2025年中考考前押题最后一卷：数学（上海卷）（解析版）

这是一份2025年中考考前押题最后一卷：数学（上海卷）（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列式子中，不属于二次根式的是（ ▲ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的被开方数为非负数，逐一分析即可．
【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意；
B、因，则是二次根式，故本选项不符合题意；
C、，由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意；
D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ▲ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则、准确进行判断．
【详解】解：A．，计算正确；
B．不是同类项，不能合并，计算错误；
C．，计算错误；
D．，原计算错误；
故选：A．
3．若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质．由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴右侧y随x的增大而增大，由此得出答案．
【详解】解：∵点，，
∴点A与点B关于y轴对称；
由于选项A、B的图象关于原点对称，因此选项A、B不符合题意；
，
由，可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
观察选项C、D，只有D选项的图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
故选：D．
4．如图是某中学现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量的是（ ▲ ）
A．中位数B．方差C．平均数D．众数
【答案】A
【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少17和18岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解．
【详解】解：A：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故A符合题意；
B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少17岁和18岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意；
C：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少17岁和18岁的数据，所以平均数不能求出，故C不符合题意；
D：由于众数是出现次数最多的数，17岁和18岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意；
故选：A．
5．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ▲ ）
A．两组对边分别相等B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等
【答案】D
【分析】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论．
【详解】解：A、两组对边分别相等，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；
B、两条对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；
C、两条对角线互相垂直，矩形和平行四边形都不一定具有，故不合题意；
D、两条对角线相等，矩形具有而平行四边形不一定具有，符合题意．
故选：D．
6．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ▲ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，等弧对等角，解三角形及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，利用平行线分线段成比例得出，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可．
【详解】解：过点E作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．因式分解： ▲ ．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、因式分解等知识点．先运用多项式乘多项式计算，然后再合并同类项，最后根据完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：

