山东省菏泽市2023−2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市2023−2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量BC=2,1 ，AB=0,-1 ，则AC= （ ）
A．2B．3C．2 D．22
3．图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（ ）
A．这10年粮食年产量的极差为15
B．这10年粮食年产量的平均数为31
C．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
D．这10年粮食年产量的中位数为29
4．已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ 是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若a⊥c，b⊥c ，则a//b
B．若a//b，a//α ，则b//α
C．若a//α，b//α，c⊥a ，且c⊥b ，则c⊥α
D．若β⊥α，γ⊥α ，且β∩γ=a ，则a⊥α
5．已知向量a=1 ，b=2 ，且a 与b 的夹角为45 ，则b 在a 方向上的投影向量为（ ）
A．22a B．2a C．2b D．b
6．某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ）
A．536 B．518 C．29 D．12
7．建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台O1O2 ，已知该圆台的上､下底面积分别为16πcm2 和9πcm2 ，高超过1cm ，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球O 的表面上，且球O 的表面积为100πcm2 ，则该圆台的体积为（ ）
A．80πcm3 B．259π3cm3 C．260π3cm3 D．87πcm3
8．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，D 是AB 上的点，CD 平分∠ACB ，且CD=1 ，csinA+3acsC=0 ，则△ABC 面积的最小值为（ ）
A．1B．3 C．2D．23
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知平面向量，，则（ ）
A．当时，
B．若，则
C．若，则
D．若与的夹角为钝角，则
10．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（ ）
A．A与D相互独立.B．A与B相互独立
C．B与D相互独立D．A与C相互独立
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱AB 上的动点，DF⊥ 平面D1EC ，F 为垂足，下列结论正确的是（ ）
A．FD1=FC B．三棱锥C-DED1 的体积为定值
C．BC1⊥AC D．ED1⊥A1D
三、填空题（本大题共3小题）
12．若虚数3-i 是关于x 的实系数方程2x2+mx+n=0m,n∈R 的一个根，则m= ______．
13．已知圆锥的底面半径为3 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______．
14．△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=2a2-2b2 ，则A-B 的最大值为______．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且bcsC+1=c2-csB .
(1)证明：a+b=2c ；
(2)若c=5,csC=916 ，求△ABC 的面积.
16．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.
(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.
（i） 估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；
（ii） 若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.
17．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
18．如图所示，矩形ABCD 中，AB=3 ，BC=4 .E 、F 分别在线段BC 和AD 上，AB//EF ，将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ，且平面MNEF⊥ 平面ECDF .
(1)求证：NC// 平面MFD ；
(2)若EC=3 ，求证：ND⊥FC ；
(3)求四面体NFEC 体积的最大值
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC 的三个内角均小于120 时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120 的点O 即为费马点；当△ABC 有一个内角大于或等于120 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且cs2B+cs2C-cs2A=1
(1)求A ；
(2)若bc=2 ，设点P 为△ABC 的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA ；
(3)设点P 为△ABC 的费马点，PB+PC=tPA ，求实数t 的最小值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部.
【详解】因为，
所以，故的虚部为.
故选A.
2．【答案】A
【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得AC=2,0 ，再求其模.
【详解】根据题意，AC=AB+BC=0,-1+2,1=2,0 ，
所以AC=22+02=2 .
故选A.
3．【答案】C
【分析】由折线图提供的数据进行计算估值判断．
【详解】由折线图知最大值是40，最小值是25，极差是15，A不符合题意；
平均数为28+28+27+26+33+36+40+37+25+3010=31，B 不符合题意；
前5年数据波动比后5年数据波动要小，
因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差，C符合题意；
10年数据按从小到大排序为：25,26,27,28,28,30,33,36,37,40 ，
中位数为28+302=29，D 不符合题意．
故选C．
4．【答案】D
【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可．
【详解】若a⊥c，b⊥c ，则a，b可以是平行，也可以是相交或异面，故A错误；
若a//b，a//α ，则b//α 或b⊂α ，故B错误；
若a//α，b//α，c⊥a 且c⊥b ，当a//b 时，不能证明c⊥α，C 选项错误；
若β⊥α，γ⊥α ，且β∩γ=a ，在a 上取一点P ，作PQ⊥α ，
由面面垂直的性质定理可得PQ⊂β 且PQ⊂γ ，既a 与PQ 重合，可得a⊥α ，故D正确.
故选D.
5．【答案】B
【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义求出a⋅b ，结合投影向量的定义即可求解.
【详解】由题意知，a⋅b=abcs45=2 ，
所以b 在a 上的投影向量为a⋅ba2a=21a=2a .
