黑龙江省龙东地区部分学校2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)

这是一份黑龙江省龙东地区部分学校2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．费马螺线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
3．用棱长相等的正方体组成的一个几何体的俯视图与左视图如图所示，组成这个几何体的正方体个数最少是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
4．九（）班学生为本班一位患重病同学捐款，捐款情况如下表：
则学生捐款金额的中位数是（ ）
A．元B．元C．元D．元
5．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．若关于x的方程无解，则a的值为（ ）
A．2B．C．2或D．2或或
7．“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．求得的结果有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
8．如图，点D为矩形中边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，若的面积为2，则k值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
9．如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．如图，四边形为正方形，的平分线交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接，，与相交于点H．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
二、填空题
11．石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅，这个数用科学记数法表示为 ．
12．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件： ，则可判定四边形是矩形．
14．一个不透明的口袋中有四个质地相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球，其标号为偶数的概率是 ．
15．不等式组的整数解的个数是 ．
16．如图，在中，，，则的度数为 ．
17．用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ．
18．如图，正方形的边长为6，点E是边上一点，以为对角线作正方形，连接，则面积的最大值为 ．

19．如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=，P是边AB上的一动点，将△ACP沿着CP折叠至△A1CP，CA1交AB于点D．当△A1PD为直角三角形时，则AP的长度为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；…按此做法进行下去，其中的长 ．
三、解答题
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，．
(1)将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，画出；
(2)将绕原点逆时针旋转90°得到，画出，并直接写出点的坐标；
(3)在旋转到过程中，求走过的路径的长度．
23．如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在y轴上，且，求线段的长．
24．某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．

(1)参与本次测试的学生人数为______，______．
(2)请补全条形统计图．
(3)若全区该年级共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．
25．甲、乙两车从地出发，沿同一路线驶向地．甲车先出发匀速驶向地，后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达地，甲乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示．
(1)的值是 ，甲的速度是 ．
(2)求线段所表示的与的函数关系式；
(3)若甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？
26．菱形中，点在的延长线上．点是对角线上一点，且．交于点．

(1)如图1，直接写出与的数量关系_________；
(2)如图2，当四边形为正方形时，探究与的关系，并证明；
(3)如图3，连接，当等于多少度时，，并说明理由．
27．夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空调每台进价比乙种空调多400元，用30000元购进甲种空调的数量与用24000元购进乙种空调的数量相同．
(1)求甲、乙两种空调每台的进价；
(2)若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调共20台，且全部售出，请写出利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若商场计划用不超过36800元购进空调，且甲种空调至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买每台1200元的A型按摩器和每台800元的B型按摩器．请写出购买按摩器的方案．（两种型号都买）
28．矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，分别在y轴、x轴上，且的长分别是方程的两个根．
(1)求点B的坐标；
(2)点D在x轴上，，且交于点E，求过点E的反比例函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，点Q在直线BC上，平面内是否存在点P，使以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
捐款金额（元）
人数（人）
《2024年黑龙江省龙东地区部分学校中考三模数学试题》参考答案
1．B
解：A．，故该选项计算错误，不符合题意，
B．，故该选项计算正确，符合题意，
C．，故该选项计算错误，不符合题意，
D．，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：B．
2．C
解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．C
解：由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有4个，由左视图可知第二层最少有1个，
故组成这个几何体的小正方体的个数最少为：（个）．
故选：C．
4．A
解：九（）班捐款的学生人数为人，
按照从小到大的顺序排列，中位数为第位和第位捐款金额的平均数，
∴中位数为元，
故选：．
5．B
解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得：（舍），
则共有6个班级参加比赛，
故选：B．
6．D
解：，
方程两边同时乘以，得，
整理得：，
原方程无解，
或或，
或，，
将或代入，
得：或，
综上可知2或或，
故选：D．
7．B
解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间，
依题意得：4x+6y＝50，
∴ ，
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴共有4种结果．
故选：B．
8．C
解：设，则，
，
,，
的面积为2，，
，
．
故答案为：C．
9．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴．
10．D
解：①∵四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
②由正方形的性质得，
平分，
，
，，
，
故②正确；
③，，
，
，
，
，
，
，
，
，平分，
，
，
，
故③正确；
④，
，
，
，
，
；
故④正确，
综上，正确的结论是①②③④，
故选：D．
11．
解：
故答案为：
12．/
解：根据题意可得：且
即，
解得：
故答案为：．
13．（或）（答案不唯一，正确即可）
解：若使变为矩形，可添加的条件是：
；（对角线相等的平行四边形是矩形）
等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：或．
14．//
解：一个不透明的口袋中有四个质地相同的小球，随机摸取一个小球有4种等可能得情况，其标号为偶数的情况有2种，
其标号为偶数的概率时，
故答案为：．
15．
解不等式得：x≤4
解不等式得：x＞
∴＜x≤4
∴整数解有：－2、－1、0、1、2、3、4共7个
故答案为：7
16．
解：
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．1
设这个圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=1，
所以这个圆锥的底面圆半径为1．
故答案为1．
18．
解：如图，连接，过点G作交的延长线于点I，

