详解】对于A、B项，由表格可得，所以.
则，
.故A正确，B错误；
对于C、D项，因为，，，
所以，，.故C错误，D正确.
故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】因为使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，
所以，可得该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时，故A正确；
所以，故B错误；
由，可得，故C正确；
，故D正确．
故选ACD．
12．【答案】
【详解】在中，
令，得.
13．【答案】2880
【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为．
14．【答案】
【详解】，因为函数在定义域内单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围为.
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，
若任意选择三门课程，则不同的选法总数有种；
（2）在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，
若物理和历史不能同时选，则不同的选法总数有种.
16．【答案】（1）极大值为24；
（2）．
【详解】（1）由，得，
令，得或．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，取到极大值，
所以函数的极大值为24．
（2）由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，
所以在区间上的最小值为．
17．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率；
（2）由题意，可取，
则，
，
，
，
所以的分布列为
.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得：，
所以，
甲所付停车费用小于乙所付停车费用有以下情况：
甲，乙或或，概率为：；
甲，乙或，概率为：；
甲，乙，概率为：；
所以甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率为：
（2）有以下情况：
甲，乙；概率为：；
或甲，乙；概率为：；
或甲，乙；概率为：；
所以,
所以
19．【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【详解】（1）由，得，
因为函数的极值点为0，所以，解得．
若，当时，单调递减；当时，单调递增．所以0是函数的极值点．
综上所述，．
（2）证明：令，则．
因为，在上单调递增，，
所以，使得．
当时，单调递减；
当时，单调递增．所以的极小值为，也是的最小值．
由，得，且，
所以，
当且仅当时等号成立，但，所以等号不成立，即．
所以，即．
（3）证明：当时，，
当时，，满足上式，
所以．
由（2）知对，即，
取，则，所以，即．
所以．
2
3
4
0.3
0.4
停车时间/分钟
甲
乙