中考数学一轮复习考点精炼与综测：（7）一元二次方程（综合测试）

这是一份中考数学一轮复习考点精炼与综测：（7）一元二次方程（综合测试），共16页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若关于x的一元二次方程有一个根是0,则k的值是( )
A.B.2C.0D.或2
2.流行性感冒传染迅速,若有一人感染,经过两轮传染后共有100人患病,设每轮传染中平均一人传染了x人,可列出的方程是( )
A.B.
C.D.
3.已知.若,,则P与Q的大小关系是( )
A.B.C.D.
4.已知,是一元二次方程的两根,且的值是( )
A.4B.C.2D.1
5.如图,在中.,,,点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动,同时,点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动.当一点到达终点时,另一点也停止移动.若的面积等于4,则它们移动的时间是( )
A.1秒或4秒B.2秒或4秒C.2秒D.1秒
6.已知、是方程的两个根，则的值为( )
A.5B.4C.7D.6
7.若非零实数a,b()满足,,则的值是( )
A.B.C.D.
8.已知关于x的一元二次方程有实数根,则m的取值范围是( )
A.且B.C.且D.且
9.关于x的方程,下列解法完全正确的是( )
A.只有甲B.只有乙C.只有丙D.乙和丁
10.已知等腰的一条边长为7.其余两边的边长恰好是方程的两个根,则m的值是( )
A.4B.4或10C.2D.2或4或10
11.若关于x的方程的两根之和是m,两根之积是n,则关于t的方程的两根之积是( )
A.B.C.D.
12.对于一元二次方程,下列说法：
①若,则；
②若方程有两个不相等的实根,则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根,则一定有成立；
④若是一元二次方程的根,则其中正确的( )
A.只有①②④B.只有①②③C.只有②③④D.只有①②
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.某市实施科技强市的战略,为加强科技基础研究能力,逐步加大了对科研经费的投入,2022年投入科研经费6000万元,2024年投入经费8000万元.设科研经费投入的年平均增长率为x,根据题意可列方程为______.
14.方程的解为______.
15.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是______.
16.定义新运算,规定.方程的解为______.
17.关于x的一元二次方程有两个不同的实数根,,且,则______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）解下列方程：(1)；
(2).
19.（8分）项目化学习
素材：全面推进美丽中国建设,当前在各地积极开展.我市在城市园林绿化建设方面,从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”,城市人居生态环境已有很大提升.其中,某一新建公园想在一块长为,宽为的矩形地面上,修建等宽的道路,剩余部分种上草坪.现有两种小道设计方案,如下图：
其中：按图1的方案设计小道,测得草坪的面积是；
如图2所示,修建两横两竖等宽的道路(横竖道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪后,草坪的面积是地面面积的二分之一.
请根据以上信息解决下列问题：
任务1：求图1中道路的宽度；
任务2：经过一致协商,最终选择如图2所示的第二种小道设计方案.从美观角度考虑,决定在横竖两条小道上铺设花砖,求小道重叠部分花砖的面积.
20.（8分）已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为,.
(1)求m的取值范围；
(2)若,求方程的两个根.
21.（10分）某中学要新建一块篮球场地(如图所示),要求：①篮球场(阴影部分)的长和宽分别为,；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为.
(1)求安全区域的宽度.
(2)某公司希望用45万元承包这项工程,该中学认为金额太高需要降价,通过两次协商,最终以36.45万元达成一致.若两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.
22.（12分）如图,四边形是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是和边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形的周长是,求面积.
23.（13分）如图,在中,,,,动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动,动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动,如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发,设运动时间为.
(1)用含x的式子表示：______,______,______；
(2)当的面积为时,求运动时间；
(3)四边形的面积能否等于？若能,求出运动的时间；若不能,说明理由.
答案以及解析
1.答案：A
解析：把代入一元二次方程,得
,
解得,,
而,即.
所以k的值为.
故选A.
2.答案：A
解析：∵设每轮传染中平均一人传染了x人,经过两轮传染后共有100人患病,
∴,
故选：A.
3.答案：A
解析：,
,
,
即,
故选：A.
4.答案：B
解析：∵,是一元二次方程的两根,
∴,,
∴,
故选：B.
5.答案：D
解析：设运动时间为秒,
由题意得：,,
∴,
∴,
解得：或,
∵,
∴,
∴不符合题意,
∴当的面积等于4时,经过了1秒,
故选：D.
6.答案：A
解析：、是方程的两个实数根，
，，
，
故选：A.
