第一册上册第二章 函数函数的图象练习

这是一份第一册上册第二章 函数函数的图象练习，共55页。
一、掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.
二、函数图像作法
直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.
图像的变换
平移变换
①函数 y  f (x  a)(a  0) 的图像是把函数 y  f (x) 的图像沿 x 轴向左平移a 个单位得到的；
②函数 y  f (x  a)(a  0) 的图像是把函数 y  f (x) 的图像沿 x 轴向右平移a 个单位
得到的；
③函数 y  f (x)  a(a  0) 的图像是把函数 y  f (x) 的图像沿 y 轴向上平移a 个单位得到的；
④函数 y  f (x)  a(a  0) 的图像是把函数 y  f (x) 的图像沿 y 轴向下平移a 个单位
得到的；
对称变换
①函数 y  f (x) 与函数 y  f (x) 的图像关于 y 轴对称；函数 y  f (x) 与函数 y  f (x) 的图像关于 x 轴对称；
函数 y  f (x) 与函数 y   f (x) 的图像关于坐标原点(0, 0) 对称；
②若函数 f (x) 的图像关于直线 x  a 对称，则对定义域内的任意 x 都有
f (a  x)  f (a  x) 或 f (x)  f (2a  x)（实质上是图像上关于直线 x  a 对称的两点
连线的中点横坐标为a ，即(a  x)  (a  x)  a 为常数）；
2
若函数 f (x) 的 图 像 关 于 点 (a, b) 对 称 ， 则 对 定 义 域 内 的 任 意 x 都有
f ( x)
2b
f ( 2a
或x)
f (a
x)2bf(
③ y  f (x) 的图像是将函数 f (x) 的图像保留 x 轴上方的部分不变，将 x 轴下方的部
分关于 x 轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④ y  f ( x ) 的图像是将函数 f (x) 的图像只保留 y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 y 轴对称得到函数 y  f ( x ) 左边的图像即函数 y  f ( x ) 是一个偶函数（如图（c）所示）.
注： f (x) 的图像先保留 f (x) 原来在 x 轴上方的图像，做出 x 轴下方的图像关于 x 轴
对称图形，然后擦去 x 轴下方的图像得到；而 f ( x ) 的图像是先保留 f (x) 在 y 轴右方的图像，擦去 y 轴左方的图像，然后做出 y 轴右方的图像关于 y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.
⑤函数 y  f 1(x) 与 y  f (x) 的图像关于 y  x 对称.
伸缩变换
① y  Af (x)(A  0) 的图像，可将 y  f (x) 的图像上的每一点的纵坐标伸长( A  1) 或缩短(0  A  1) 到原来的 A 倍得到.
② y  f (x)(  0) 的图像， 可将 y  f (x) 的图像上的每一点的横坐标伸长
(0    1) 或缩短(  1) 到原来的 1 倍得到.

【方法技巧与总结】
若 f (m  x)  f (m  x) 恒成立，则 y  f (x) 的图像关于直线 x  m 对称.
设函数 y  f (x) 定义在实数集上，则函数 y  f (x  m) 与 y  f (m  x) (m  0) 的图象关于直线 x  m 对称.
若 f (a  x)  f (b  x) ，对任意 x  R 恒成立，则 y  f (x) 的图象关于直线 x  a  b 对
2
称.
函数 y  f (a  x) 与函数 y  f (b  x) 的图象关于直线 x  a  b 对称.
2
函数 y  f (x) 与函数 y  f (2a  x) 的图象关于直线 x  a 对称.
函数 y  f (x) 与函数 y  2b  f (2a  x) 的图象关于点(a ，b) 中心对称.
函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.
【题型归纳目录】
题型一：由解析式选图（识图）题型二：由图象选表达式
题型三：表达式含参数的图象问题题型四：函数图象应用题
题型五：函数图像的综合应用
【典例例题】
题型一：由解析式选图（识图）
例 1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数 f (x)  sin x 
2
1 2x
的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过判断 f  x 不是奇函数，排除A，B，又因为 f  3   0 ，排除C，即可得出答案.
 2 
【详解】
因为 f (x)  sin x 
2
1 2x

的定义域为R ，又因为
f x  sin(x) 
2
1 2x
 x
 2 2
sin x 
2x 1
  f  x ，所以 f  x 不是奇函数，排除A，B.
f  3   sin(3 ) 2 12 0
 2 23
3，所以排除 C.

