高三数学一轮复习 三角函数图象与性质 专项练习（含答案）

这是一份高三数学一轮复习 三角函数图象与性质 专项练习（含答案），共92页。
知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数 y  sin x ， x [0，2 ] 的图象中，五个关键点是：
(0 ，0) ( ，1) ，( ，0) (3 ，1) ，(2 ，0) ．
，，
22
在余弦函数 y  csx ， x [0，2 ] 的图象中，五个关键点是：
(0 ，1) ( ，0) ，( ，1) (3 ，0) ，(2 ，1) ．
，，
22
知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k  Z )
注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 T ；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的
2
距离是 T ；
2
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 T ；
4
知识点三： y  Asin(wx  ) 与 y  Acs(wx  )(A  0, w  0) 的图像与性质
函数
y  sin x
y  csx
y  tanx
图象
定义域
R
R
{x | x  R ，x  k   }
2
值域
[1，1]
[1，1]
R
周期性
2
2

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2k   ，2k   ]
22
[  2k ，2k ]
(k   ，k   )
22
递减区间
[2k   ，2k  3 ]
22
[2k ，  2k ]
无
对称中心
(k ，0)
(k   ，0) 2
( k ，0) 2
对称轴方程
x  k  
2
x  k
无
2
最小正周期： T .
w
定义域与值域： y  Asin(wx  ) ， y  Acs(wx  ）的定义域为 R，值域为
[-A,A].
最值
假设 A  0，w  0 .
①对于 y  Asin(wx  ) ，

2
 当wx    

2k (k  Z)时，函数取得最大值A;
当wx    
2
2k (k  Z )时，函数取得最小值 A;
②对于 y  Acs(wx  ），
当wx    2k (k  Z)时，函数取得最大值A;

当wx    2k   (k  Z )时，函数取得最小值 A;
对称轴与对称中心.假设 A  0，w  0 .
①对于 y  Asin(wx  ) ，

0
当wx
  k   (k  Z )，即sin(wx
20
)

0
  1时，y  sin(wx  )的对称轴为x  x
当wx0    k (k  Z )，即sin(wx0  )  0

0
 时，y  sin(wx  )的对称中心为(x ,0).
②对于 y  Acs(wx  ），
当wx0    k (k  Z )，即cs(wx0  )  1


0
时，y  cs(wx  )的对称轴为x  x

当wx0    k  2 (k  Z )，即cs(wx0  )

0
  0时，y  cs(wx  )的对称中心为(x ,0).
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与 x 轴交点的位置.
单调性.
假设 A  0，w  0 .
①对于 y  Asin(wx  ) ，

wx   [  
2
2k , 
2
3
2k ](k  Z )  增区间
 wx   [
2
2k ,
2
2k ](k  Z )  减区间.
②对于 y  Acs(wx  ），
wx   [  2k ,2k ](k  Z )  增区间

 wx   [2k ,2k   ](k  Z )  减区间.
平移与伸缩
由函数 y  sin x 的图像变换为函数 y  2sin(2x 
 )  3 的图像的步骤； 3
方法一： (x  x  
2
 2x 
 ) .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用
3
谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.

向左平移 个单位
所有点的横坐标变为原来的1
纵坐标不变
y  sin x的图像3
 y  sin(x 
)的图像
3
2 
y  sin(2x   )的图像 所有点的纵坐标变为原来的2倍 y  2sin(2x   )的图像
3横坐标不变3
向上平移3个单位 y  2sin(2x   )  3
3
方法二： (x  x  
2
 2x 
 ) .先周期变换，后相位变换，再振幅变换.
3
所有点的横坐标变为原来的1
向左平移
个单位
纵坐标不变
y  sin x的图像 2  y  sin 2x的图像6
y  sin 2(x   )  sin(2x   )的图像 所有点的纵坐标变为原来的2倍

62横坐标不变
y  2sin(2x   )的图像向上平移3各单位 y  2sin(2x   )  3
33
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩
后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 x 而言的，即图像变换要看“变量 x ”发生多大变化，而不是“角 wx   ”
变化多少.
【方法技巧与总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
函数 y  sin x 的对称轴为 x  k  
2
(k  Z ) ，对称中心为(k.0)(k  Z) ；
函数 y  cs x 的对称轴为 x  k (k  Z) ，对称中心为(k  
2
k
,0)(k  Z ) ；
函数 y  tan x 函数无对称轴，对称中心为(
2
,0)(k  Z ) ；
求函数 y  Asin(wx  )  b(w  0) 的对称轴的方法；令
wx    
2
  k  
k (k  Z ) ，得 x  2 (k  Z ) ；对称中心的求取方法；令
w

k  
wx  k (k  Z) ，得 x ，即对称中心为(
w
k  
w
，b) .
求函数 y  Acs(wx  )  b(w  0) 的对称轴的方法；令 wx    k (k  Z) 得
  k    k  
x  2 ，即对称中心为( 2 , b)(k  Z )
ww
【题型归纳目录】 题型一：五点作图法
题型二：函数的奇偶性题型三：函数的周期性题型四：函数的单调性
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）题型六：函数的定义域、值域（最值）
题型七：三角函数性质的综合题型八：根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.
方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即 A, w, 的值的确定）
题型九：三角函数图像变换
【典例例题】
题型一：五点作图法
例 1．（2022·全国·模拟预测）已知函数 f  x  2sinx   ，   0 ，    .若 f  x   2 ，
21
f  x   0 ，且 x  x 的最小值为 ， f 0  1，求解下列问题.
2124
(1)化简 f  x 的表达式并求 f  x 的单调递增区间；
(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求 f  x 在区间0, 7 
12 
上的最值.
【答案】(1) f  x  2sin  2x    ，单调递增区间为   k ,   k  k  Z ；
X  x 
x
f  x
6 
 36

