山东省菏泽市2023_2024学年高一数学下学期7月期末考试

这是一份山东省菏泽市2023_2024学年高一数学下学期7月期末考试，共9页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，已知平面向量，，则等内容，欢迎下载使用。
数学试题
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知复数满足，则复数的虚部为（）
A．B．C．D．
2．已知向量，，则（）
A．2B．3C．D．
3．右图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（）
A．这10年粮食年产量的极差为15
B．这10年粮食年产量的平均数为31
C．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
D．这10年粮食年产量的中位数为29
4．已知直线是三条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，且，则
D．若，，且，则
5．已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）
A．B．C．D．
6．某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（中奖），活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元．现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（）
A．B．C．D．
7．建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体．现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上、下底面积分别为和，高超过1cm，该圆台上、下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（）
A．B．C．D．
8．在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（）
A．1B．C．2D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知平面向量，，则（）
A．当时，
B．若，则
C．若，则
D．若与的夹角为钝角，则
10．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则（）
A．与相互独立B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
11．如图，在正方体中，为棱上的动点，平面，为垂足，下列结论正确的是（）
A．B．三棱锥的体积为定值
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若虚数3－i是关于的实系数方程的一个根，则______．
13．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______．
14．的内角的对边分别为，已知，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）在中，内角的对边分别为，且．
（1）证明：；
（2）若，，求的面积．
16．（本小题满分15分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式．某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示．为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．
（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．
（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；
（ⅱ）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
17．（本小题满分15分）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．
（ⅰ）写出该试验的样本空间；
（ⅱ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
18．（本小题满分17分）如图所示，矩形中，，．分别在线段和上，，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：；
（3）求四面体体积的最大值．
19．（本小题满分17分）“费马点”是由法国数学家费马提出并征解的一个问题：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角所对的边分别为，且，点为的费马点．
（1）求；
（2）若，求；
（3）设，求实数的最小值．
高一数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．A2．A3．C4．D
5．B6．B7．B8．B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ACD10．BCD11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
解：（1）根据正弦定理，因为，
所以；
整理得，
所以，
因为，所以，
所以，
由正弦定理可得；
（2）因为，由余弦定理可得，
即，
又，故，从而，解得，
因为，所以，
所以．
16．（15分）
解：（1）根据分层抽样知：
应抽取小吃类家，
生鲜类家，
所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家．
（2）（ⅰ）根据题意可得，解得，
设75百分位数为，因为，
所以，解得，
所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．
平均数为
，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元．
（ⅱ），
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．
17．（5分）
解：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得解得
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
（2）（ⅰ）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间，；
（ⅱ）由（ⅰ）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平．
18．（17分）
（1）证明：因为四边形，都是矩形，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面；
（2）证明：连接，设，
因为平面平面，交线为，且，
所以平面，所以，
又，所以四边形为正方形，所以，
，所以平面，
又平面，所以，
（3）解：设，则，其中，
由（1）得平面，
所以四面体的体积为：
，
时，四面体的体积最大，其最大值为2．
19．（17分）
解：（1）因为，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即；
（2）由（1）可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，，，
由，得，
整理得，
则；
（3）点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去）．
故实数的最小值为．