2025年中考数学专项复习第18讲 等腰三角形(讲义，2考点+3命题点18种题型(含2种解题技巧))(原卷版)

这是一份2025年中考数学专项复习第18讲 等腰三角形(讲义，2考点+3命题点18种题型(含2种解题技巧))(原卷版)，共30页。试卷主要包含了等腰三角形，等边三角形等内容，欢迎下载使用。
（思维导图+2考点+3命题点18种题型（含2种解题技巧））
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc186791341" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc186791342" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc186791343" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc186791344" 考点一 等腰三角形
\l "_Tc186791345" 考点二 等边三角形
\l "_Tc186791346" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc186791347" 命题点一 等腰三角形的性质与判定
\l "_Tc186791348" ►题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用
\l "_Tc186791349" ►题型02 根据等边对等角求解或证明
\l "_Tc186791350" ►题型03 根据三线合一求解或证明
\l "_Tc186791351" ►题型04 在格点图中画等腰三角形
\l "_Tc186791352" ►题型05 根据等角对等边求边长
\l "_Tc186791353" ►题型06 根据等角对等边证明
\l "_Tc186791354" ►题型07 确定构成等腰三角形的点
\l "_Tc186791355" ►题型08 等腰三角形性质与判定综合
\l "_Tc186791356" 命题点二 等边三角形的性质与判定
\l "_Tc186791357" ►题型01 利用等边三角形的性质求解
\l "_Tc186791358" ►题型02 等边三角形的判定
\l "_Tc186791359" ►题型03 等边三角形性质与判定综合
\l "_Tc186791360" 命题点三 热考题型汇总
\l "_Tc186791361" ►题型01 手拉手模型
\l "_Tc186791362" ►题型02 与等腰三角形有关的折叠问题
\l "_Tc186791363" ►题型03 与等腰三角形有关的动点问题
\l "_Tc186791364" ►题型04 与等腰三角形有关的新定义问题
\l "_Tc186791365" ►题型05 与等腰三角形有关的规律探究问题
\l "_Tc186791366" ►题型06 与等腰三角形有关的多结论问题
\l "_Tc186791367" ►题型07 探究等腰三角形中存在的线段数量关系
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
\l "_Tc186269293" 03考点突破·考法探究
考点一 等腰三角形
定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
【特殊】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
等腰三角形性质：
1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，
①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，
②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.
2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.
等腰三角形的判定：
1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；
2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【总结】证明两个角相等的方法：
1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.
2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.
【易错易混】
1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.
2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
2．（2024·四川·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 度．
3．（2024·云南·中考真题）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（ ）
A．32B．2C．3D．72
4．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED=∠BEC,DE=2，则BE的长为

5．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

考点二 等边三角形
定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形.
等边三角形的性质：
1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
2）等边三角形的三条边相等；
3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
等边三角形的判定：
1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形；
2）三个角都相等的三角形是等边三角形.
3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【补充】
1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形=34边长2
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45°B．39°C．29°D．21°
3．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（ ）
A．2B．3C．1D．12
4．（2024·青海·中考真题）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是（ ）
A．3B．6C．3D．33
5．（2023·福建·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，则AC的长为 ．

\l "_Tc186269297" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 等腰三角形的性质与判定
►题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用
等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
【易错点】注意所求结果需满足三角形三边关系.
1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x2−10x+21=0的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17或13B．13或21C．17D．13
2．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+b−5=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）若等腰三角形的周长是10cm，其中一边长是2cm，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
4．（2024·上海·模拟预测）等腰三角形的一个内角为91°，随机选取1个内角，度数为
5．（2024·四川达州·模拟预测）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为 ．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 根据等边对等角求解或证明
1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（ ）
A．100°B．115°C．130°D．145°
2．（2024·陕西·中考真题）如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是 ．

3．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD,BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC．若∠BAE=53°，则∠GFD的度数为（ ）
A．127°B．106°C．76°D．74°
4．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 在△ABC中，∠ACB=90°， 若CA=6,CB=8，CD为△ABC的中线， 点E在边AC上(不与端点重合)，BE与CD交于点 F， 若EC=EF， 则DF= ．
►题型03 根据三线合一求解或证明
1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是 ．
2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18B．92C．9D．62
4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BC的长是（ ）
A．3B．6C．8D．9
4．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（ ）
A．OB⊥ODB．∠BOC=∠AOB
C．OE=OFD．∠BOC+∠AOD=180°
5．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形．

QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 在格点图中画等腰三角形
1．（2021·吉林·中考真题）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．
2．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）