故选：D.
1 2 2
1 2 2
x2
ln x
例 2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数 y 
的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域与奇偶性，排除A、B 选项；结合导数求得函数在(1, ) 上的单调性，排除D 选项，即可求解.
【详解】
x
2
ln x
由题意，函数 f  x 的定义域为(, 1) (1, 0) (0,1) (1, ) ，关于原点对称，
(x)2x2
ln x
ln x
且满足 f x  f  x ，
所以函数 f  x 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除B 选项；
x2f  x  2x ln x  x  x(2 ln x 1)
当 x  1时，可得 f  x ，则
ln x
ln x2
ln x2，
当 x (1,
e) 时， f  x  0 ， f  x 单调递减；排除A 选项
当 x (
e, ) 时， f  x  0 ， f  x 单调递增，
所以排除D 选项，选项 C 符合.故选：C.
e x
例 3．（2022·天津·二模）函数 y  x sin x 的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
e x
分析函数 y  x sin x 的奇偶性及其在0,  上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
令 f  x  x sin x ，该函数的定义域为R ， f x  x sin x  x sin x  f  x ，
e xe xe x
e x
所以，函数 y  x sin x 为偶函数，排除 AB 选项，
e x
当0  x  π 时， sin x  0，则 y  x sin x  0 ，排除C 选项.
故选：D.
1 x2
例 4．（2022·全国·模拟预测）已知函数 f  x  ln 
（）
 xsinx 则函数 f  x 的大致图象为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据 x 0,  时，函数值的正负判断.
【详解】
1 x2
易知函数 y  ln 
则函数 f  x  ln 
1 x2
因为 y  ln 
x为奇函数， y  sin x 也是奇函数，
1 x2
xsinx 为偶函数，故排除选项B，C；
1 x2

 x  ln  1  ，

 x 
1 x2
当 x  0 时，
 x  1恒成立，所以ln
 0 恒成立，



1

1 x2  x 

且当 x 0, 时， sin x  0，
所以当 x 0,  时， f  x  0 ，故选项 A 正确，选项D 错误，故选：A．
例 5．（2022·全国·模拟预测）函数 f  x 
x2  2x ex
的图象大致是()
B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 f(x)的零点和 x   时函数值变化情况即可判断求解．
【详解】
由 f  x  0 得 x  0 或 2，故排除选项A；
当 x   时，函数值无限靠近 x 轴，但与 x 轴不相交，只有选项 B 满足．故选：B．
例 6．（2022·河北·模拟预测）函数 f (x)  4  cs x  cs 3x (π  x  π) 的部分图象大致为（）
33
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解.
【详解】
由已知条件得函数 f (x) 的定义域关于原点对称，
∵ f (x)  4  csx  cs3x  4  cs x  cs 3x  f  x ，
3333
∴ f (x) 为偶函数，函数的图象关于 y 轴对称，则排除选项B 、C ,
又∵ f (π)  4  cs π  cs 3π  4 1 1  8 ，
33
∴排除选项D ，故选： A .
【方法技巧与总结】
333
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
题型二：由图象选表达式
例 7．（2022·全国·模拟预测）已知 y 关于 x 的函数图象如图所示，则实数 x，y 满足的关系式可以为（）
1
A． x 1  lg3 y  0
【答案】A
【解析】
【分析】
B． 2
3
xx
1 C． 2 x1  y  0
y
D． ln x  y 1
1
将 x 1  lg3 y
 x1 1  x1
0 化为 y  3  3 
 
，结合图像变换，可判断 A;取特殊值验证，可判
断 B;作出函数 y  2 x1 的图象，可判断C;根据函数 y  ln x 1的性质，可判断 D.
【详解】 由 x 1  lg
 0 ，得lg
3 y
1  x 1 ，
3 y
所以lg3 y  x 1 ，即lg3 y   x 1 ，
 1  x1
化为指数式，得 y  3 x1   ，
 3 
 1 x
 1  x
3
其图象是将函数 y   
 
