四川省攀枝花市2025届高三第三次统一考试 数学试卷（含解析）

这是一份四川省攀枝花市2025届高三第三次统一考试 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．1D．
3．平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．的值为（ ）
A．B．C．1D．2
6．袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ）
A．变量x与y的样本相关系数B．
C．当时，残差为D．当时，y的预测值为
10．圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．的二项展开式中含的项的系数为 （用数字作答）．
13．已知母线长为10的圆台的表面积为，且其上底面的半径与下底面的半径R满足，则 ．
14．函数的最小值为 ．
四、解答题
15．一家调查机构在某地随机抽查800名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下列联表：
已知从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8
（1）完成列联表；
（2）依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异；
（3）从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因，用表示3人中女性居民的人数，求的分布列及数学期望．
附：，
16．已知双曲线C：过点，且离心率为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）双曲线C在其右支上一点P处的切线l分别交其两条渐近线，于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．
17．已知数列的首项，．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）令，求数列的最大项．
18．如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．
（1）证明：平面；
（2）求四面体外接球的体积；
（3）求的长．
19．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（2）设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，当时，函数均存在两个极值点，，且满足，求；
（3）当时，如果存在两个不同的正实数满足，证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，，
所以，
故选B.
2．【答案】A
【详解】由，
故选A.
3．【答案】B
【详解】由在上的投影向量为，
故选B.
4．【答案】D
【详解】对于A：当，，满足，但是，故A错误；
对于B：当，，满足，但是，故B错误；
对于C：若，，满足，但是，故C错误；
对于D：因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
若，则，所以，故D正确.
故选D
5．【答案】C
【详解】
.
故选C
6．【答案】D
【详解】第一次摸到的是白球，余下1白2黑的3个球，
所以第二次摸到黑球的概率为.
故选D
7．【答案】A
【详解】
构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即，
构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即，
构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即，但与作比较可得：
综上可知：，
故选A.
8．【答案】B
【详解】
由图可知，，
根据，可设，
则，所以，
由三角形中余弦定理得:,
根据直角三角形有：，
代入上式可得：，
故选B
9．【答案】BCD
【详解】由表格中的数据可计算平均数：，
，
又因为成等差数列，所以，则，
根据经验回归方程为必过点，
则，解得,故B正确；
由于经验回归方程为是递增的一次函数，所以两个变量是正相关，
则样本相关系数，故A错误；
当时，，所以残差为，故C正确；
当时，，所以y的预测值为，故D正确；
故选BCD．
10．【答案】ABC
【详解】（1）若为圆内的一定点，P是圆O上一个动点，线段AP的垂直平分线l与
直线OP相交于点Q，可得，，
即动点到两定点的距离之和为定值，
①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆；
②当重合时，点的轨迹是以为圆心的圆；

（2）若为圆外的一定点，为圆上的一动点，线段的垂直平分线交直线于点，
可得，，即动点到两定点
的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是：
以为焦点的双曲线；
（3）若为圆上的一定点，为圆上的一动点，此时点的轨迹是圆心.
综上可得即点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.
故选ABC
11．【答案】ABD
【详解】由求导可得：，
因为，所以，
又因为是偶函数，所以，
由上两式可得，又可得，
又两式相减得：，
所以是一个周期为的周期函数，故C错误；
由可得，
又由可得，故A正确；
又由可得，
因为是一个周期为的周期函数，所以，故B正确；
由，
由，结合是一个周期为的周期函数，可得，
所以，
即，故D正确；
故选ABD
12．【答案】
【详解】展开式中的第二项为，
所以含的项的系数为.
13．【答案】
【详解】因为该圆台的表面积为，母线长，，
所以，解得（负值已舍去），则.
14．【答案】
【详解】由于，且定义域为，所以是偶函数，
所以只需要研究部分，即
由于
，
所以当时，是一个周期为的函数，
则只需要研究一个周期的最小值，以下分类讨论：
则当时，，
此时最小值为，
当时，，
此时最小值为，
则当时，，
此时最小值为，
当时，，
此时最小值为，
当时，，
此时最小值为，
综上最小值为.
15．【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析；
（3）分布列见解析，
【详解】（1）由从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8，
可知道倾向于购买燃油车的人数为人

（2）零假设：对新能源车与燃油车的购买倾向相互独立，不存在性别差异，
则
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异，且该推断犯错误的概率不超过；
（3）从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人，
则女性居民有3人，男性居民有5人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因，
用表示3人中女性居民的人数，则的可能取值有，
，，
，，
则的分布列为：
所以.
16．【答案】（1）
（2）2
【详解】（1）由题意可得，解得：，
故双曲线C的标准方程为
（2）
当直线斜率不存在时，易知此时，直线，
不妨设，得；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
由直线与双曲线的右支相切，可得，故
设直线与轴交于，则．
又双曲线的渐近线方程为，
联立，可得，同理可得，
综上，面积为2．
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
所以，
又，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，
所以，
所以
.
（3）由（2）可得，
则，
所以当时，当时，
即，
所以数列的最大项为；
18．【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【详解】（1）由，，，可得：，
则由勾股定理得：，又，，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
则四面体满足平面，，
因此这个四面体可以放在一个长方体里，
所以外接球的直径就是该长方体的体对角线，
因为，所以外接球的半径，
即该外接球的体积，
（3）把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
由于平面，，，,
设，则，
即，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
因为二面角的大小为，
所以，解得
故
19．【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）求导得：，则有，而，
所以曲线在点处的切线方程为：
，
令可得：，则，
（2）由，
因为当时，函数均存在两个极值点，，
则有有两个根，，
即，
则，因式分解得：，
当时，，此时没有两个不等实根，故舍去，
则，
所以
（3）因为，所以，
由，
因为，满足，所以，
即此时在上单调递增，
根据，因为存在两个不同的正实数
所以不妨设，
则要证明，即证，
因为在上单调递增，
所以只需要证，
又因为，所以只需要证：，
即证明，
记，
则
，
所以当时，，即在时单调递增，
即，
所以恒成立，
即得证！x
4
6
8
10
12
y
a
2
b
c
6
倾向于购买新能源车
倾向于购买燃油车
合计
女性居民
80
男性居民
400
合计
800
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
倾向于购买新能源车
倾向于购买燃油车
合计
女性居民
80
240
320
男性居民
80
400
480
合计
160
640
800
0
1
2
3