河南省商丘市永城市外国语高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省商丘市永城市外国语高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．物理学中的摩擦力、重力都是向量B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量
C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量D．身高是一个向量
2．如图，四边形中，，则必有（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，若，则－定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
5．已知向量，，且，则（ ）
A．B．1C．D．3
6．△ABC 中，,,则
A．B．C．D．
7．已知向量，满足，，若与夹角为，则（ ）
A．2B．C．D．1
8．如图，圆的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，则（ ）
A．4B．C．D．6
二、多选题
9．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列结论不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．对于任意，，必有
C．若，则一定存在实数，使
D．若，则或
11．对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则△ABC为等腰三角形
B．若，，，则符合条件的△ABC有两个
C．若，则△ABC为等腰直角三角形
D．若，则△ABC是钝角三角形
三、填空题
12．已知向量，若，则 .
13．海上有A、B、C三个小岛，其中B岛在A岛的正东方向10海里处，C岛在A岛北偏东30°方向上，且在B岛北偏西60°方向上，则B、C两岛间的距离为 海里．
14．在中，是的中点，，点在上，且满足，则的值为 ．
四、解答题
15．化简下列各式：
（1）；
（2）
16．平面内给定两个向量.
（1）求；
（2）求.
17．在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角C的大小；
（2）求的值．
18．已知两个非零向量与不共线.
（1）若，求证：三点共线；
（2）试确定实数，使和共线.
19．在中，角、、所对的边为、、，已知.
（1）求角的值；
（2）若，的面积为，求的周长.
参考答案
1．【答案】A
【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确；
对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误；
对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误；
对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误；
故选:A．
2．【答案】B
【分析】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【详解】四边形中，，则且，
所以四边形是平行四边形；
则有，故A错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确；
由图可知，C错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．
故选B．
3．【答案】D
【详解】，
故选D.
4．【答案】C
【详解】由向量的数量积的运算公式，可得，即，
因为，所以为钝角，所以－定是钝角三角形.
故选C.
5．【答案】A
【详解】向量，，因，则，解得，
所以．
故选A
6．【答案】C
【详解】试题分析：在中，由正弦定理可得即，所以，因为，，所以为锐角，所以由可得，所以，选C.
考点：正弦定理.
7．【答案】A
【详解】，，解得：.
故选A
8．【答案】D
【详解】以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴，建立平面直角坐标系，
连接CD，OC，OD，
因为点C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，
所以三角形OCD为等边三角形，故∠OCD=∠ODC=60°，则CDAB，
因为，所以，
则，，
所以.
故选D
9．【答案】ABD
【详解】由题意，
A项，，A正确.
B项，，B正确.
C项，，C错误.
D项，，D正确.
故选ABD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，不一定是相等的向量，A错误；
对于B，任意，根据向量加法的几何意义知，当且仅当、共线同向时取“=”，B正确；
对于C，若，不一定存在实数，使，如且时，命题不成立，C错误；
对于D，若，则或或，∴D错误.
故选ACD
11．【答案】ABD
【详解】对于A，因为，，所以，所以为等腰三角形，故正确
对于B，由正弦定理得：，
因为，所以，即，所以或，则三角形有两解，故B正确；
对于C，在中，，由正弦定理得，即，
因为，所以或，即或，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，若，由正弦定理得，由余弦定理得，所以为钝角，所以是钝角三角形，故D正确；
故选ABD．
12．【答案】
【详解】解：由题得
因为，
所以.
13．【答案】
【详解】由题设可得如图所示的示意图：则
，，且（海里）.
故（海里）.
14．【答案】-4
【详解】∵，点在上，且满足，∴．
∵是的中点，∴，
∴．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得，
（2）由平面向量的加减运算法则可得
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题，，，
所以.
（2）由题得，
所以.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），
，
．
（2），
，
，
．
18．【答案】（1）证明见解析；
（2）
【详解】（1）由可得；
显然，即共线，
又因为它们有公共点，
所以可得三点共线；
（2）若和共线，且向量与不共线，
则存在实数满足，因此，
解得；
即存在，使和共线.
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由余弦定理可得，且，故.
（2）由三角形的面积公式可得，可得，
由余弦定理可得，故，
因此，的周长为.