高一升高二数学暑假预习课16讲第11讲 圆的方程与7考点精讲（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第11讲 圆的方程与7考点精讲（解析版），共25页。
\l "_Tc6625" 一、 圆的方程 PAGEREF _Tc6625 \h 2
\l "_Tc10717" 基础知识 PAGEREF _Tc10717 \h 2
\l "_Tc287" 考点1 求圆的标准方程 PAGEREF _Tc287 \h 2
\l "_Tc30503" 考点2 求圆的一般方程 PAGEREF _Tc30503 \h 4
\l "_Tc11602" 二、 二元二次方程和圆的方程 PAGEREF _Tc11602 \h 7
\l "_Tc24314" 基础知识 PAGEREF _Tc24314 \h 7
\l "_Tc14009" 考点3 二元二次方程表示圆的条件 PAGEREF _Tc14009 \h 7
\l "_Tc28104" 考点4 圆过定点问题 PAGEREF _Tc28104 \h 8
\l "_Tc16485" 三、 点与圆的位置关系 PAGEREF _Tc16485 \h 10
\l "_Tc2337" 基础知识 PAGEREF _Tc2337 \h 10
\l "_Tc13666" 考点5 点与圆的位置关系 PAGEREF _Tc13666 \h 10
\l "_Tc1206" 四、 轨迹方程 PAGEREF _Tc1206 \h 12
\l "_Tc9254" 基础知识 PAGEREF _Tc9254 \h 12
\l "_Tc16514" 考点6 圆相关的轨迹问题 PAGEREF _Tc16514 \h 12
\l "_Tc21144" 五、 圆相关的对称问题 PAGEREF _Tc21144 \h 16
\l "_Tc8516" 基础知识 PAGEREF _Tc8516 \h 16
\l "_Tc14123" 考点7 圆相关的对称问题 PAGEREF _Tc14123 \h 16
\l "_Tc32164" 六、 课后作业 PAGEREF _Tc32164 \h 19
\l "_Tc10203" 单选题 PAGEREF _Tc10203 \h 19
\l "_Tc11715" 多选题 PAGEREF _Tc11715 \h 22
\l "_Tc22034" 填空题 PAGEREF _Tc22034 \h 22
\l "_Tc6148" 解答题 PAGEREF _Tc6148 \h 23
一、 圆的方程
基础知识
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
考点1 求圆的标准方程
【例1.1】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）圆心为−1,1，半径为2的圆的方程为（ ）
A．x+12+y−12=4B．x+12+y+12=2
C．x−12+y+12=4D．x+12+y−12=2
【解题思路】利用圆的标准方程进行判断即可.
【解答过程】因为圆的圆心为−1,1，半径为2，
所以圆的方程为x+12+y−12=4.
故选：A.
【例1.2】（23-24高二上·陕西·期中）过四点0,0，4,0，−1,1，4,2中的三点的圆的方程可能为（ ）
A．x2+y2+4x−2y−5=0B．x−852+y−12=95
C．x−432+y−732=22D．x−22+y−32=13
【解题思路】求出过四点0,0，4,0，−1,1，4,2中的三点的所有圆的方程可得答案.
【解答过程】设过点0,0，4,0，−1,1的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1=0，
所以F1=016+0+4D1+F1=01+1−D1+E1+F1=0，解得F1=0D1=−4E1=−6，
即方程为x2+y2−4x−6y=0，或x−22+y−32=13；
设过点0,0，4,0，4,2的圆的方程为x2+y2+D2x+E2y+F2=0，
所以F2=016+0+4D2+F2=016+4+4D2+2E2+F2=0，解得F2=0D2=−4E2=−2，
即方程为x2+y2−4x−2y=0，或x−22+y−12=5；
设过点−1,1，4,0，4,2的圆的方程为x2+y2+D3x+E3y+F3=0，
所以1+1−D3+E3+F3=016+0+4D3+F3=016+4+4D3+2E3+F3=0，解得F3=−3.2D3=−3.2E3=−2，
即方程为x2+y2−3.2x−2y−3.2=0，x−852+y−12=16925；
设过点−1,1，0,0，4,2的圆的方程为x2+y2+D4x+E4y+F4=0，
所以1+1−D4+E4+F4=0F4=016+4+4D4+2E4+F4=0，解得F4=0D4=−83E4=−143，
即方程为x2+y2−83x−143y=0，或x−432+y−732=659，
故选：D.
【变式1.1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点A−1,1,B3,−3，半径最小的圆的方程为（ ）
A．(x−1)2+(y+1)2=8B．(x+1)2+(y−1)2=8
C．(x−1)2+(y+1)2=32D．(x+1)2+(y−1)2=32
【解题思路】半径最小的圆即以AB为直径的圆.
【解答过程】过点A−1,1,B3,−3，半径最小的圆,即以AB为直径，
则圆心为AB中点M(1,−1)，半径为r=(−1−3)2+(1+3)22=16+162=22，
则圆方程为：(x−1)2+(y+1)2=8.
故选：A.
【变式1.2】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆C经过点A(2,5)，B(4,3)，且圆心在直线l:2x+y−7=0上，则圆C的方程为（ ）
A．(x−3)2+(y−6)2=2B．(x−2)2+(y−3)2=4
C．(x−2)2+(y−3)2=8D．(x−3)2+(y−6)2=10
【解题思路】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得.
