雅礼教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题及参考答案

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考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到1342万人，1342万这个数用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
本题是对科学记数法的考查，熟练掌握科学记数法是解决本题的关键．
【详解】解：1342万，故选：D．
2.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程”，逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：A.未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B.有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C.是一元二次方程，符合题意；
D.不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；故选：C．
3.下列命题是真命题的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.四条边相等的四边形是正方形D.对角线相等的平行四边形是菱形
【答案】A
【解析】【分析】根据特殊平行四边形的性质及判定，即可求解，
本题考查了，特殊平行四边形的性质及判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，正确，故A是真命题，
有三个角是直角的四边形是矩形，故B是假命题，
四条边相等的四边形是菱形，故C是假命题，
对角线相等的平行四边形是矩形，故D是假命题，故选：A．
4.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了方差和算术平均数，根据平均数比较成绩的优劣，根据方差比较稳定程度，得出答案即可，熟练掌握“方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定”是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴甲、丁成绩更好，从中选择一人参加比赛，
∵，即甲的方差小，
∴甲发挥更稳定，
∴选择甲参加比赛，故选：A．
5.如图，在平行四边形中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为（ ）

A.3B.3.5C.4D.4.5
【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．
首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．
【详解】解：∵在平行四边形中，，
∴．
，分别为，的中点，
是的中位线，
．故选B．
6.鞋店对5款运动鞋上周的销售数量进行了统计，如下表所示：
鞋店老板决定在下一次进货中多进C款的鞋，影响他决策的统计量是（ ）
A.平均数B.中位数C.众数D.方差
【答案】C
【解析】【分析】本题考查了众数这一统计量．根据销售量统计图知，C款的鞋销量最多，因而应多进些，这是众数的影响，因而可作出判断．
【详解】解：由于C款的鞋销量最多，因而影响鞋店这一决策的统计量是众数．故选：C．
7.抛物线通过平移变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A.先向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B.先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C.先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D.先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【答案】B
【解析】【分析】本题考查抛物线的平移，由函数平移法则，结合平移前后抛物线解析式即可得到答案，熟记函数平移的法则是解决问题的关键．
【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，即可得到抛物线，故选：B．
8.抛物线与x轴的两交点之间的距离是（ ）
A.1B.3C.5D.6
【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查求出抛物线与x轴的交点，由题意令，得方程，求出方程的两根，即为抛物线与x轴的交点，从而求出抛物线与x轴两交点之间的距离．
详解】解：令得方程，，解得或，
∴抛物线与x轴的交点为：，
∴抛物线与x轴两交点之间的距离为：，故选：C．
9.一天早上，小南从家出发步行前往学校，途中在早餐店买了份早餐，之后便快步走到学校，这一过程小南走过的路程y（米）与出发后时间x（分钟）关系如图所示．下列说法正确的有（ ）个．
①小南家与学校距离为800米；
②小南在早餐店停留了5分钟；
③小南买早餐后快步走的速度是125米/分钟；
④如果小南不买早餐，一直按之前的速度步行到校，她会比实际情况早到学校．
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】【分析】根据关系图，判断①②，由小南买早餐后的速度路程时间，可判断③，计算出小南不买早餐，预计到校时间与实际到校时间比较，即可判断④，
本题考查由函数图象中获取信息解决问题，看懂函数图象，找准解题信息是解决问题的关键．
【详解】解：由关系图可知，小南家与学校距离为800米，故①正确，
由关系图可知，分钟时，路程没有发生变化，小南在早餐店停留了5分钟，故②正确，
由关系图可知，小南买早餐后快步走的速度为：（米/分钟），故③正确，
小南之前的速度为：（米/分钟），如果小南不买早餐，预计到校时间为（分钟），小于分钟，她会比实际情况早到学校，故④正确，故选：D．
10.已知，，是抛物线上的点，则（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】【分析】将，，代入，求出、、的大小，再进行比较大小即可．本题考查了函数的性质：函数图像上的点的坐标都满足函数关系式，以及不等式的性质．
熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵，，是抛物线上的点，
∴，
，
，
，
，
，故选：A ．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.使函数有意义的的取值范围是______．
【答案】##
【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可．
【详解】解：根据题意，得：，解得：．故答案为：．
12.如图，把矩形沿折叠，使点点分别落在点、，若，则________．