故选B.
6．【答案】B
【分析】将两次抽奖奖金之和为200元分为第一次与第二次都中二等奖，第一次中一等奖，第二次中三等奖，第一次中三等奖，第二次中一等奖三种情况，然后利用古典概型求概率的公式计算.
【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为1,1,1,2,1,3,1,4,1,5 ，1,6,2,1,⋯,6,3,6,4,6,5,6,6 ，共36种情况，
两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为1,3,3,1,1,1,3,3 ，概率为P1=436=19 ；
②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为6,5,6,4,6,2 ，概率为P2=336=112 ；
③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为5,6,4,6,2,6 ，概率为P3=336=112 ，
所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为P=P1+P2+P3=518 .
故选B.
7．【答案】B
【分析】画出图形，首先根据球的表面积公式计算得球的半径为R=5 ，通过勾股定理得OO2,OO1 的值，进而得圆台的高，结合圆台的体积公式即可得解.
【详解】
设球O 的半径为Rcm ，上､下底面分别为圆O1,O2 （这里上底面是指大的那个底面），
依题意，4πR2=100π ，解得R=5 ，
因为O2A2=9=32 ，
则OO2=R2-32=4cm ，同理可得，OO1=3cm ，因为圆台的高超过1cm ，则该圆台的高为7cm ，该圆台的体积为13×9π+16π+12π×7=259π3cm3 .
故选B.
8．【答案】B
【分析】根据正弦定理可得sinCsinA+3sinAcsC=0 ，从而求得tanC=-3 ，即可求出角C ,利用S△ABC=S△ACD+S△BCD 即可解出ab=b+a ，再结合基本不等式，即可求出ab 的最小值，从而得解.
【详解】因为csinA+3acsC=0 ，由正弦定理得sinCsinA+3sinAcsC=0 ，
又sinA≠0 ，可得sinC+3csC=0 ，即tanC=-3 ，
因为0＜C＜π ，所以C=2π3 ，
CD 平分∠ACB ，且CD=1 ，得12ab×sin120∘=12b×1×sin60∘+12a×1×sin60∘ ，
整理得：ab=b+a ，所以ab⩾2ab ，解得ab⩾2
所以ab⩾4 ，则S△ABC=12absinC⩾3 ，当且仅当a=b=2 时等号成立，
故△ABC 面积的最小值为3 ，
故选B.
9．【答案】ACD
【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A；根据向量平行的坐标公式计算即可判断B；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D.
【详解】对A，当时，，所以，故A正确；
对B，若，则，解得，故B错误；
对C，若，则，解得，故C正确；
对D，若与的夹角为钝角，则且与不共线，
解得且，即，故D正确，
故选ACD
10．【答案】BCD
【分析】根据相互独立事件的概念进行判定.
【详解】不放回依次取出两个，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43 ，
共12 种，
事件A= “13,14,23,24,31,41,32,42 ”；
事件B= “12,13,14,21,23,24 ”；
事件C= “12,21,31,41,32,42 ”；
事件D= “12,21,34,43 ”.
事件AD= ∅ ，事件AB= “13,14,23,24 ”，
事件BD= “12,21, ”， 事件AC= “31,41,32,42 ”，
则PA=812=23,PB=612=12 ，PC=612=12 ，PD=412=13 ，
PAD=0 ，PAB=412=13 ，PBD=212=16 ，PAC=412=13 ，
所以PAD≠PAPD ，所以A与D不相互独立；
PAB=PAPB ，所以A与B相互独立；
PBD=PBPD ，所以B与D相互独立；
PAC=PAPC ，所以A与C相互独立；
故选BCD.
11．【答案】ABD
【分析】连接DC1 ，交CD1 于点O ，连接OF ，对于A，可证得CD1⊥ 平面DOF ，进而有OF⊥CD1 ，所以F 在CD1 的中垂线上，可得FD1=FC ，即可判断；对于B，由VC-DED1=VE-CDD1 ，而三棱锥E-CDD1 的体积为定值，所以三棱锥C-DED1 的体积为定值，即可判断；对于C，在正方体中，由△D1AC 是正三角形，可得BC1 与AC 所成的角为60 ，即可判断；对于D，可证得A1D⊥ 平面AED1 ，则ED1⊥A1D ，即可判断.