(2)完善表格见解析；图象见解析；最大值为2 ，最小值为 3 .
【解析】
【分析】
利用最大值点和零点可确定最小正周期，由此可求得 ；利用 f 0  1可求得 ，由
f x
此可得   解析式；令 2k  2x  2k k  Z  即可求得单调递增区间；
262
令 X  2x   ，利用五点作图法即可完善表格并得到图象，结合图象可求得最值.
6
(1)
若 f  x1   2 ， f  x2   0 ，即x 是 f  x 的最大值点，x 是 f  x 的零点，且 x1  x2 的最小值
12
为  ，设 f  x 的最小正周期为T ，则 T   ，即T  2   ，解得：  2 .
444
由 f 0  1可得： f 0  2sin  1，即有sin   1 ，
2
5
 2k 或 2k k  Z ，又  ， ，
6626
综上所述： f  x  2sin  2x    ；
6 


令 2k  2x  2k k  Z ，解得：  k  x  k k  Z ，
26236
 
 f  x 的单调递增区间为 3  k , 6  k  k  Z . (2)
根据“五点作图法”的要求先完成表格：令 X  2x   .
6
X  x 
0

2

3
2
2
x
 
12

6
5
12
2
3
11
12
f  x
0
2
0
2
0
由图可知：当 x   时， f  x 取到最大值2 ；当 x  7 时， f  x 取到最小值 3 .
612
例 2．（2022·全国·高三专题练习）把函数 f (x)  2sin x 的图象向左平移(0    π) 个单位，
2
得到函数 y  g(x) 的图象，函数 y  g(x) 的图象关于直线 x  π 对称，记函数h(x)  f (x)  g(x) .
6
求函数 y  h(x) 的最小正周期和单调增区间；
画出函数 y  h(x) 在区间[ π , π]上的大致图象.
2 2
【答案】（1）T  π ，单调增区间是[ π  kπ, π  kπ](k  Z) .（2）图见解析
63
【解析】
【分析】
根据三角函数图象的平移变换法则以及正弦函数的对称性确定 y  g(x) 的解析式，从而可得h(x) 的解析式，利用降幂公式与辅助角公式化简，然后利用正弦函数的周期公式结合正弦函数的单调性即可得结果；（2）利用“五点法”：列表、描点、连线，从而可得结果.
【详解】
由题意知 g(x)  2sin(x  ) ，
根据函数 y  g(x) 的图象关于直线 x  π 对称，
6
得π    π  mπ(m  Z) ，
62
即  π  mπ(m  Z) ，
3
又0    π ，所以  π ，则 g(x)  2sin(x  π) ，
233
1
则h(x)  f (x)  g(x)  4sin x  sin(x  π)  4sin x( sin x  3 cs x)
322
 2sin2 x  2 3 sin x cs x  1  cs 2x 
3 sin 2x  2sin(2x  π) 1 ，
6
则函数 y  h(x) 的最小正周期T  2π  π ，
2
令 π  2kπ  2x  π  π  2kπ(k  Z) ，得 π  kπ  x  π  kπ(k  Z) ，
26263
故函数 y  h(x) 的单调增区间是[ π  kπ, π  kπ](k  Z) .
63
列表如下：
x
 π 2
 5π 12
 π 6
π 12
π 3
π 2
2x  π
6
 7π 6
π
 π 2
0
π 2
5π 6
sin(2x  π)
6
1
2
0
1
0
1
1
2
h(x)
2
1
1
1
3
2
, ]
故 y  h(x) 在区间[ π π
2 2
上的大致图象是：
【点睛】
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解
例 3．（2022·广东·佛山市顺德区乐从中学高一期中）设函数 f  x  csx  
（   0,      0 ）的最小正周期为 ，且 f    3
4
2
2
 
 
(1)求 和 的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数 f (x) 在0, 上的图象；
x  
x
f (x)
【答案】(1)  2 ， 
(2)见解析
【解析】
【分析】

 ；
3
  3
4
先由最小正周期求出  2 ，再由 f   解出
 2
 即可；
3
直接填出表格画出图像即可. (1)
T  2  
  3
由题意知：
，解得  2 ，又 f    cs(2  ) 
44

 
，又   0 ，解得
22
  .
3
(2)
由（1）知： f  x  cs 2x    ，列表如下
3 

图像如图：
.
2x  
3
 
3
0

2

3
2
5π 3
x
0

6
5
12
2
3
11
12

f (x)
1
2
1
0
1
0
1
2
【方法技巧与总结】
在正弦函数 y  sin x ， x [0，2 ] 的图象中，五个关键点是：
(0 ，0) ( ，1) ，( ，0) (3 ，1) ，(2 ，0) ．
，，
22
在余弦函数 y  csx ， x [0，2 ] 的图象中，五个关键点是：
(0 ，1) ( ，0) ，( ，1) (3 ，0) ，(2 ，1) ．
，，
22
题型二：函数的奇偶性
例 4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 f (x) 
大值为 M 最小值为 N 则M  N＝.
【答案】2
【解析】
【分析】
(x 1)2  cs x sin x x2  cs x 1
,在区间1,1 上的最
化简 f (x) 
(x 1)2  cs x sin x x2  cs x 1
,可得
f (x)  1
2x sin x ,令
x2  cs x 1
g(x) 
2x sin x ,可得
x2  cs x 1
g(x) 奇函数,结合已知条件,即可求得答案.
【详解】
(x 1)2  cs x sin x
f (x) 
x2  cs x 1
 x2  2x 1 cs x sin x
x2  cs x 1
 1
2x sin x
x2  cs x 1 .
令 g(x) 
2x sin x x2  cs x 1
g(x) 
2x+sin x
x2  cs x 1
 g(x) ,且 x 1,1
 g(x) 为奇函数,
设其最大值为a ,则其最小值为a ,
∴函数 f (x) 的最大值为a 1 ,最小值为a 1
a 1  N
则 a 1  M