7.答案：B
解析：∵非零实数a,b()满足,,
∴a、b是方程的解,
∴,,
∴,
故选：B.
8.答案：C
解析：∵关于x的一元二次方程有实数根,
∴,
解得.
又∵是一元二次方程,
∴,即,
综合知,m的取值范围是且,
故选C.
9.答案：D
解析：由方程两边不能都除以,
∴甲的解法错误；
∵,
移项得：,
∴,
∴或,
∴,.
∴乙的解法正确；
,
整理得
∵,,,
∴
∴
∴,.
∴丙的解法错误；
,
整理得
配方得：,
∴,
∴,
∴,.
∴丁的解法正确；
故选D.
10.答案：A
解析：①当7为底时,由题意得,,则,解得,
此时一元二次方程为,解得,因为,舍去；
②当7为腰时,将代入得,解得或,
当时,得方程为,∴,得或,
三边长为7、7、15,因为(舍去),
当时,得方程为,∴,得或,
三边长为3、7、7,可以构成三角形,
故m的值为4,
故选：A.
11.答案：C
解析：把方程看作关于的一元二次方程,
设关于x的方程的两根为,,
则方程的两根为,,
∵关于x的方程的两根之和是m,两根之积是n,
,,
.
故选：C.
12.答案：A
解析：①若,即,
则是原方程的解,即方程至少有一个根,
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：,
故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根,
∴,
∴,
又∵方程的判别式为,
∴,
∴方程有两个不相等的实数根,
故②正确；
③是方程的一个根,
∴,
∴,
∴或,即有两种可能性,
故③错误；
④若是一元二次方程的根,
∴根据求根公式得：或,
∴或,
∴,
故④正确.
故选：A.
13.答案：
解析：设科研经费投入的年平均增长率为x,
∵2022年投入科研经费6000万元,2024年投入经费8000万元.设科研经费投入的年平均增长率为x,
根据题意可列方程为,
故答案为：.
14.答案：或
解析：
解得,.
故答案为：或.
15.答案：且
解析：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴,
且,
∴且.
故答案为：且.
16.答案：
解析：因为,,
∴
去分母,得,
解得,
经检验,是原方程的解,
故方程的解为.
故答案为：.
17.答案：/-0.125
解析：根据题意得,,
∵,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴或时,
∴不合题意,
故答案为：.
.
18.答案：(1),
(2),；
解析：(1)
二次项系数化1,得,
移项,得,
配方,得,即,
开方,得,
所以,；
(2)
方程两边同时开方,得,
即或,
所以,.
19.答案：任务1：
任务2：
解析：任务1：设图1中道路的宽度为,
依题意得,,
解得,,(舍去),
∴图1中道路的宽度为；
任务2：设道路的宽度为,
依题意得,,
解得,,(舍去),
∴道路宽为,
由题意知,小道重叠部分花砖为4个相同的边长为的正方形,
∵,
∴小道重叠部分花砖的面积.
20.答案：(1)
(2)方程的两根是-3和1
解析：(1)一元二次方程有两实数根,,
∵,,,
∴,
∴；
(2)∵,,
而,
∴,解得,
∴方程为,
∴,
解得,,
即方程的两根是-3和1.
21.答案：(1)安全区域的宽度为2米
(2)每次降价的百分率为
解析：(1)设安全区域的宽度为x米,由题意得,
,
整理得,
解得,(不符合题意,舍去),
答：安全区域的宽度为2米；
(2)设每次降价的百分率为a,由题意得,
,
解得(舍去),,
答：每次降价的百分率为.
22.答案：(1)(答案不唯一)
(2)证明见解析
(3)1
解析：(1)当,,时勾系一元二次方程为；
(2)证明：根据题意,得,
∵,
∴
∴,
∴勾系一元二次方程必有实数根；
(3)当时,有,即,
∵四边形的周长是,
∴,即,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴
∴,
∴.
23.答案：(1),,
(2)或
(3)不能,理由见解析
解析：(1)∵P从点A开始沿边向点B以的速度移动,
∴,
∵,
∴,
∵动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为：,,；
(2)由(1)得,
∴当的面积为时,
∴,
∴,,
∴当的面积为时,求运动时间为：或.
(3)由(1)得,,
当四边形的面积等于,,
∴,(舍),
∵,
∴四边形的面积不能等于时.
甲
乙
丙
丁
两边同时除以得到.
移项得：,
∴,
∴或,
∴,.
整理得
∵,,,
∴
∴
∴,.
整理得
配方得：,
∴,
∴,
∴,.