2024-2025学年广西梧州市高二下学期5月段考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广西梧州市高二下学期5月段考数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p:∀n∈N∗,n2>n−1，则命题p的否定¬p为( )
A. ∀n∈N∗,n20)，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的单调递增区间为−5π12+kπ,π12+kπ,k∈Z
B. f(x)在区间0,π2上的值域为[−1,2]
C. 若f(x)的图象向左平移φ00时，令f′(x)=0，得x=lna，
当x∈(−∞,lna)时，f′(x)0，f(x)单调递增，
综上所述：当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；
(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时，ex−ax−1≥xlnx恒成立，
即a≤ex−xlnx−1x恒成立，
令ℎ(x)=ex−xlnx−1x，
则ℎ′(x)=(x−1)(ex−1)x2，x∈(0,+∞)，
当x∈(0,1)时，ℎ′(x)0，ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)min=ℎ(1)=e−1，即a≤e−1，
故a的取值范围是(−∞,e−1]；
(Ⅲ)证明：
当a=1时，g(x)=ex−x−1−x2，g′(x)=ex−2x−1，
令m(x)=ex−2x−1，则m′(x)=ex−2，
当x∈(0,ln2)时，m′(x)0，m(x)单调递增，
又因为m(ln2)=eln2−2ln2−1=1−2ln20，
所以存在唯一的x0∈(ln2,32)，使得m(x0)=0，
即ex0−2x0−1=0， ①
当x∈(0,x0)时，m(x)0，g(x)单调递增，
所以x0是g(x)在(0,+∞)上唯一的极小值点，
g(x0)=ex0−x0−1−x02，x0∈(ln2,32)，
由 ①可知g(x0)=−x02+x0>−(32)2+32=−34，得证．
19.解：(1)第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，
设ti,j为第1分钟时，猫在i号房间，老鼠在j号房间的概率，则t0,0=0.4×0.5=0.2，t0,1=0.4×0.5=0.2，
t1,0=0.6×0.5=0.3，t1,1=0.6×0.5=0.3，
设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X，则P(X=1)=t0,1+t1,0=0.5，
所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率为0.5；
(2)证明：易知p0=1，q0=0，且由(1)得p1=25，q1=12，
当n≥1时，猫在第n分钟时位于0号房间包含2种情形：
①上一分钟仍在0号房间，继续保持在0号房间的概率为25pn−1；
②上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为35(1−pn−1)，
则由全概率公式，pn=25pn−1+35(1−pn−1)=35−15pn−1，进而pn−12=−15(pn−1−12)，
结合p1−12=−110，故{pn−12}是首项为−110，公比为−15的等比数列，
即pn−12=(−110)(−15)n−1，注意到当n=0时也满足题意，
因此pn=12(−15)n+12，
老鼠第n分钟在0号房间包含3种情形：
①上一分钟描和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为(1−pn−1)(1−qn−1)；
②上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为pn−1(1−qn−1)×12；
③上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠转移到0号房间的概率为qn−1(1−pn−1)×12，
故由全概率公式，qn=(1−pn−1)(1−qn−1)+pn−1(−qn−1)×12+qn−1(1−pn−1)×12，
即qn=1−pn−12−qn−12，
要证{qn+53pn−43}为等比数列，即证qn−12−16(−15)n−1为等比数列，
而qn=1−pn−12−qn−12=34−14(−15)n−1−qn−12，
故qn−12−16(−15)n−1=−12[qn−1−12−16(−15)n−2]，结合q1−12−16=−16，
故{qn−12−16(−15)n−1}为首项−16，公比为−12的等比数列，
即qn−12−16(−15)n−1=−16(−12)n−1，注意到n=0时也满足题意，
因此qn=12+16(−15)n−1+13(−12)n；
(3)由(2)，qn=12+16(−15)n−1+13(−12)n=12+16[(−15)n−1−(−12)n−1]，
显然q0=0不是其最大值，设an=(−15)n−1−(−12)n−1，
①当n为奇数时，an=(15)n−1−(12)n−1≤0，当且仅当n=1时取等，故an的最大值为0；
②当n为偶数且n≥2时，a2=12−15=310；当n≥4时，an