 
 
  3 
, x  0
的图象向右平移 1 个单位长度得到的，

 3x , x  0
即为题中所给图象，所以选项A 正确；
1
3
对于选项B，取 x  1 ，则由21 1 ，得 y  2  1，
y
与已知图象不符，所以选项 B 错误；
由2 x1  y  0 ，得 y  2 x1 ，其图象是将函数 y  2 x 的图象向右平移 1 个单位长度得到的，如图：
与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；
由ln x  y 1，得 y  ln x 1，该函数为偶函数，图象关于 y 轴对称，显然与题中图象不符，所以选项D 错误，
故选：A.
例 8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数 f  x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（）
A． y  f (2x 1)
B． y  f  4x 1 
2
C． y  f (1 2x)

D． y  f  1 4x 
2

【答案】C
【解析】
【分析】
分三步进行图像变换①关于 y 轴对称②向右平移 1 个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
【详解】
y  f (x)
①x x

y  f (x)
②xx1

y  f (1 x)
③x2 x

y  f (1 2x)
①关于 y 轴对称②向右平移 1 个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.
例 9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 f (x) 的大致图象如图所示，则函数 y  f (x) 的解析式
可以是（）
A． y 
C． y 
e2x 1x2 1
ex
e2x 1x2  1
ex
B． y 
D． y 
e2x 1sin x
ex
e2x  1cs x
ex
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图象，可知函数为偶函数，排除 A，D，根据 C 项函数没有零点，排除 C 项，最终选出正确结果.
【详解】
根据函数图象，可知函数为偶函数，排除 A，D；
对于C，当 x  0 时，故选：B．
e2x 1
ex
0,
x2  1
x
 2 ，函数显然不存在零点，排除 C．
例 10．（2022·全国·模拟预测）已知函数 f  x 的部分图象如图所示，则 f  x 的解析式可能为()
A． f  x  x sin πx
C． f  x  x sin π x 1
【答案】B
【解析】
【分析】
B． f  x   x 1sin πx
D． f  x   x 1cs πx
根据已知图象的对称性，结合 AC 的奇偶性可排除AC，根据已知图象 f(0)=0 可排除 D，从而正确可得B 为正确选项．
【详解】
对于A， f x  x sinπx  x sin πx  f x ，故 f  x  x sin πx 为偶函数，图象应该关于
y 轴对称，与已知图象不符；
对于C， f  x  x sinπx  π  x sin πx 也为偶函数，故排除 AC；对于D， f 0  1，与已知图象不符，故排除 D．
对于B， f 2  x  2  x 1sin π2  x  (1 x)sinπx  x 1sin πx  f x ，故 f(x)关于 x=1 对称，f(0)=0，均与已知图象符合，故 B 正确．
故选：B．
例 11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（）
f (x)  x cs x
C． f (x)  x sin x  cs x
【答案】D
【解析】
【分析】
f (x)  x sin x
D． f (x)  x cs x sin x
由图可知，函数 f (x) 的图象关于原点中心对称，所以函数 f (x) 为奇函数，且 f ( )  0 ，对选
2
项 B、C：由函数 f (x) 为偶函数即可判断，对选项 A：函数 f (x) 为奇函数，但 f ( )   cs   0
222
f (x)

即可判断；对选项D：函数为奇函数，且 f ( ) cs sin
 1  0 即可判断.
2222
【详解】
解：由图可知，函数 f (x) 的图象关于原点中心对称，所以函数 f (x) 为奇函数，且 f ( )  0 ，
2
对 A：因为 f (x)  xcsx  x cs x   f (x) ，所以函数 f (x) 为奇函数，但

f ( ) cs 0 ，故选项A 错误；
222
对 B：因为 f (x)  xsin x  x sin x  f (x) ，所以函数 f (x) 为偶函数，故选项 B 错误；对 C：因为 f (x)  xsin x  csx  x sin x  cs x  f (x) ，所以函数 f (x) 为偶函数，故选项 C 错误；
对 D：因为 f (x)  xcsx  sin x  x cs x  sin x   f (x) ，所以函数 f (x) 为奇函