 M  N  2 .
故答案为: 2 .
【点睛】
本题考查了求函数在指定区间上最值问题,解题关键是掌诱导公式和奇偶性的判断方法,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
例 5．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）若 f (x)  2sin(x ) sin x 为偶函数，则 
.（填写符合要求的一个值）
【答案】 ，填写符合  2k   , k Z 的一个即可
33
【解析】
【分析】
把 f (x) 展开化简，只要能化成 Acs x 的形式即为偶函数.
【详解】
f (x)  2sin(x ) sin x  2sin x cs  2cs xsin sin x
 2sin cs x  (2cs 1)sin x ，只要2cs 1  0 ， f (x) 就为偶函数， cs  1 ，
2
  2k   , k Z，填写一个即可，如 .
33
故答案为：  ，填写符合  2k   , k Z 的一个即可.
33
例 6．（2022·四川德阳·三模（理））将函数 y 
3 sin x  cs x x R 的图象向左平移m(m  0)
个单位长度后，所得到的图象对应函数为奇函数，则 m 的最小值是.
【答案】 
6
【解析】
【分析】
由题可得函数 y  2sin(x  m   ) 为奇函数，进而可得m    k , k  Z ，即得.
66
【详解】
由 f  x  3 sin x  cs x  2sin(x   ) ，向左平移m m  0 个单位，得到 y  2sin(x  m   )
66
的图象，
∴函数 y  2sin(x  m   ) 为奇函数，
6
∴ 2sin(m   )  0
6
m 
所以  k , k  Z，即m  k , k  Z，
66
所以m
的最小值是 6 ．
故答案为：  .
6
例 7．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））将函数 f  x  2sin  2x   的图像向右平移 个单
3 

位，所得函数图象关于 y 轴对称，则正数 的最小值为．
【答案】 5  ## 5
1212
【解析】
【分析】
求出 f(x)平移后的解析式，根据它是偶函数可求 的值.
【详解】
将函数 f  x  2sin  2x   的图像向右平移 个单位变为
3 

f  x    2sin 2 x      =2sin  2x    2  ，


3 3
  2
k
要使其为偶函数，则
2k 1, k Z，则  
, k  Z ，
32
∵  0 ，∴当k  1时，  5 为其最小值.
12
122
故答案为： 5 .
12
例 8．（2022·上海·模拟预测）已知函数 f (x)  a sin x  b cs x （ a 、b 为常数a  0 ， x R）
在 x  π 处取得最小值，则函数 f (3π  x) 是（）
44
A．偶函数，且图象关于点(π, 0) 对称B．偶函数，且图象关于点(3π , 0) 对称
2
C．奇函数，且图象关于点(3π , 0) 对称D．奇函数，且图象关于点(π, 0) 对称
2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意先求出 f (x) 的最简形式，再根据三角函数性质对选项逐一判断
【详解】
f (x)  a sin x  b cs x 

a2  b2 sin(x ) ，若 f (x) 在 x 处取得最小值，
4
则sin( π  )  1，  5π  2kπ, k  Z， f (x)  a2  b2 sin(x  5π) ，
444
f (3π  x)  a2  b2 sin(3π  x  5π)  a2  b2 sin(x) ，
444
可得函数 f (3π  x) 是奇函数，且图象关于点(π, 0) 对称．
4
故选：D
例 9．（2022·安徽淮南·二模（理））对任意的 x R ，函数 f (x) 满足 f (x)  f (x)  4 ．若函
数 g(x)  f (x) 
sin x
sin2 x  1
在区间[2022, 2022] 上既有最大值又有最小值，则函数 g(x) 的最大
值与最小值之和为（）
A．0B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】
依题意对任意的 x R ，函数 f (x) 满足 f (x)  f (x)  4 ，
f  x  2  f x  2  0 ，所以函数F  x  f  x  2 为奇函数，
g(x)  f (x) 
sin x
sin2 x  1 ，
令G  x  g(x)  2  f (x)  2 
sin x
 F  x 
sin x
（ x R ），
sin2 x 1sin2 x 1
G x  F x 
sin x
 F  x 
sin x
 G  x ，
sin2 x 1sin2 x 1
所以G  x 为奇函数，
所以G  x 区间[2022, 2022] 上的最大值与最小值之和为0 ， 所以 g  x  G  x  2 ，所以函数 g(x) 的最大值与最小值之和4 .故选：C
 42 
例 10．（2022·山西太原·二模（理））已知函数 f  x  cs x  2 cs2    x  1 ，则下列说法

正确的是（）
A． y  f  x    为奇函数B． y  f  x    为偶函数
4 4 

C． y  f  x    1为奇函数D． y  f  x    1为偶函数
4 4 

【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦的二倍角公式以及辅角公式，可得 f  x 
cs x    ，在分别求出 y  f  x   
4 4 

