广西壮族自治区贵港市平南县中学2024−2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区贵港市平南县中学2024−2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．设，则“”是“复数为实数”的（ ）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
3．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B是对立事件B．B与C是对立事件C．A与C是互斥事件D．A与B是互斥事件
4．已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题中为真命题的有（ ）
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱D．球体是旋转体的一种类型
10．给出以下四个命题，其中为真命题的是（ ）
A．函数y=与函数y=·表示同一个函数
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．若函数是奇函数，则函数也是奇函数
D．函数在上是单调增函数
11．在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则有一解
B．若，则有两解
C．面积的最大值为
D．若是锐角三角形，则的取值范围为.
三、填空题
12．设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
13．如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中， ；图形的面积为 ．
14．已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为 .
四、解答题
15．某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的a值；
（2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少?
16．如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
17．在中，角的对边分别为的面积为，满足.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
18．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求直线到平面的距离.
19．已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数.
（1）求的值，并证明为奇函数；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题得，因为，所以.
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得1或，
综上的取值构成的集合为.
故选D.
2．【答案】C
【详解】若复数为实数，则，即．
又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件．
故选C．
3．【答案】D
【详解】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误；
当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误；
当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误；
事件A与事件B不能同时发生，故D正确．
故选D
4．【答案】B
【详解】由题意二次函数对称轴为：，
要使得函数在上具有单调性，
需满足或，
得或，
则k的取值范围为．
故选B
5．【答案】A
【详解】对于A项，若，则或．
对于B，C，D项，显然成立，
故选:A.
6．【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选D．
7．【答案】C
【详解】根据样本数据平均数公式可知，，方差.
故选C
8．【答案】A
【详解】如图所示，将直三棱柱补全成长方体，
则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径，
所以其半径为
球O的体积为，
故选．
9．【答案】AD
【详解】选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确；
选项B：当截面与圆锥底面不平行时，圆锥底面和截面之间的部分不是圆台，故B错误；
选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如下图，故C错误；
选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确，
故选AD
10．【答案】BC
【详解】对A选项，，，或，故其定义域为，而后者，，解得，其定义域为，定义域不同，故函数不同，所以A错误；
对B选项，，所以函数的定义域为，故B正确；
对C选项，设，根据为奇函数，则定义域关于原点对称，且 ，故其为奇函数，C正确，
对D选项，反比例函数在,上单调递增，不能取并集，中间应用逗号或者“和”隔开，故 D错误.
故选BC.
11．【答案】ACD
【详解】A.根据正弦定理，，即，得,
且，则，则有一解，故A正确；
B.若，则，可得，得，则有一解，故B错误；
C.由余弦定理，，当时等号成立，
所以，所以面积的最大值为，故C正确；
D.由，则，，且，得，
所以，,
所以的范围是，故D正确.
故选ACD
12．【答案】
【详解】因为向量与平行，所以，则所以．
考点：向量共线．
13．【答案】2 3
【详解】由斜二测画法可知；
由图可得梯形的高为，
所以梯形的面积，
则平面图形的面积为.
14．【答案】
【详解】令，由，即或，解得或，
当时，解得或；当由，解得，
即函数的所有零点所构成的集合为.
15．【答案】（1）
（2）74
（3）2，4，8.
【详解】（1）由题意可得，解得.
（2）由题意可知：，
所以业主评分平均数的估计值为74.
（3）评分低于70分的三组频率之比为，
故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为，
即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设是的中点，连接.
因为是边长为6的正三角形，
所以，且，
所以该几何体的表面积.
（2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高，
则，所以.
又正方体的体积为，
所以该几何体的体积.
17．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1），再利用面积公式，
，即
又由余弦定理，得，
.
，
.
（2）设的外接圆半径为，
，
由正弦定理，得.
，
.
，
由正弦定理，得，
所以，的周长为.
18．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）因为底面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，是侧棱的中点，所以，
又，平面，平面，所以平面.
（2）
连，，两直线交于点，连，
因为底面是正方形，所以是的中点，
又分别是的中点，所以，
所以或其补角就是异面直线与所成的角，
因为为正方形，且，
所以，，
，
故，，，
即是正三角边，
所以.
所以异面直线与所成的角为.
（3）因为，平面，平面，所以平面，
则直线到平面的距离等于点到平面的距离，
又底面，平面，所以，
又底面为正方形，，
，平面，所以平面，
且平面，所以，则，
则，
设点到平面的距离为，
由可得，
即，解得，
所以直线到平面的距离为.
19．【答案】（1）；证明见解析
（2）
【详解】（1）解：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，
所以函数在上的最大值与最小值之积等于，解得，
可得，则，其定义域为，
又由，所以函数为上的奇函数.
（2）解：由，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，
因为对恒成立，所以，
即，所以实数的取值范围为.