【答案】
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，由矩形得，根据折叠的性质，结合平角为，得计算，根据“两直线平行，同旁内角互补”，则，计算得出答案即可，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵把矩形沿折叠，使点点分别落在点、，，
∴，，
∴，故答案为：．
13.学校组织了一场模拟招聘活动，招聘按照笔试成绩占、面试成绩占计算总成绩，小南笔试90分，面试88分，那么她的总成绩为________分．
【答案】
【解析】【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可，
本题主要考查加权平均数．解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【详解】解：根据题意，小南的总成绩为：故答案为：．
14.二次函数的顶点坐标为________．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了将二次函数解析式化成顶点式，利用配方法将二次函数解析式化成顶点式，得出顶点坐标即可，熟练掌握将二次函数解析式化成顶点式是解题的关键．
【详解】解：，
∴二次函数的顶点坐标为，故答案为：．
15.若m是方程的一个实数根，则代数式的值为________．
【答案】2024
【解析】【分析】由m是方程的一个实数根，可得，进而可得，然后整体代入所求的式子当中求值即可．本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵m是方程的一个实数根，，
，．故答案为：2024
16.二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是________．（填序号）
【答案】①
【解析】【分析】由抛物线图像开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点可确定a、b、c的符号，即可判断①；直接观察图像即可判断②；由图知时，，即可判断③；观察图像可得或时，即可判断④．本题考查了二次函数图像与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像与系数的关系．
【详解】解：①∵抛物线图像开口向上，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴，
由图知，
∴，
故①正确；
②由图知，当时，y随x的增大先减小后增大，
故②错误；
③由图知时，，
∴，
故③错误；
④由图知或时，
∴不等式的解集是或，
故④错误．
故答案为：①
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算：．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、绝对值、算术平方根、负整数指数幂，再去括号，最后加减计算即可，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
【详解】解：．
18.解方程：（1）；（2）．
【答案】（1）， （2），
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【小问1详解】解： ，
，
，
，．
【小问2详解】解：，
，
，
，．
19.如图，平面直角坐标系中直线与直线相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求A点坐标；
（2）O为坐标原点，求的面积．
【答案】（1） （2）3
【解析】【分析】（1）联立和，解方程组，方程组的解即为A点坐标；
（2）由，求出B点坐标，即可得的长，再根据三角形面积公式即可求出的面积．
本题主要考查了求两条直线交点坐标，以及求两直线与坐标轴围成的三角形面积．求出A、B两点的坐标是解题的关键．
【小问1详解】解：由，解得，．
【小问2详解】解：由，得，
，
，
的面积为，
的面积为3．
20.学校八年级开展了一次环保知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）抽取了_________名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为_________分；
（2）扇形图中D级对应扇形的圆心角为_________；
（3）该校八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？
【答案】（1）40，9 （2）36 （3）520人
【解析】【分析】（1）根据A组人数除以A组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，根据中位数的定义即可求出中位数；（2）先求出D级人数所占的百分比，再利用乘以这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数．（3）根据总人数乘以优秀学生所占的百分比即可求出本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数．本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，求中位数和圆心角的度数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】解：一共抽取了人，则中位数为第20位和第21位的平均数，
∵第20位和第21位的成绩都为9分，
∴中位数为分，故答案：40，9．
【小问2详解】解：D级所占的百分比为：，
∴D级对应扇形的圆心角为：，故答案为：36．
【小问3详解】解：（人），
∴估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人．
21.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
【答案】（1）见详解 （2）m的值为3
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的符号即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得又由菱形的面积为，即可求出m的值．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
【小问1详解】证明：，方程总有两个实数根．
【小问2详解】解：根据根与系数的关系可得，
∵菱形面积为，
∴，解得，所以m的值为3．
22.如图，矩形的对角线交于点G，过点B作交的延长线于点E．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）过点D作于F，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理以及直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得，进而可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可证明四边形为平行四边形．
（2）根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得，再根据“直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半”即可求出的长．
【小问1详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵E点在的延长线上，
，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【小问2详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，即点是中点，
∵，，
，
，
∵，
，
．
23.某地年种植黄桃亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年种植了亩
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：
①求与之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围）
②若要使每天的销售利润为元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）种植黄桃亩数的年平均增长率为
（2）①；②销售单价应定为元
【解析】【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用，理解题意、正确求出一次函数解析式、列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设种植黄桃亩数的年平均增长率为，根据“年种植黄桃亩，今年种植了亩”，列出方程，求解取舍得出答案即可；
（2）①设，代入表格数据得出，求解得出与之间的函数关系式即可；②根据“以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元”、总利润单件利润销售量，得出方程求解，根据“要让顾客得到实惠”，取舍得出答案即可．
小问1详解】解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为，
由题意得：，
∵增长率大于，
∴，答：种植黄桃亩数的年平均增长率为；
【小问2详解】解：①∵黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，
∴设，
由表格得：当时，；当时，，
代入得：，解得：，∴；
②∵以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元，由①得，
∴，整理得：，即，
∴或，解得：，，
∵要让顾客得到实惠，，∴，答：销售单价应定为元．
24.定义：若一个函数图象与直线有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：图象与的交点是，则是“零和函数”，交点是“零和点”．
（1）以下两个函数：①，②，是“零和函数”的是_________（填写序号）；
（2）一个“零和函数”（均为常数）图象与x轴有交点，顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式；
（3）若二次函数（均为常数，且）的图象上有两个不同的“零和点”和，且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求的取值范围．
【答案】（1）① （2）该二次函数的解析式或 （3）
【解析】【分析】（1）由“零和函数”定义，列方程组求解即可得到答案；
（2）由的顶点恰好是“零和点”，求出的顶点，再由（均为常数）图象与x轴有交点，得到，联立方程组求解即可得到答案；
（3）由“零和函数”定义，联立，得到，由根与系数关系及得到，从而将化为，利用二次函数图象与性质即可得到答案．
【小问1详解】解：联立，解得，即函数的图象与直线有交点，为，
由“零和函数”定义可得①是“零和函数”；
联立，则，由，得方程组无解，即函数的图象与直线无交点，由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”；故答案为：①；
【小问2详解】解：的顶点恰好是“零和点”，
的顶点为，
，
（均为常数）图象与x轴有交点，
，
联立，则，即，解得或，
是“零和函数”，
或，
该二次函数的解析式或；
【小问3详解】解：二次函数（均为常数，且）的图象上有两个不同的“零和点”和，
联立，则，即，
，，
，
，
二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，
，则，
，
，对称轴为，
当时，随着的增大而增大，则，即的取值范围是．
25.如图，抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴负半轴交于C，且．