和 y  f  x    1的解析式，根据三角函数的性质，即可求出结果.
4 

【详解】
1 cs   x 
因为 x 
 2
f  x  cs x  2 cs2   1  cs x  2  1
 42 2
 cs x sin x  2 cs x   ，
4 
所以 f  x 

2 cs x    ，
4 
所以 f  x    

2 cs  x       
cs x ，所以 y  f  x    为偶函数，故A 错误，
4 
4 4 
4 

B 正确；

又 y  f  x    1  2 cs x    1   2 sinx 1，所以函数 y  f  x    1为非奇非偶
4 2 4 

函数函数，故C、D 错误.故选：B.
【方法技巧与总结】
由 y  sin x 是奇函数和 y  cs x 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
若 y  Asin( x  ) 为奇函数，则  k (k  Z ) ；

若 y  Asin( x  ) 为偶函数，则  k 
若 y  Acs(x  ) 为奇函数，则  k 
(k  Z ) ；
2
 (k  Z ) ；
2
若 y  Acs(x  ) 为偶函数，则  k (k  Z ) ；
k
若 y  A tan(x  ) 为奇函数，则 
题型三：函数的周期性
(k  Z ) ，该函数不可能为偶函数.
2
例 11．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数 y  sin(x  )(  0) 与直线 y  1 的交点中，
2
距离最近的两点间距离为 ，那么此函数的周期是.
3
【答案】k且k Z
【解析】
【分析】
利用正弦型函数的性质确定两个距离最近且sin(x  )  1 的两个角，求出 ，进而求周期.
2
【详解】
根据正弦型函数的周期性，当sin(x  )  1 ，则：
2
若x     ，最近的另一个值为x    5 ，
1626
2
所以(x2  x1) 
，而 x2  x1 ，可得  2 .
33

故此函数的最小正周期是 2   ，则函数的周期为k且k Z .
故答案为： k且k Z
例 12．设函数 f (x)  tanx(  0) ，将函数 f (x) 的图象向右平移  个单位长度后，所得的
3
图象与原图象重合，则 的最小值为．
【解答】解：函数 f (x)  tanx(  0) ，将函数 f (x) 的图象向右平移  个单位长度后，得
3
到 g(x)  tan(x   ) 的图象，
3
由于得到的函数的图象与原图象重合，
故   k ， (k  Z ) ，
3
所以  3k ， (k  Z ) ，
当 k  1 时，  的最小值为 3．故答案为：3．
例 13．（2022·陕西·模拟预测（文））若 f n  sin n n  Z ，则
3
f 1  f 2  f 3  f 2021  .
【答案】0
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质判断 f n 的周期，利用周期性求值即可.
【详解】
n  6k ， k Z时， f (6k)  sin 2k  0 ，
n  6k 1， k Z时， f (6k 1)  sin(2k   ) 3 ，
32
n  6k  2 ， k Z 时， f (6k  2)  sin(2k  2 ) 3 ，
32
n  6k  3， k Z 时， f (6k  3)  sin(2k   )  0 ，
n  6k  4 ， k Z 时， f (6k  4)  sin(2k  4 )   3 ，
32
n  6k  5， k Z 时， f (6k  5)  sin(2k  5 )   3 ，
32
所以 f (1)  f (2)  f (3)  f (4)  f (5)  f (6)  0 ，且 f n 周期为 6，
则 f 1  f 2  f 3  f 2021  336[ f (1)  f (2)  f (3)  f (4)  f (5)  f (6)]
 f (2017)  f (2018)  f (2019)  f (2020)  f (2021)  0 .
故答案为：0
例 14．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中① y  sin x ；② y  sin x ；③ y  tan x ；④
y  1 2cs x ，其中是偶函数，且最小正周期为 的函数的个数为（）
A．1B． 2C． 3D． 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用三角函数图象，结合奇偶性和周期性，即可得出结果.
【详解】
解：①的图象如下，根据图象可知，图象关于 y 轴对称， y  sin x 是偶函数，但不是周期函数，排除①；
②的图象如下，根据图象可知，图象关于 y 轴对称， y  sin x 是偶函数，最小正周期是 ，②正确；
③的图象如下，根据图象可知，图象关于 y 轴对称， y  tan x 是偶函数，最小正周期为 ，③正确；
④的图象如下，根据图象可知，图象关于 y 轴对称， y  1 2cs x 是偶函数，最小正周期为
2 ，排除④.
故选：B.
例 15．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设函数 f (x)  sin(x   )(  0) ，若
4
f (x )  f (x )  2 时， x  x

的最小值为 ，则（）
12123
函数 f (x) 的周期为
3
将函数 f (x) 的图像向左平移 个单位，得到的函数为奇函数
4
当 x ( ,  ) ， f (x) 的值域为( 2 ,1)
6 32
函数 f (x) 在区间[, ] 上的零点个数共有 6 个
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件求出 f (x) 的最小正周期，由此判断 A，根据正弦函数的图象及性质判断B，C，D.
【详解】
由题意，得T   ，所以T  2 ，则  2  3，所以 f (x)  sin(3x   ) 选项A 不正确；
233T4
对于选项B：将函数 f (x) 的图像向左平移 个单位，得到的函数是
4
f (x)  sin[3(x   )   ]  cs 3x 为偶函数，所以选项 B 错误；
2
44
x   
3
f (x)
对于选项C：当时( , ) ，则
6 3
 3x ，所以
444
的值域为(,1] ，选项C 不正
2
确；
对于选项D：令 f  x  0  x  
 k , k Z ，所以当k  3, 2, 1, 0,1, 2 时， x [ , ]，
123
所以函数 f (x) 在区间[, ] 上的零点个数共有 6 个，D 正确，故选：D.
例 16．（2022·安徽·高三阶段练习（理））设函数 f (x) 
3 sin(x ) ， x R ，其中  0 ，
|  |  .若 f      0 ， f  5  
，且 f (x) 的最小正周期大于2 ，则（）
8  8 