【详解】
对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，连接DC1 ，交CD1 于点O ，连接OF ，则DO⊥CD1 ，
又DF⊥ 平面D1EC ，CD1⊂ 平面D1EC ，所以CD1⊥DF ，
因为DF∩DO=D,DF、DO⊂ 平面DOF ，
所以CD1⊥ 平面DOF ，又OF⊂ 平面DOF ，所以OF⊥CD1 ，
因为O 为CD1 的中点，所以F 在CD1 的中垂线上，
所以FD1=FC ，故A正确；
对于B，在正方体中，AB// 平面CDD1 ，E 为棱AB 上的动点，
所以点E 到平面CDD1 的距离即为AB 到平面CDD1 的距离，
即为正方体的棱长，为定值，△CDD1 的面积为定值，
所以三棱锥E-CDD1 的体积为定值，又VC-DED1=VE-CDD1 ，
所以三棱锥C-DED1 的体积为定值，故B正确；
对于C，连接AC、BC1 ，
在正方体中，AB//C1D1 且AB=C1D1 ，
所以四边形ABC1D1 是平行四边形，
所以BC1//AD1 ，所以∠D1AC 即为BC1 与AC 所成的角，
又△D1AC 是正三角形，所以BC1 与AC 所成的角为60 ，故C错误；
连接AD1、A1D ，则AD1⊥A1D ，
又在正方体中，AE⊥ 平面AA1D1D ，A1D⊂ 平面AA1D1D ，
所以A1D⊥AE ，又AE∩AD1=A ，AE、AD1⊂ 平面AED1 ，
所以A1D⊥ 平面AED1 ，又ED1⊂ 平面AED1 ，
所以ED1⊥A1D ，故D正确.
故选ABD.
【关键点拨】B选项，根据等体积法VC-DED1=VE-CDD1 ，所以三棱锥C-DED1 的体积为定值.
12．【答案】-12
【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为3+i ，再由韦达定理计算可得.
【详解】因为3-i 是关于x 的实系数方程2x2+mx+n=0m,n∈R 的一个根，
所以方程的另一个虚根为3+i ，
所以-m2=3-i+3+in2=3-i3+i ，解得m=-12 ，n=20 .
故答案为：-12 .
13．【答案】23
【分析】根据题意，由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列出方程，即可求解.
【详解】设圆锥的母线长为l ，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl=2π×3 ，
解得l=23 ，
故答案为：23 .
14．【答案】π6
【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到tanA=3tanB ，再利用基本不等式即可得解.
【详解】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA,b2=a2+c2-2accsB ，
两式相减得2a2-b2=2cacsB-bcsA ，
因为c2=2a2-2b2 ，所以c=2acsB-bcsA ，
由正弦定理得sinC=2sinAcsB-sinBcsA ，
即sinA+B=2sinAcsB-sinBcsA ，
所以sinAcsB+sinBcsA =2sinAcsB-sinBcsA ，
则sinAcsB=3csAsinB ，
因为在△ABC 中，csA,csB 不同时为0 ，sinA＞0,sinB＞0 ，故csA≠0,csB≠0 ，
所以tanA=3tanB ，
又c2=3a2-3b2＞0 ，所以a＞b ，则A＞B ，故0＜B＜π2 ，则tanB＞0 ，
所以tanA-B=tanA-tanB1+tanAtanB=2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB
⩽221tanB×3tanB=33 ，
当且仅当1tanB=3tanB ，即tanB=33 时，等号成立，
又0＜A-B＜π ，所以A-B⩽π6 ，即A-B 的最大值为π6 .
故答案为：π6 .
【易错警示】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
15．【答案】(1)证明见解析
(2)1574
【分析】（1）法一：根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可证明；法二：根据正弦定理和射影定理化简即可证明；
（2）根据余弦定理和完全平方公式计算可得ab=24 ，结合同角的平方关系和三角形面积公式计算即可求解.
【详解】（1）法一：根据正弦定理bcsC+1=c2-csB⇒sinBcsC+sinB=2sinC-sinCcsB ，
整理得sinBcsC+sinCcsB+sinB=2sinC⇒sinB+C+sinB=2sinC ，
因为A+B+C=π ，所以sinA=sinB+C⇒sinA+sinB=2sinC ，
由正弦定理可得a+b=2c ；
法二：由bcsC+1=c2-csB,bcsC+ccsB+b=2c ，
由射影定理知bcsC+ccsB=a （因为sinBcsC+sinCcsB=sinA ），
故a+b=2c .
（2）因为csC=916 ，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcsC ，
即25=a2+b2-98ab ，又c=5 ，故a+b=10 ，
从而25+258ab=a+b2=100 ，解得ab=24 ，
因为csC=916 ，所以sinC=1-cs2C=5716 ，
所以S△ABC=12absinC=12×24×5716=1574 .