（1）求a，c的值；
（2）如图1，点D是抛物线在第四象限内图像上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是，点D是直线与该抛物线唯一的公共点，直线与该抛物线交于M，N两点，若，
①求出D点的坐标；
②求出t的值．
（3）在（2）的条件下，如图2，连接和，在抛物线上是否存在点Q使，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）， （2）①；②， （3）
【解析】【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再将A、C两点的坐标代入中，利用待定系数法即可求出a、c的值；
（2）①由，得抛物线的表达式为．设，联立和得一元二次方程，由可求出的值，进而求出D点的坐标．
②过点作轴的平行线交于点，求出E点坐标是，则可得．设，两点的横坐标是，，联立和，可得
，则可得，，进而可得的值，
，即可求出t的值．
（3）由、、可得、，又由，，得，则可得，则，则可得．求出直线的表达式为，再与抛物线联立，求出交点坐标，即可得Q点的坐标．
【小问1详解】解：，
，
，
，
，
把，分别代入中得，，
解得：，．
【小问2详解】解：①∵，，
∴抛物线的表达式为：．
设：，
联立，
则，
两个函数只有唯一公共点，
，
，
解得：或，
点在第四象限，
，
，
∴，
解得，，
∴．
②过点作轴的平行线交于点，

，
点横坐标是2，
点坐标是，
，
设：，两点的横坐标是，，
联立，
得：，
则，，
，
，
，
，
两边平方得，
，．
【小问3详解】解：延长交轴于点，过D点作轴于H点，设与y轴交点为G点．

将代入直线的解析式中得：，
得，
由得:，
，，
又，
，
，，
∵，且，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴直线的表达式为：，
联立，
得，，
，
．
甲
乙
丙
丁
款式
A
B
C
D
E
数量（双）
12
23
50
14
3
销售单价（元）
销售量（件）