A．  1 ，  11
B．  1 ，  7
324312
C．  2 ，  11D．  2 ，  
312
【答案】D
【解析】
【分析】
312
由题意求得T ，再由周期公式求得 ，再由 f ( 5 ) 
可得 5      2k ，结合|  |  ，
48
求得 值，即可得解．
【详解】
由 f (x) 的最小正周期大于2 ，得T   ，
42
122
f (5 ) 
T  53
3
又8
，f() 
8
0 ，得
，
4884
T  3 ，则 2

 3 ，即  2 ,
3
 f (x) 
3 sin( x  ) ，
2
3
由 f (5 )  3 sin( 2  5  )  3 ，得sin(5  )  1 ,

83812
 5    2k ， k Z ,
122
取k  0 ，得    ,|   |  ,
1212
  2 ，   ,
312
故选： D ．
例 17．（2022·辽宁实验中学模拟预测）函数 f  x  sin x  cs x 的最小正周期和最小值分别为（）
A．  ，1B．  ， 2C．  ，1D． ，1
4
【答案】C
【解析】
【分析】
222
根据正余弦函数的性质及辅助角公式写出 f (x) 的分段形式，进而画出函数图象，即可知答案.
【详解】

 2 sin(x   ), 2k  x  2k  
42



由题设， f (x)  
s​in(x 
), 2k  x  2k  
42
， k Z ，
 2 sin(x   ), 2k    x  2k  3
42


 2 sin(x 
), 2k  3  x  2(k 1)
42
所以 f (x) 的部分图象如下：
所以最小正周期和最小值分别为 ，1.
2
故选：C
例 18．（2022·山西临汾·一模（文））将函数 f (x)  2sin(2x   ) 的图象上各点的横坐标缩短
3
1g  x 的图象，若 g  x   g  x   4 则| x  x
| 的最小值为（）
到原来的 ，纵坐标不变，得到
2
2112
A． B． C．πD． 7
424
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意求出函数 g  x ，由 g  x2   g  x1   4 得到 x1 , x2 分别是函数 g  x 的最小值点和最大值点，进而求出答案.
【详解】
由已知， g(x)  2sin(4x 
) ，而 g  x2   g  x1   4, 则 x1 , x2 分别是函数 g  x 的最小值点和最

3
2
大值点，而函数的周期T ，则| x1  x2 | 的最小值为
42
T   .
24
故选：A.
例 19．（2022·山东德州·高三期末）若函数 f  x 
3 sin x  csx ，  0 ， x  R ，又
f  x   2 ， f  x   0 ，且 x  x
的最小值为 3 π ，则 的值为（）
12
A． 4
3
【答案】A
【解析】
【分析】
12
B． 8
3
8
C．4D． 16
3
利用辅助角公式化简函数 y  f  x 的解析式，由 x1  x2 的最小值为函数 y  f  x 的最小正
1
周期的
4
，可求得函数
y  f  x 的最小正周期，进而可求得正数 的值.
【详解】
f  x 
3sinx  csx  2sin x     0，
6 

所以2  f  x  2sin x     2 ，
6 
因为 x1  x2

的最小值为函数 y  f  x
1
的最小正周期的 ，
4
所以，函数 y  f  x 的最小正周期为T  4 3  3 ，
82
因此，  2  2  2  4 .
T33
故选：A
例 20.（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 f (x)  sin x  cs x ，将 y  f (x) 图像上所有点
1y  g(x)
.x  x
的横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数
g  x1  g  x2   2 ，则 x1  x2 的最小值为（）
的图像若 12 ，且
A． B．C． 2D． 4
2
【答案】B
【解析】
【分析】
应用辅助角公式化简 y  f (x) ，再由图像平移写出 y  g(x) 的解析式，结合已知及正弦型函数的周期性确定 x1  x2 的最小值.
【详解】
由题设， f (x) 
2 sin(x   ) ，故 y  g(x) 
4
2 sin(2x   ) ，
4
要使 x1  x2 且 g  x1  g  x2   2 ，则 g  x1   g  x2   2 或 g  x1   g  x2    2 ，
∴ x1  x2
故选：B.
的最小值为 1 个周期长度，则 x1  x2 min
 2   .
2
例 21．（2022·全国·高三专题练习）函数 f (x)  Asin(x ) ，(A  0,  0) ，若 f (x) 在区间
[0 ，  ] 是单调函数，且 f ( )  f (0)  
2

f ( ) 2
，则 的值为（）
1
2
【答案】D
【解析】
【分析】
B．1C．2 或 1
3
2
D． 3 或 2
根据 f (x) 在区间[0 ，  ] 是单调函数，得到 0  „ 2 ，再根据 f ( )  f (0)   f ( ) ，得到
22