．
故答案为：．
8．函数的定义域为 ▲ ．
【答案】且
【分析】该题考查了求解函数定义域，根据二次根式有意义和分母不为零即可求解．
【详解】解：根据题意可得，
解得：且，
所以函数的定义域为且．
故答案为：且．
9．方程组的解是 ▲ ．
【答案】或．
【分析】本题考查了解二元二次方程，由①得③，将③代入②求出的值，即可求解；掌握解法是解题的关键．
【详解】
解：由①得：
③，
将③代入②得，
，
解得：，，
当时，
，
当时，
，
原方程组的解为或．
故答案为：或．
10．2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ▲ ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，
设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可．
【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得
，
解得．
∴最小的数为11．
故答案为：11．
11．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ▲ ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案；
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ▲ ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的一次函数解析式，进而把代入求出的值即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，得到的新的一次函数的解析式为，
当时，，
∴新的一次函数的图象与轴的交点坐标是，
故答案为：．
13．如图是用黑色棋子和白色棋子摆成的“小屋子”，则从第20个这样的“小屋子”随机摸出一枚棋子，是黑色棋子的概率是 ▲ ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的变化类的规律，概率公式，找到规律是解题的关键．观察图形可得前几个图需要棋子的个数，发现规律即可得第个图需要棋子的个数，求出第20个这样的“小屋子”共有的棋子数，再根据概率公式计算即可．
【详解】∵第1个图形共有棋子个；
第2个图形共有棋子个；
第3个图形共有棋子个；
第4个图形共有棋子个；
；
∴第个图形共有棋子个，
∴第20个图形共有棋子个，
∵每个图形有5个黑色棋子，
∴从第20个这样的“小屋子”随机摸出一枚棋子，是黑色棋子的概率是．
故答案为：．
14．如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么 ▲ ．
【答案】
【分析】本题考查平面向量，平行向量等知识，利用三角形的法则以及相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，中，，点在轴上，，分别为，的中点，连接，为上任意一点，连接，，反比例函数的图象经过点．若的面积为，则的值是 ▲ ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，得到，得到，设，得到，则，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，，分别为，的中点，
，
，
反比例函数的图象经过点，设，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为 ▲ ．
【答案】4
【分析】延长交于点，连接，根据轴对称的性质可得点在直线上，，证明，结合，得出，根据，求出，在中，勾股定理求出，根据三边关系的，即可得当点三点共线且点H在C，E之间时，最小，求解即可．
【详解】解：延长交于点，连接，
∵四边形和四边形关于直线对称，
根据轴对称的性质可得点在直线上，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴当点三点共线且点H在C，E之间时，最小，
此时，
故答案为：4 ．
【点睛】该题考查了轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，得出当点三点共线且点H在C，E中间时，最小．
17．我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若，则的长为 ▲ ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键．
设正六边形外接圆的圆心为，连接，于是得到，由题意得，，，过作于，推出是等腰直角三角形，得到，求得，得到圆的半径，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为，
连接，则，
由题意得，，，
过作于，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的长为
故答案为：．
18．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ▲ ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数图象，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于根据题意构造一元二次方程．
先根据旋转180°后图象开口方向相反，开口大小不变，顶点坐标纵坐标为，设旋转后的图象解析式为，由当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，即关于x的方程有两个相等的根，进而求解.
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
∴当旋转后的图象顶点纵坐标为，
设将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象顶点坐标为
即旋转后的图象解析式为，
∵横、纵坐标相等的点在函数的图象上，
∴当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，
∴关于x的方程有两个相等的根，
∴有两个相等的根，
∴，
解得，，
即旋转后的图象顶点坐标为，
∴点的坐标为，即
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后根据特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】原式
；分
，
原式．分
20．（本题满分10分）
琪琪在解不等式组时，发现的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示，
(1)求被墨迹覆盖的系数；
(2)答案的第四步应用的性质为________（填序号）；
A．等式的性质
B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
(3)该不等式组的解集为________
【答案】(1)6
(2)C
(3)
【分析】本题主要考查解不等式组，分式方程的计算，掌握不等式的性质，解不等式组，分式方程的方法是关键．
（1）设被墨迹覆盖的系数是，根据不等式的性质，不等式的解集，分式的计算即可求解；
（2）根据不等式的性质求解即可；
（3）解不等式组，并根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解．
【详解】（1）解：设被墨迹覆盖的系数是，
∴不等式可变形为，
∵不等式①的解集为，
∴，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴被墨迹覆盖的系数是6；分
（2）解：不等式得到，运用的是不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
故选：C；分
（3）解：，
解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集为：．分
21．（本题满分10分）
如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O；
(2)在图1中，在边上找点P，使得；
(3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线；
(4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)图见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，得到，得到四边形为平行四边形，在下方确定点使四边形为平行四边形，连接，与的交点即为点；
（2）取点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求；
（3）取的中点，过点作，交于点，连接，即为所求；
（4）连接，交于点，取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，和点O，即为所求；
由作图可知，四边形为平行四边形，
∴可看作绕点O旋转得到；分
（2）如图所示，点即为所求；
由作图可知：；分
（3）如图所示，即为所求；
由作图和垂径定理可知：，
∴；分
（4）如图所示，点即为所求；
由作图可知：，
∴，
∴，
∴，
∴点与点关于对称，
由圆的对称性可知：．分
【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
22．（本题满分10分）
小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示．
(1)求菜籽油在加热过程中与的函数关系式；
(2)在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间．
【答案】(1)
(2)加热的时间为分钟
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）设出解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出水在加热过程中与的函数关系式，再根据题意可得油温比水温高，据此建立方程，解方程后求出此时的水温，若水温不超过，则解方程所得的结果即为加热时间，若超过，则此时油温为，据此求出加热时间即可．
【详解】（1）解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为；分
（2）解：设水在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为；
由题意得，，
解得，
∵当时，，即此时水温为，不符合实际，
∴只有当水温为时，油和水继续加热，
∴，
解得，
∴加热的时间为分钟．分
23．（本题满分12分）
已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，．
(1)请写出与之间的数量关系，并证明；
(2)求证：点E是线段的黄金分割点．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）根据，得出，根据，得出，即可证明．
（2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点．
【详解】（1）解：，
证明：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．分
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴点E是线段的黄金分割点．分
24．（本题满分12分）
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D在直线下方的抛物线上；
①连接、、，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标；
②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，求点D的横坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据抛物线交点式，得到、两点坐标，再根据正切值求出点坐标，代入抛物线解析式求出的值即可；
（2）①设点，分别用含的式子表示出、，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可；
②设点，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两直线，得到点的横坐标为，再根据，得到关于的一元二次方程，从而求出，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、，证明，设，利用全等三角形的性质，求出，进而得出直线的解析式，联立直线与抛物线，即可求出点D的横坐标．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，
，，
，
在中，，
，
，
，
将代入抛物线得：，
解得：，
抛物线的表达式为；分
（2）解：①如图，设点，
点D在直线下方的抛物线上，，
，
，
，
，
，
当时，的值最大为，
此时点D的坐标为；分
②设点，
设直线的解析式为，
，解得：，
则直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，即点的横坐标为，
，
，
整理得：，
解得：或（舍），
，
如图，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、，
由旋转的性质可知，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，
，，，，
，，
解得：，，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
联立，
整理得：，
解得：（舍），，
点D的横坐标为．分
25．（本题满分14分）
已知，的半径与弦交于点．

(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，点，在上，连接，，分别与交于点，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当在弧上时，延长交于，弦与分别交于点，若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）由垂径定理的推论结合同圆中弧与弦的关系即可求证；
（2）延长交于点，连接，由圆周角定理得到，那么，再由圆周角定理得，结合对顶角相等即可求证；
（3）连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，可得 ，由等角正确相等得到，设，则，则，由勾股定理求出，则，由，得到，那么，，在中，由勾股定理建立方程 ，求解，再由线段和差计算即可．
【详解】（1）证明：∵，经过圆心，
∴，
∴；分
（2）证明：延长交于点，连接，

∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；分
（3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，

∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，分
设，则，设，则，
则，，
∴，
解得：（舍负），
∴，，分
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴．分
【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，垂径定理推论，勾股定理，解直角三角形的相关运算，矩形的判定该与性质等知识点，难度较大，计算复杂，正确添加辅助线解三角形是解题的关键．