数，且 f ( ) cs sin 1  0 ，符合题意，故选项D 正确.
2222
故选：D.
例 12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数 f  x  sinx ， g  x  ex  e x ，下图可能是下列哪个函数的图象（）
A． f  x  g  x  2
B． f  x  g  x  2
f  x
f  x g  x
【答案】D
【解析】
【分析】
g  x
根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择.
【详解】
由图可知，图象对应函数为奇函数，且0  f 1  1；
显然 A, B 对应的函数都不是奇函数，故排除；
对C ： y  f  x g x  sin x ex  ex  ，其为奇函数，
且当 x  1时， sin1e  1   1 e  1，故错误；
e 2

对D ： y  f  x  sin x ，其为奇函数，
g  x
ex  e x
且当 x  1时，故选： D .
0  sin1  1  1
e  12 e
，故正确.
【方法技巧与总结】
从定义域值域判断图像位置；
从奇偶性判断对称性；
从周期性判断循环往复；
从单调性判断变化趋势；
从特征点排除错误选项．
题型三：表达式含参数的图象问题
（多选题）例 13．（2022·全国·高三专题练习）函数 f  x  ax  b a,b, c R 的图象可能为
x2  c
（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
讨论a  0,b  0, c  0 、a  0,b  0, c  0 、a  0,b  0, c  0 、a  0,b  0, c  0 四种情况下，f (x)
的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性.
【详解】
当a  0,b  0 时， f (x) 
ax
  ax
  f (x) ；
(x)2  cx2  c
当a  0, c  0时， f (x) 定义域为 R 且为奇函数，在(0, ) 上 f (x)  0 ，在(0,
c) 上递增，在
( c, ) 上递减，A 可能；
当a  0, c  0 时， f (x) 定义域为{x | x   c}且为奇函数，在(0, c) 上 f (x)  0 且递增，
在( c, ) 上 f (x)  0 且递增，B 可能；
bb
当a  0,b  0, c  0 时， f (x)  (x)2  c  x2  c  f (x) 且定义域为{x | x   c}，此时 f (x)
),c(
为偶函数，
若b  0 时，在( c,
则 C 不可能；
c) 上 f (x)  0 (注意 f (0)  0 )，在(, 
, c)  上 f (x)  0 ，
若b  0 时，在( c,
故选：ABD
c) 上 f (x)  0 ，在(,  c),(
c, ) 上 f (x)  0 ，则D 可能；
（多选题）例 14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数 f (x) 
是（）
A．B．
C．D．
| x |
x2  a
的大致图象可能
【答案】AC
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，可排除 D 选项，然后对a 的取值进行分类讨论，比如a  0 ，可判断
A 可能，再对a 分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C
是否可能.
【详解】因为 f (x) 
| x |
x2  a
为定义域上的偶函数，
图象关于 y 轴对称，所以 D 不可能.
由于 f (x) 为定义域上的偶函数，只需考虑 x (0, ) 的情况即可.
①当a  0 时，函数 f (x)  | x | 
x2
x
1
| x |