函数 f (x) 关于 x 对称和对称中心为(
24
同一周期里面相邻求解.
【详解】
， 0) ，然后分 x 与(
24
， 0) 在同一周期和不
解： f (x)  Asin(x ) 在区间[0 ，  ] 是有单调性，且  0 ，
2
  „
11 2
T 
· ，
222 
0  „ 2 ；
f ( )  f (0)，
函数 f (x) 关于 x   对称，
2
x
 x  0 离最近对称轴
的距离为0  ( 2
) ；
22
又 f (0)  ，
f ( ) 2
 f (x) 有对称中心为( ， 0) ；
4


若 x 与(
24
， 0) 为不是同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
3 T

则，可得T   ，
442
  2 ．


若 x 与(
24
， 0) 为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
1 T

则，可得T  3 ，
442
  2 ．
3
故选：D．
例 22．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 f  x  sinx    0 在  ,   上单调，
且 f     f  4    f     ，则 的可能取值（）
 3 6 
 6  3 3 

A．只有 1 个B．只有 2 个
C．只有 3 个D．有无数个
【答案】C
【解析】
【分析】
设 f  x 的最小正周期为 T，由函数 f  x 在  ,   上单调，判断出T   ．进而计算出
 3 6 
   ,0  为 f  x 的一个对称中心， x  3 为 f  x 的一条对称轴.结合正弦函数的图象，分
 124

T  473T  3       5
T  3      5
类讨论，①
，②
36644
 12 
，③
644
 12 
，分别求
6
出 的值.
【详解】

设 f  x 的最小正周期为 T，则由函数 f  x 在  ,   上单调，可得T        ，即T   ．
 3 6 
263 

因为T  2   ，所以0    2 .

f  x
  ,  
f      f    
f  x
   
由在
6​  上单调，且
 6 
3  ，得
的一个零点为 36 ，即

   ,0  为 f  x 的一个对称中心.
212
 12

   4 
4  
因为 f  6   f  3 ，所以 x  36  3 为 f  x 的一条对称轴.
24
因为 f     f  4 ，所以有以下三种情况：
 6  3 

T  47
212
①，则 ；
366T7
②当 3T  3       5 时，则  2  9 ，符合题意；
44 12 6T5

③ T  3      5 ，则  2  3 ，符合题意．
44 12 6T5

因为T   ， 3       5 不可能满足其他情况.
4 12 6

故 的可能取值只有 3 个．故选：C
【方法技巧与总结】
关于三角函数周期的几个重要结论：
函数 y  Asin(wx  )  b, y  Acs(wx  )  b, y  Atan(wx  )  b 的周期
分别为T  2 ， T   .
ww
函数 y 
T  
w
Asin(wx  ), y 
Acs(wx  ) ， y 
A tan(wx  ) 的周期均为
函数 y 
T  2 .
w
Asin(wx  )  b (b  0), y 
Acs(wx  )  b (b  0) 的周期均
题型四：函数的单调性
例 23．（2021•湖南模拟）函数 f (x)  
则 f (x) 的单调递增区间为()
2 sin(x  )(  0 ， |  |  ) 的部分图象如图所示，
A．[k  5 ， k   ] ， k  Z
B．[k  
， k  7 ] ， k  Z
12121212
C．[k   ， k   ]， k  Z
D．[k  
， k  5 ]， k  Z
221212
【解答】解：由图象知， T  7  
4123
，T   ，
 2   ，   2 ，

 f (x)  
2 sin(2x  ) 过点(7 , 
12
2) ，
 2  7    2k  
122
   2 ，
3
，   2k  2 ，且|  |  ，
3
 f (x)  
2 sin(2x  2 ) ，
3
当2k   剟2x  22k  3 ，即k  7 剟x k  13 (k  Z ) 时，函数单调递增，
2321212
 f (x) 的单调递增区间为[k  7 , k  13 ], k  Z ，
1212
 f (x) 的单调递增区间为[k  5 , k   ], k  Z ．
1212
故选： A ．
例 24．（2022 秋•梁园区校级期末）已知函数 f (x)  2sin(x  )(  0, 0     ) ，f (x )  2 ，
21
f (x )  0 ，若| x  x | 的最小值为 1 ，且 f (1)  1，则 f (x) 的单调递减区间为()
21222
A．[1  2k, 7  2k], k  Z
66
C．[ 5  2k, 1  2k], k  Z
66
B．[ 5  2k , 1  2k ], k  Z
66
D．[ 1  2k, 5  2k], k  Z
66
【解答】解： 函数 f (x)  2sin(x  )(  0, 0     ) ， f (x )  2 ， f (x )  0 ，
212
| x  x | 的最小值为 1  2  1 ，   ．

124 2
f (1)  1  2sin(  )  2cs ，cs  1 ，   ，
2223
故 f (x)  2sin( x   ) ．
3
令2k   剟 x  2k  3 ，求得2k  1 剟x 2k  7 ，
23266
则 f (x) 的单调递减区间为[2k  1 ， 2k  7] ， k  Z ，
66
故选： A ．
例 25．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））函数 f  x 
3 sin  x  π   cs x 的单调递减区间
3 
为（）
x | π  kπ, 4π 

 π2π
A． 33
kπ , k  Z
B．  6  kπ, 3
 kπ , k  Z
C．  π  2kπ, 4π  2kπ，k  ZD．  π  2kπ, 2π  2kπ, k  Z
 33
【答案】C
【解析】
【分析】
 63
先用三角恒等变换化简得到 f  x  sin(x  π) ，再用整体法求解单调递减区间.
6
【详解】
f x 
π 
31π
3
 3 sin  x   cs x 

sin x cs x  sin(x  ) ，令
226
π  2kπ  x  π  3π  2kπ, k  Z , 解得：   2k  x  4  2k，k Z，故 f（x）的单调递减
26233
区间为 π  2kπ, 4π  2kπ，k  Z
 33
故选：C
例 26．（2022·新疆·二模（理））设函数 f  x  4sinx   ，其中0    1，   π ，若
f  3π   4 ， f  9π   0 ，则 f  x 在0, 2π上的单调减区间是（）
8
8