16．【答案】(1)小吃类28家，生鲜类12家
(2)（i）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii）个数为280
【分析】（1）由题意求出小吃类所占的百分比，进而求出应抽取小吃类、生鲜类商家的数目；
（2）（i）由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和1 ，求出a ，再由百分位数和平均数的计算公式求解即可；（ii） 先求出平均日利润超过480元的商家所占的比列，即可得出答案.
【详解】（1）根据分层抽样知：
应抽取小吃类80×1-30%-15%-10%-5%-5%=28 家，生鲜类80×15%=12 家，
所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家.
（2）（i）根据题意可得0.002×3+2a+0.006×50=1 ，解得a=0.004 ，
设75百分位数为x，因为0.002+0.004+0.006×50=0.6 ，第四组频率为0.2，
所以x-450×0.004+0.6=0.75 ，解得x=487.5 ，
所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元.
平均数为325×0.002+375×0.004+425×0.006+475×0.004+525×0.002+575×0.002×50=440 ，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元.
（ii）500-48050×0.004+0.002+0.002×50×1000=280 ，
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.
17．【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是
(2)（i）答案见详解；（ii）游戏不公平，理由见详解
【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由即可求解.
（2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解.
【详解】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得
解得
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，先证四边形MNCD 是平行四边形，即可.
(2)要证线线垂直，先证线面垂直，先证FC⊥ 平面NED 即可.
(3) 设NE=x ,四面体NFEC 的体积为VNFEC=12-x-22+4 ,即可求最值.
【详解】（1）证明：∵四边形MNEF ，ECDF 都是矩形，
∴MN//EF//CD ，MN=EF=CD ，∴四边形MNCD 是平行四边形，
∴NC//MD ，∵NC⊄ 平面MFD ，∴NC// 平面MFD ；
（2）证明：连接ED ，设ED∩FC=O ，∵平面MNEF⊥ 平面ECDF ，且NE⊥EF ，
∴NE⊥ 平面ECDF ，∴NE⊥FC ，
又EC=AB=CD=3 ，∴四边形ECDF 为正方形，∴FC⊥ED ，
∴FC⊥ 平面NED ，又ND⊂ 平面NED ，∴ND⊥FC ，
（3）设NE=x ，则EC=4-x ，其中0＜x＜4 ，
由（1）得NE⊥ 平面FEC ，
∴四面体NFEC 的体积为：
VNFEC=13SΔEFC⋅NE=12⋅x⋅4-x=12-x2+4x=12-x-22+4 ，
x=2 时，四面体NFEC 的体积最大，其最大值为2 .
19．【答案】(1)A=π2
(2)-233
(3)2+23
【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cs2B+cs2C-cs2A=1 可得a2=b2+c2 ，即可求得答案；
（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.
（3）由（1）结论可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3 ，设|PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x ，推出m+n=t ，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn ，再结合基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由已知△ABC 中cs2B+cs2C-cs2A=1 ，即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1 ，
故sin2A=sin2B+sin2C ，由正弦定理可得a2=b2+c2 ，
故△ABC 直角三角形，即A=π2 .
（2）由（1）A=π2 ，所以三角形ABC 的三个角都小于120 ，
则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120 ，
设PA=x,PB=y,PC=z ，由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC 得：
12xy⋅32+12yz⋅32+12xz⋅32=12×2 ，整理得xy+yz+xz=433 ，
则PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC
=xy⋅-12+yz⋅-12+xz⋅-12=-12×433=-233 .
（3）点P 为△ABC 的费马点，则∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3 ，
设|PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x,m＞0,n＞0,x＞0 ，
则由PB+PC=tPA 得m+n=t ；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-2mx2cs2π3=m2+m+1x2 ，
|AC|2=x2+n2x2-2nx2cs2π3=n2+n+1x2 ，
|BC|2=m2x2+n2x2-2mnx2cs2π3=m2+n2+mnx2 ，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2 得n2+n+1x2+m2+m+1x2=m2+n2+mnx2 ，
即m+n+2=mn ，而m＞0,n＞0 ，故m+n+2=mn⩽m+n22 ，
当且仅当m=n ，结合m+n+2=mn ，解得m=n=1+3 时，等号成立，
又m+n=t ，即有t2-4t-8⩾0 ，解得t⩾2+23 或t⩽2-23 （舍去），
故实数t 的最小值为2+23 .
【关键点拨】解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设|PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x ，推出m+n=t ，结合费马点含义，利用余弦定理推出m+n+2=mn ，然后利用基本不等式即可求解.