A．2B．3C．4D．5
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画以EF为斜边的等腰直角△DEF，点D在小正方形的格点上；
(2)在（1）的条件下，在图中以AB为边画Rt△BAC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC=90°，且 tan∠ACB=23，连接CD，直接写出线段CD的长．
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.按要求完成下列画图．
(1)在图1中画出一个以AB为底的等腰△ABD，使SABD=SABC，点D在格点上，并直接写出△ABD的周长；
(2)在图2中的边AC上找一点E，连接BE，使BE⊥AC．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法)
QUOTE ►题型05 根据等角对等边求边长
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，▱ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE= ．
2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 ．

3．（2023·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是 ．

4．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则DEEF的值是 ．
►题型06 根据等角对等边证明
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（ ）
A．8B．16C．12D．24
2．（2024·山东·中考真题）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB=4，∠PQE=67.5°，则F到AN的距离为 ．
3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB=6，BC=8，则cs∠ABF的值是 ．
4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF=∠C．
(1)求证：∠BDF=∠A；
(2)若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．
►题型07 确定构成等腰三角形的点
1．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且△ABC是等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．（2022·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．
3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数y1=kx (k≠0)的图象交于A(1，2)，B两点，一次函数y2=mx+b(m≠0)的图象过点A与反比例函数交于另一点C(2，n)．

(1)求反比例函数的解析式；当y1>y2时，根据图象直接写出x的取值范围；
(2)在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(3,4),B(n,−1)．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
►题型08 等腰三角形性质与判定综合
1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的边长为5，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 ．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．
(1)求证：△GEC是等腰三角形；
(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．
3．（2024·山东威海·中考真题）感悟
如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE，BC=DE．求证：∠BAC=∠EAD．
应用
（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB（不写作法，保留作图痕迹）．
4．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB⋅AC之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析1BM+1BN的值是否变化？
命题点二 等边三角形的性质与判定
►题型01 利用等边三角形的性质求解
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC，AC，AB．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 ．
2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF= ．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为0,4，点B,C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为 ．
4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°．则新钢架减少用钢（ ）
A．24−123mB．24−83mC．24−63mD．24−43m
►题型02 等边三角形的判定
1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上 填上一个适当的条件．
2．（2022·青海西宁·中考真题）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（ ）

A．△AOB是等边三角形B．PE=PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
3．（2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=BD=12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）
A．80πcm2B．40πcm2C．24πcm2D．2πcm2
4．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC=60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE//CD交DA的延长线于点E，若AD=2，DC=3，求△BDE的面积．
QUOTE ►题型03 等边三角形性质与判定综合
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l= （结果保留π）．
2．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105°B．100°C．90°D．70°
3．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G，若AE=ED=2，则：
（1）∠FDB的度数是 ；
（2）DG的长是 ．
4．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．

(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．
命题点三 热考题型汇总
►题型01 手拉手模型
常见模型种类：
【小结】
1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右.
2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.
1．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，△ABC,△ECD均为等边三角形，边长分别为5cm,3cm，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的 ．（填序号）
①AD=BE ②BE=7cm ③△CFG为等边三角形 ④CM=137cm ⑤CM平分∠BMD
2．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】
（1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 ；线段BE与AD之间的数量关系是 ．
【模型应用】
（2）如图2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD；
（3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC=3：4：5，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接CM，求∠APB的度数是 ．
【拓展提高】
（4）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数．（用含有m的式子表示）
（5）如图5，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系．
3．（2024·河南驻马店·二模）【问题发现】
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，连接AD，探究AD，BD，CD之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下：
【类比分析】
（2）如图2所示，当点D在线段BC的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程；
【拓展延伸】
（3）若（1）中的点 D在射线CB上，且 CD=3BD，请直接写出∠ADC的度数．

4．（2023·河南郑州·二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．

(1)【问题发现】
如图1所示，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE，两线交于点P，BD和CE的数量关系是 ；BD和CE的位置关系是 ；
(2)【类比探究】
如图2所示，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC、PC于点M、N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出DHBC的值；
(3)【拓展延伸】
如图3所示，已知点C为线段AE上一点，AE=6，△ABC和△CDE为AE同侧的两个等边三角形，连接BE交CD于N，连接AD交BC于M，连接MN，直接写出线段MN的最大值．
5．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD=CE；
图1
(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2
►题型02 与等腰三角形有关的折叠问题
1．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别在边AD、BC上，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D'在边BC上，点C的对应点为C'，则DE的最小值为 ，CF的最大值为 ．
2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,CA=CB=3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C'处，连接BC'，则BC'的最小值为 ．

3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD=12cm，CD=10cm，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N，AD'交折痕MN于点E，则线段EN的长为（ ）
A．8cmB．16924cmC．16724cmD．558cm
4．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A