 3 
15
315 
A． 0, 8 π
【答案】C
【解析】
【分析】
 8 π,2πC． 8 π, 8 πD．0, π
根据 f  x 的对称中心、零点求得 ，进而求得 ，结合三角函数单调区间的求法求得正确答案.
【详解】
据题意可以得出直线 x  3 π 和点 9 π,0  分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
8 8
9π3π3π

2k 12k 1 2π
2k 1 π
所以T ，

884442
即  4k  2 （ k Z ），
3
所以  2 ；又由 f  3π   4 得sin  2  3 π     1，
3 8  3 8

即π    2kπ  π （ k Z ），
42
  π ，所以  π ，所以 f  x  4sin  2 x  π  ；
34

4
由2kπ  π  2 x  π  2kπ  3π 得 f  x 的单调减区间为3kπ  3 π, 3kπ  15 π （ k Z ），
234288
所以 f  x 在0, 2π上的单调减区间是3 π, 15 π .
故选：C
88
例 27．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））下列区间中，函数 f  x  2sin  x   单调递增
2 
的区间是（）
A．  0,  

B．  π , π 
2  2

 22 
  , 3 

【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数性质求单调区间，判断选项
【详解】

 , 2 
f  x  2sin  x   ，令 x   [   2k ,   2k ], k  Z
2 
222

解得 x [  2k , 2k ], k  Z
故选：D
例 28．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知函数
f  x 
csx     0,     的部分图象如图所示，则 f  x 的单调递增区间为（）
2


A． k   , k  5  ， k  ZB． k   , k  7  ， k  Z
1212 1212 
C． k   , k    ， k  ZD． k  5 , k    ， k  Z
22 
1212 
【答案】D
【解析】
【分析】
先结合图像求出 f  x 
cs 2x    ，再由余弦函数的单增区间求解即可.
6 

【详解】
，
由图象知 T  7   ，∴ T   ，∴ 2   ，  2 ，∴ f  x 
2 cs2x   过点 7 ,  2  ，

12
4123
∴ 2 7    2k   ，  2k   ，且    ，∴ ，∴ f  x 

2 cs 2x    .

12626
6 

令2k    2x    2k ，k  Z ，即k  5  x k    ，k  Z ，∴ f  x 的单调递增区间
6
为k  5 , k    ， k  Z .
1212
1212 
故选：D.
例 29．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列直线中，函数 f  x  7 sin  x    的对称轴
6 

是（）
2
x B． x C． x D． x 
3362
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的性质可得对称轴方程为 x  k  2 且k Z ，进而判断各项是否为对称轴
3
即可.
【详解】
x 2
令  k 且k Z，则对称轴方程为 x  k 且k Z ，
623
显然k  0 时对称轴为 x  2 ，不存在k Z 有对称轴为 x  
 .
3
故选：B.
、 6 、 2
例 30．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 f  x  sin x  π   cs π  x   2sin2 x .
6  32
(1)求函数 f  x 的单调递增区间；
(2)求使 f  x  0 成立的实数 x 的取值集合.

【答案】(1)  2π  2kπ, π  2kπ ， k  Z
33
(2) x  4π  2kπ  x  2kπ,k  Z 
3


【解析】
【分析】
由两角差的正弦和余弦公式及降幂公式化简函数解析式为 f  x  2sin  x  π  1 ，解
6 

不等式 π  2kπ  x  π  π  2kπ ， k  Z 即可得答案；
262
利用正弦函数的图象与性质求解不等式sin x  π   1 即可得答案.
6
2


(1)
解：因为 f  x  sin x  π   cs π  x   2sin2 x
6  32

 sin x cs π  cs x sin π   ππ
  2  1  cs x 
sin x  cs x  1
66 cs 3 cs xsin 3 sin x 2

 2 3 sin x  1 cs x  1  2sin x  π  1，
 22
6 

由 π  2kπ  x  π  π  2kπ ， k  Z ，解得 2π  2kπ  x  π  2kπ ， k  Z ，
26233
所以 f  x 的单调递增区间为 2π  2kπ, π  2kπ ， k  Z ；
33
(2)
解：由（1）知 f  x  2sin  x  π  1 ，
6 

由 f  x  0 ，得sin x  π   1 ，
6
2


所以 7π  2kπ  x  π  π  2kπ ， k  Z ，
666
所以 4π  2kπ  x  2kπ ， k  Z ，
3
所以 x 的取值集合为x  4π  2kπ  x  2kπ,k  Z .

