抢分秘籍06 全等三角形中常见的基本模型（六大模型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）（原卷版+解析版）

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【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】一线三等角模型 【题型二】手拉手模型-旋转型全等
【题型三】倍长中线模型 【题型四】截长补短模型
【题型五】十字架模型 【题型六】半角模型
：全等三角形中常见的基本模型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，手拉手、一线三等角、半角模型高频，常涉对应边/角相等、几何变换，多在几何综合题中出现。
2．从题型角度看，以解答题的最后三题题为主，造模型证全等，压轴题常结合动点、多模型综合。分值10-12分左右，着实不少！
：熟记模型特征及辅助线（如倍长中线、截长补短），针对不同题型专项训练，总结模型应用规律。
【题型一】一线三等角模型
【例1】（2025·四川南充·一模）如图，在四边形中，，点是边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
【例2】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上．
【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
【深入探究】（2）如图2，，，，求的值；
【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值．
【变式1】（2025·山东泰安·一模）综合与实践
【经典再现】
人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．）
（1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到．
【类比探究】
（2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）；
【综合应用】
（3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长．
【变式2】（2024·甘肃天水·二模）综合与实践
感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型．
应用：
(1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____；
(2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长；
(3)如图3，在四边形中，，，，，求的值．
【变式3】（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现
（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展
（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用
（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
【题型二】手拉手模型-旋转型全等
【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，，不需证明．
(1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，猜想：和的位置关系 ；数量关系： ，并给出证明过程．
(2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，则线段＝ ；
(3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为 ．
【例2】（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究
问题情境：在研究旋转问题时，卓越小组的同学使用了两个全等的直角三角形展开探究．如图1，将两个三角形点A重合放置，，，．将固定，绕点A旋转．
猜想证明：（1）如图2，当点D落在边上时，连接，试猜想与的位置关系，并进行证明．
问题拓展：（2）如图3，当点D落在边上时，过点D作，过点E作，与交于点F，连接，求的长．
深入探究：（3）在绕点A旋转的过程中，直线与直线交于点M，N，直线与直线交于点P，当时，请直接写出四边形的面积．
【变式1】（2025·黑龙江牡丹江·一模）在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随点的位置变化而变化，连接．
推理证明：
（）当点在菱形内部或边上时，如图①，求证：；写出图①的证明过程；
探究问题：
（）当点在菱形外部时，如图②，图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需证明；
拓展思考：
（）在（）和（）的条件下，若，，则的长为__________．
图① 图② 图③
【变式2】（2025·广西·一模）【经典回顾】
（1）如图1，，都是等边三角形，连接，．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，，都是等腰直角三角形，，连接，相交于点，与相交于点，类比（1）有．点，，分别为，，的中点，连接，，与相交于点．请判断，的关系，并证明；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接，如图3，绕点旋转，若，．求旋转过程中，面积的最大值．
【变式3】（2025·广东深圳·一模）【问题发现】
（1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，则与的数量关系是______，请说明理由．
【类比探究】
（2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若，求的长．
【拓展延伸】
（3）若将“正方形和正方形改成“菱形和菱形，且菱形菱形，如图3，平分，点P在射线上，在射线上截取，使得，连接，当时，直接写出的长．
【题型三】倍长中线模型
【例1】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】
小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围．
【构建模型】
她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．
请回答：
（1）小红证明的判定定理是： ．
（2）的取值范围是
【模型应用】
（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ．
【例2】（2024·甘肃白银·一模）【探究发现】
（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度；
【变式1】（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____；
（2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：；
（3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【变式2】（2025·辽宁本溪·模拟预测）【问题初探】
（1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围．
小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…；
②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…；
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度．
【题型四】截长补短模型
【例1】（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题：
【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数.
解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______；
【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论.
【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值.
【例2】（2025·广东韶关·一模）【知识技能】
（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
梳理解答思路并完成填空．
【数学理解】
（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探索】
（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长．
【变式1】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知，在正方形中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接并取其中点G，连接、．
(1)如图1，若的顶点E在线段上，则和的关系______；
(2)如图2，若的顶点E在线段上时，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由；
(3)若的顶点E在内，如图3位置所示，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由．
【题型五】十字架模型
【例1】（2025·广东清远·一模）已知正方形，点E，F分别为边上两点．
【建立模型】
（1）如图1，连接，如果，求证：；
【模型应用】
（2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长；
【模型迁移】
（3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长．
【例2】（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践
数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．
(1)猜想证明
如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明．
(2)迁移探究
如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：．
(3)拓展应用
如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长．
【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为________；
（2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_____；
【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：；
【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，且，求的值．
【题型六】半角模型
【例1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长．
【例2】（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．

(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明）
【变式1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
【变式2】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型
在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法．
如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下：
如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系．
(1)提出问题：之间的数量关系为________________．
(2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．）
类型
图示
条件
结论
同侧一线三等
角
点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD
(或AC=BP或CP=PD)
△APC≌△BDP
异侧一线三等
扇
点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3，
且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)
△APC≌△BDP
图示
OC在△OAB内且拉手线无交点
OC在△OAB外且拉手线无交点
OC在△OAB外且拉手线有交点
条件
在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD 绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若拉手线有交点,记相交于点,连接 OE
结论
1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等);
2.EO平分∠AED:
3.∠AEB=∠AOB=a
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。
证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）
∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，
∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。
法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）
∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，
∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。
A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线．
易证______，故，，之间的数量关系为________．
B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到．
条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。

证明：四边形是正方形，，，∴
AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。
条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。
证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。
四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，
同1）中证明，可得AE=GF。
条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；
结论：HE=GF。

证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。
四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，
同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。
1）正方形半角模型
条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；
∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型
条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；
3）等边三角形半角模型（120°-60°型）
条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，
∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）
条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°；
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD，
∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2