【解答过程】设该圆方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
则圆心为a,b，有2a+b−7=0，
将点A(2,5)，B(4,3)代入，
有2−a2+5+2a−72=r24−a2+3+2a−72=r2，化简得5a2−12a+8=r25a2−24a+32=r2，
两式相减得12a−24=0，即有a=2，则b=7−2a=3，
r2=5a2−12a+8=4，
故该圆方程为(x−2)2+(y−3)2=4.
故选：B.
考点2 求圆的一般方程
【例2.1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）直线x4+y2=1与x轴，y轴分别交于点A,B，以线段AB为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2−4x−2y−3=0B．x2+y2−4x−2y=0
C．x2+y2−4x−2y+3=0D．x2+y2−2x−4y=0
【解题思路】根据直线方程求出A，B点的坐标，法一：利用圆的直径式方程直接求得；法二：求出AB中点即为圆心，AB长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.
【解答过程】由题：A(4,0),B(0,2)
法一：根据圆的直径式方程可以得到：
以线段AB为直径的圆的方程为x(x−4)+y(y−2)=0，即x2−4x+y2−2y=0，
故选：B.
法二：AB中点为(2,1)，|AB|=42+22=25
故以线段AB为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为5，
所以圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=5，展开化简得：x2+y2−4x−2y=0，
故选：B.
【例2.2】（23-24高三上·北京顺义·期中）已知圆C的圆心坐标为(−3,2)，且点(−1,1)在圆C上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2+6x−4y+8=0B．x2+y2+6x−4y−8=0
C．x2+y2+6x+4y=0D．x2+y2+6x−4y=0
【解题思路】由圆心坐标可以设出圆的标准方程，再将点C代入可求出圆的半径，最后整理成圆的一般式方程即可.
【解答过程】因为圆C的圆心坐标为(−3,2)，所以设圆C的方程为：x+32+y−22=r2r>0，
由点(−1,1)在圆C上，则−1+32+1−22=r2，得r=5，
则圆C的方程为：x+32+y−22=5，即x2+y2+6x−4y+8=0，
故选：A.
【变式2.1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线4x+3y−12=0与两坐标轴的交点为A,B，则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2−3x−4y=0B．x2+y2−4x−3y=0
C．x2+y2+3x+4y=0D．x2+y2+4x+3y=0
【解题思路】根据A,B点坐标写出以AB为直径的圆的方程即可.
【解答过程】直线4x+3y−12=0与两坐标轴的交点为A(3,0),B(0,4)，
则AB=32+42=5，
则以AB为直径的圆半径为52，圆心即为A,B中点坐标为32,2，
所以以AB为直径的圆的方程为x−322+y−22=522，
化简得：x2+y2−3x−4y=0.
故选：A.
【变式2.2】（23-24高二上·河北保定·期中）过圆C:x2+y2−2x−6y=0的圆心且与直线x2+y4=1垂直的直线的方程是（ ）
A．2x−y−1=0B．2x+y−7=0
C．x−2y+5=0D．x+y−5=0
【解题思路】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程
【解答过程】因为圆C:x2+y2−2x−6y=0，即x−12+y−32=10，
所以圆心为1,3，又直线x2+y4=1的斜率为−2，所以所求直线的斜率为12，
∴所求直线的方程为y−3=12x−1，即x−2y+5=0.
故选：C.
二、 二元二次方程和圆的方程
基础知识
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
考点3 二元二次方程表示圆的条件
【例1.1】（23-24高二上·北京顺义·期中）若x2+y2+4x−2y−m=0表示圆的方程，则m的取值范围是（ ）
A．5,+∞B．−∞,5C．−∞,−5D．−5,+∞
【解题思路】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.
【解答过程】因为方程x2+y2+4x−2y−m=0表示一个圆，所以42+−22+4m>0，
解得m>−5，
所以m的取值范围是−5,+∞.
故选：D.
【例1.2】 （23-24高二上·河北·期中）若方程x2+y2+4x+2y−m=0表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．−∞,−5B．−5,+∞C．−∞,5D．5,+∞
【解题思路】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.
【解答过程】因为方程x2+y2+4x+2y−m=0表示一个圆，所以42+22+4m>0，解得m>−5．
故选：B.
【变式1.1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知方程x2+y2+4x−2y−5c=0表示圆的方程，则c的取值范围为（ ）
A．c>−1B．c≥−1
C．c>1D．c≤1
【解题思路】根据题意，由42+−22+20c>0求解.
【解答过程】解：因为方程x2+y2+4x−2y−5c=0表示圆的方程，
所以42+−22+20c>0，解得c>−1，
故选：A.
【变式1.2】 （23-24高二上·浙江舟山·阶段练习）若a∈−2,−1,0,12,34,1 ，则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a−1=0表示的圆的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可.
【解答过程】由题意可知：a2+2a2−42a2+a−1=−3a2−4a+4>0⇒3a−2a+212，
∴点P在圆外.
故选：C．
【变式1.1】（23-24高二上·广东惠州·期中）点P(m,3)与圆x−22+y−12=2的位置关系为（ ）
A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m的值无关
【解题思路】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果.
【解答过程】∵m−22+3−12=m−22+4>2，
∴Pm,3在圆x−22+y−12=2外，
故选：A.
【变式1.2】（2024高二上·全国·专题练习）点(−1,−1)在圆(x+a)2+(y−a)2=4的内部，则a的取值范围是（ ）
A．−1