3
【方法技巧与总结】
三角函数的单调性，需将函数 y  Asin(wx  ) 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.
如函数 y  Asin(wx  )(A  0, w  0) 的单调区间的确定基本思想是吧 wx   看做

是一个整体，
如由2k 
2
 wx    2kx   (k  Z ) 解出 x 的范围，所得区间即为增区间；
2

由2k 
2
 wx    2kx  3 (k  Z ) 解出 x 的范围，所得区间即为减区间.
2
若函数 y  Asin(wx  ) 中 A  0, w  0 ，可用诱导公式将函数变为
y  Asin(wx  ) ，则 y  Asin(wx  ) 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.
对于函数 y  Acs(wx  ), y  Atan(wx  ) 的单调性的讨论与以上类似处理即可.
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
例 31．（2022 春•河南期末）已知函数 f (x)  asin x  bcs x 的图象的一条对称轴是 x   ，
4
则 b  ()
3
3
a
B． 1
C．
D． 
【解答】解：函数 f (x)  asin x  bcs x 的图象的一条对称轴是 x   ，
4
故

f ( ) 
a 
2 b  ，
a2  b2
422
整理得： (a  b)2  0 ，所以a  b ，
即 b  1 ，
a
故选： A ．
例 32．（2022·宁夏·固原一中一模（文））将函数 f  x  sin  2x  π π
3  的图象向右平移 2 个单

位长度得到 g  x 图像，则下列判断错误的是
A．函数 g  x 的最小正周期是B． g  x 图像关于直线 x  7π 对称
12
C．函数 g  x 在区间 π , π  上单调递减D． g  x 图像关于点 π ,0  对称
 6 3 
 3

【答案】C
【解析】
根据三角函数的图象平移关系求出 g(x) 的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．
【详解】

由题意，将函数 f (x) 的图象向右平移
2
个单位长度，
可得 g(x)  sin[2(x   )   ]  sin(2x  2 ) ，
233
对于A ,函数的最小正周期为 2 = ，所以该选项是正确的；
2
对于 B ，令 x  7 ，则 g(7 )  sin(2 7  2 )  sin   1为最大值，
12121232
函数 g(x) 图象关于直线 x  7 ，对称是正确的；
 
12
对于C 中， x
[   ，则2x  2 [ ， 0] ，
, ]
6 33
, ]
则函数 g(x) 在区间[  
6 3
上先减后增，不正确；
2
对于 D 中，令 x ，则 g( )  sin(2 
)  sin 0  0 ，
 g(x)
3333

图象关于点( , 0) 对称是正确的，
3
故选C ．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．
例 33．（2022·湖南岳阳·一模）已知函数 f  x  Asinx   ，其中  0 ，A  0 ，函数 f  x
的周期为 ，且 x   时， f  x 取得极值，则下列说法正确的是（）
3
A．  1
2
B． f     A
 3 

C．函数 f  x 在  , 5  单调递增D．函数 f  x 图象关于点  ,0 对称
 36  12

【答案】D
【解析】
【分析】
利用周期公式可判断 A；利用极值的定义可判断 B；根据极值的不确定性可对单调性进行判断；根据对称性可判断D.
【详解】
对于A，函数 f  x  Asinx   ，其中  0 ， A  0 ，
因为函数 f  x 的周期为 ，所以  2  2 ，故A 不正确；

对于B， x   时， f  x 取得极值，
3
所以 x   为函数 f  x 的对称轴方程，但是不能确定是取得极大值还是极小值，
3
 3 
所以 f      A ，故B 不正确；

对于C，因为不能确定 x   是函数 f  x 的极大值还是极小值，
3
所以无法确定函数的单调性，故 C 不正确；
对于D，因为 x   为函数 f  x 的对称轴方程，

3

则2 3    2  k1 , k1  Z ，
解得
  6  k1 , k1  Z ，
所以 f  x  Asin  2x    k   ，
61 

所以 f     Asin  2 
 k   0 ，
 12 
1261 


所以函数 f  x 图象关于点  ,0 对称，故D 正确.
 12

故选：D
例 34．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（文））已知函数
f (x)  4sin x   sin x   ,(  0) 的最小正周期为 ，将其图象沿 x 轴向左平移
3 3 

m(m  0) 个单位，所得图象关于直线 x   对称，则实数 m 的最小值为（）
3
A． B． C． 3D． 
6344
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，先对函数 f  x 进行化简，根据最小正周期为π ，求解出 ，然后根据题意进行平
移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线 x  π 对称，建立等量关系即可求解出
3
实数 m 最小值.
x
 π sin
x
 π  

4
1 sin x  3 cs
x 
1 sin x  3 cs
x 


3 


3 


2
2


2
2


【详解】
解： f  x  4sin

 1
2 3
2 
 1 1 cs 2x
1 cs 2x 

 4  2 sin x  2 csx    4 4 2 4 2  2 cs 2x 1 ，
 
即 f  x  2cs 2x 1，由其最小正周期为π ，即 2   ，解得  1 ，
2
所以 f  x  2cs 2x 1，
将其图象沿 x 轴向左平移m （ m  0 ）个单位，所得图象对应函数为
y  2cs 2 x  m 1  2cs2x  2m 1 ，
其图象关于 x   对称，所以 2π  2m  kπ,k  Z ，所以 m   π  kπ ,k  Z ，
3332
由m  0 ，实数m 的最小值为π .
6
故选：A.
例 35．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知直线 x  π 和 x  2π 是曲线
33
f (x)  2sin(x )(π  x  π) 的两条对称轴，且函数 f (x) 在 π , 2π  上单调递减，则 的值
 2 3 
是（）
A．  π
2
【答案】A
【解析】
【分析】
B．0C． π
2

D． π
根据两条对称轴直线方程和单调递减区间可知 f (0)  2 为最小值，然后解 的值
【详解】
由 f (x) 在 π , 2π  上单调递减可知 f ( 2π)
是最小值
 2 3 3

由两条对称轴直线 x  π 和 x  2π 可知 x  0 也是对称轴且 f (0)  2 ，为最小值
故sin  1又π