2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真(三)数学试卷（含答案）

这是一份2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真(三)数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共18小题，每小题5分，共90分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若x2−1+(2x+2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A. 1B. −1C. ±1D. −2
2.已知元素a∈{0,1,2,3}，且a∉{0,1,2}，则a的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.不等式x(x−2)0)时，f(x)的值域也是[m,n]，则实数a的取值范围是( )
A. (14,+∞)B. (12,+∞)C. (0,14)D. (0,12)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
19.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知a=1,b=2,sinA=13，则sinB= ．
20.已知a是函数f(x)=2−lg2x的零点，则实数a的值为 ．
21.已知函数y=sinωx(ω>0)在一个周期内的图像如图所示，则ω的值为 ．
22.如图1，矩形ABCD中，AB=2BC，E，F分别是AB，CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A−EF−C(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为 ．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题12分)
某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了100位职员的早餐日平均费用(单位：元)，得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．
(1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数和平均数；
(2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？
24.(本小题14分)
如图，底面是正方形的直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AA1=4．
(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值；
(2)求证：AC⊥D1B．
25.(本小题14分)
已知函数f(x)=lg2(x−1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)设g(x)=f(x)+a，若函数g(x)在(2,3)上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(3)设ℎ(x)=f(x)+mf(x)，是否存在正实数m，使得函数y=ℎ(x)在[3,9]内的最小值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.D
5.A
6.C
7.D
8.A
9.B
10.A
11.D
12.B
13.B
14.D
15.B
16.C
17.B
18.D
19.23；
20.4
21.2
22.π4
23.解：(1)∵0.05×2×3+0.10×2×2+2a=1
∴a=0.15
众数为5，
平均数(1×0.05+3×0.1+5×0.15+7×0.1+9×0.05+11×0.05)×2=5.6
(2)由频率分布直方图可知，平均费用不少于8元的频率为：0.05×2+0.05×2=0.2
∴1000×0.2=200
∴试估计该公司有200名职员早餐日平均费用不少于8元．

24.解：(1)∵DD1⊥平面ABCD，
∴∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角，
在Rt▵BDD1中，tan∠D1BD=DD1BD=4 32+32=43 2=2 23，
∴直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为2 23．
(2)证明：∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC，
又四边形ABCD为正方形，则BD⊥AC，
∵DD1∩BD=D，DD1,BD⊂平面BDD1，
∴AC⊥平面BDD1，
∵D1B⊂平面BDD1，∴AC⊥D1B．

25.解(1)函数f(x)=lg2(x−1)．
由x−1>0，即x>1
∴函数f(x)的定义域为{x|x>1}；
(2)函数g(x)=f(x)+a，
函数g(x)在(2,3)上有且仅有一个零点
可得函数f(x)与函数y=−a在(2,3)上有且仅有一个交点；
x∈(2,3)上，那么0