设，则，
∵四边形和都是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的面积
，
∵，
∴的面积有最大值，最大值为，
故答案为：．
19．或1
解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=，
∴AB=2，
∴AB=2BC，
∴∠A=30°，∠B=60°，
根据折叠的性质得：A1P=AP，A1C=AC，∠A1=∠A=30°，∠A1CP=∠ACP，
当∠A1PD=90°时，如图，
∴∠A1DP=60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴BD=BC=DC=1，
∴A1D=-1，
∴DP=A1D=，
∴AP=A1P=；
当∠A1DP=90°时，如图，
∴∠DCB=30°，∠DCA=60°，∠A1CP=∠ACP=30°，
∴∠CPB=60°，
∴△BPC为等边三角形，
∴BP=BC=1，
∴AP=AB-BP=1；
综上，AP的长度为或1．
故答案为：或1．
20．
解：连接，，，，…，如图所示：
∵是上的点，
∴，
∵直线解析式为，
∴，
∴为等腰直角三角形，即轴，
同理，垂直于轴，
∴的长为圆的周长，
∵以为圆心，为半径画圆，交x轴正半轴于点，以为圆心，为半径画圆，交x轴正半轴于点，以此类推，
∴，
∴，
∴时，的长为，
故答案为：．
21．x，
解：原式
，
当时，原式．
22．(1)作图见解析
(2)作图见解析，
(3)
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求，．
（3）解：在旋转到过程中，经过的路径为一个的圆弧周长，
即．
23．(1)
(2)1或
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为
∴
解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）令，则，
解得，
∴，，
∴，
∴．
①当时，
②当时，
综上：的长为1或．
24．(1)150人，
(2)补全图形见解析
(3)3500人．
（1）解：（人），
∴参与本次测试的学生人数为150人，
，
∴；
故答案为：人；30；
（2）∵（人），
补全图形如下：
．
（3）（人）；
∴全区该年级共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数有3500人．
25．(1)；
(2)
(3)小时
（1）∵线段代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，
∴（小时），
甲车的速度==60（千米/小时）；
故答案为：；；
（2）设乙开始的速度为千米/小时，
则，解得（千米/小时），
，
则，，
∴线段的函数关系式为（），
设直线的解析式为，
，
解得，
所以线段所表示的与的函数关系式为（）；
∴
（3）∵甲车先出发匀速驶向地，
，
∴，
设线段的解析式为，根据题意得，
，解得，
∴线段的解析式为，
∵甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，
∴，
解得，
，
解得，
则两车在行驶过程中可以通话的总时长为：（小时）．
26．(1)
(2)，，见解析
(3)当时，，见解析
（1）∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），
理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴
∴；
（3）当时，理由：
∵四边形是菱形，，
∴，，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
27．(1)甲种空调每台进价2000元，乙种空调每台进价1600元
(2)
(3)方案一：购买2台A，5台B；方案二：购买4台A，2台B．
（1）解：设乙种空调每台进价a元，则甲种空调每台进价元．
则，
解得，．
答：甲种空调每台进价2000元，乙种空调每台进价1600元．
（2）解： ，
即
（3）解： ，
解得，
又∵，且x为整数
∴x取10，11，12．
由（2）可知，中，，
∴y随x的增大而增大．
∴当时，获得最大利润，最大利润为元，
设买A型号m台，B型号n台，则．
即，且m，n为正整数，
∴，或，．
方案一：购买2台A，5台B；
方案二：购买4台A，2台B．
28．(1)
(2)
(3)存在．，，，
（1）解：，
，
，，
的长分别是方程的两个根，
，
；
（2），
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
，解得：，
，
设反比例函数的解析式为，将点代入，
，
过点E的反比例函数的解析式为；
（3）设，
，
①当为菱形时，的中点，的中点，
，，
，
，，
，即，
，
，
解得：，
当时，两点重合，舍去，
，
，
②当为菱形时，的中点，的中点，
，，
，
，，
，即，
，
解得：，
；
③当为菱形时，的中点，的中点，
，，
，
，，
，即，
，
解得：，
或；
综上所述，点P的坐标有，，，．