 1 ，所以 A 可能；
x
a  x2
②当a  0 时， f (x) 
x2  a ， f
(x) 
x2  a2 ，
所以 f (x) 在[0,
a ) 单调递增，在(
a, ) 单调递减，所以 C 可能；
③当a  0 时， f (x) 
x x2  a
， f (x) 
a  x2
x2  a
2  0 ，
所以 f (x) 在[0,
故选:AC.
a ) 单调递减，在(
a, ) 单调递减，所以 B 不可能；
（多选题）例 15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知 f  x 
是（）
A．B．
C．D．
x x2  a
的图像可能
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据 a 的取值分类讨论函数 f(x)的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可.
【详解】
若 a＝0，则 f(x)＝ 1
x
，图像为 C；
若 a＞0，则 f(x)定义域为{x|x≠± a }，f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，
x∈(－∞，－ a )时，f(x)＜0，x∈(－ a ，0)时，f(x)＞0，x∈(0， a )，f(x)＜0，x∈( a ，
＋∞)时，f(x)＞0，
a
又 x≠0 时，f(x)＝ x  a ，函数 y＝x－ x 在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f(x)在(－∞，
x
— a )，(－ a ，0)，(0， a )，( a ，＋∞)均单调递减，综上 f(x)图像如A 选项所示；若 a＜0，则 f(x)定义域为R，f(x)为奇函数，f(0)＝0，
当 x＞0 时，f(x)＞0，当 x＜0 时，f(x)＜0，
a
当 x≠0 时，f(x)＝ x  a ，函数 y＝x＋ x
x
时双勾函数，x∈0,
a ,  a, 0 时，y 均单调
递减，x∈
a, ,,  a  时，y 均单调递增，
∴f(x)在0,
a ,  a, 0 单调递增，在
a, ,,  a  单调递减，结合以上性质，
可知B 图像符合.故选：ABC.
（多选题）例 16．（2022·湖北武汉·高一期末）设a  0 ，函数 y  eax2  x1 的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
令 g  x  ax2  x 1, a  0 ，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为 x  1 ，再根据
2a
  0,   0 和 0 三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，函数 y  eax2  x1 ，令 g  x  ax2  x 1, a  0 ，
可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为 x   1
2a
 0 ，
当  1 4a  0 时，即a  1 时，可得 g  x  1 x2  x 1  0 ，
44
此时函数 y  g(x) 在(,  1 ] 单调递减，在[ 1 , ) 上单调递增，且 g(2)  0
2a2a
可得 y  eax2  x1 在(,  1 ] 递减，在[ 1 , ) 上递增，且eg(2)  1；
2a2a
当  1 4a  0 时，即a  1 时，可得 g  x  0 ，
4
此时函数 y  g(x) 在(,  1 ] 单调递减，在[ 1 , ) 上单调递增，
2a2a
由复合函数的单调性，可得 y  eax2  x1 在(,  1 ] 递减，在[ 1 , ) 上递增，且 y  1 ，
2a2a
此时选项B 符合题意；
当当  1 4a  0 时，即0  a  1 时，此时函数 g  x  ax2  x 1有两个零点，
4
不妨设另个零点分别为 x , x 且 x
  1  x ，
1 21
2a2
此时函数 y  g(x) 在(,  1 ] 单调递减，在[ 1 , ) 上单调递增，
2a2a
可得 y  g  x 在(, x ],[ 1 , x ] 递减，在[x ,  1 ],[x , ) 上递增，且 g(x )  g(x )  0 ，
12a2
12a212
12
则 y  eax2  x1 在(, x ],[ 1 , x ] 递减，在[x ,  1 ],[x , ) 上递增，且eg(x )  eg(x )  1，
1
此时选项D 符合题意.
2a2
12a2
综上可得，函数的图象可能是选项BD.
故选：BD.
（多选题）例 17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数 f (x)  x  a (a  R) ，则其图像可能
x
为（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
按照a  0 ， a  0 ， a  0 讨论a 的取值范围，利用排除法解决.
【详解】
a  0 ，f (x)  x  a  x(x  0) ，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；a  0
x
时， y  x 在(,0),(0, ) 上递增， y  a 也在(,0),(0, ) 递增，两个增函数相加还是增
x
函数，即 f (x) 在(,0),(0, ) 上递增，故D 选项错误，C 选项正确.； a  0 时，由对勾函数的性质可知B 选项正确.
故选：BC.
（多选题）例 18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数 f  x  ax 1 a  0, 且a  1, g x  a  x 的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据给定条件对 a 值进行分类讨论函数 f  x 的单调性及 0 一侧的函数值，再结合
g  x  a  x 图象与 y 轴交点位置即可判断作答.
【详解】
依题意，当a  1时，函数 g  x  a  x 图象与 y 轴交点在点(0,1)上方，排除 B，C，
ax 1, x  0
而 f  x  ax 1  
1 ax , x  0
，因此， f  x 在(, 0) 上递减，且 x