第18讲 等腰三角形-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

这是一份第18讲 等腰三角形-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案），文件包含第18讲等腰三角形练习原卷版docx、第18讲等腰三角形讲义2考点+3命题点18种题型含2种解题技巧原卷版docx、第18讲等腰三角形练习解析版docx、第18讲等腰三角形讲义2考点+3命题点18种题型含2种解题技巧解析版docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共330页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc187058595"
\l "_Tc187058596" ?题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用
\l "_Tc187058597" ?题型02 根据等边对等角求解或证明
\l "_Tc187058598" ?题型03 根据三线合一求解或证明
\l "_Tc187058599" ?题型04 在格点图中画等腰三角形
\l "_Tc187058600" ?题型05 根据等角对等边求边长
\l "_Tc187058601" ?题型06 根据等角对等边证明
\l "_Tc187058602" ?题型07 确定构成等腰三角形的点
\l "_Tc187058603" ?题型08 等腰三角形性质与判定综合
\l "_Tc187058604" ?题型09 利用等边三角形的性质求解
\l "_Tc187058605" ?题型10 等边三角形的判定
\l "_Tc187058606" ?题型11 等边三角形性质与判定综合
\l "_Tc187058607" ?题型12 手拉手模型
\l "_Tc187058608" ?题型13 与等腰三角形有关的折叠问题
\l "_Tc187058609" ?题型14 与等腰三角形有关的动点问题
\l "_Tc187058610" ?题型15 与等腰三角形有关的新定义问题
\l "_Tc187058611" ?题型16 与等腰三角形有关的规律探究问题
\l "_Tc187058612" ?题型17 与等腰三角形有关的多结论问题
\l "_Tc187058613" ?题型18 探究等腰三角形中存在的线段数量关系
\l "_Tc187058614"
\l "_Tc187058615"
?题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用
1．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的周长为 ．
2．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足|m−7+3−n|2=0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 ．
3．（2024·内蒙古赤峰·二模）学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36°，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（ ）
A．36°B．144°C．36°或72°D．72°或144°
4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D是边BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为B'，若∠BDB'=120°，则BD的长为 ．
5．（22-23八年级上·河南南阳·期末）在等腰三角形中有一个角为40°，则腰上的高与底边的夹角为 ．
?题型02 根据等边对等角求解或证明
6．（2024·陕西渭南·三模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA、OB，若OA=2，则该正八边形的面积为 ．（结果保留根号）
7．（2024·陕西·模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，AD,CE相交于点 F，连接BF，则∠CFB的度数是 ．
8．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，点P为直线BC上一点，且AC=CP，连接AP，则∠BAP的度数是（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．30°或135°
9．（2024·广东河源·二模）如图，在四边形ABCD中，∠CAD=90°，∠B=30°，∠D=60°且AC=BC．
(1)求证：AB∥CD．
(2)若AD=1，求四边形ABCD的面积．
10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G.若GE=GH，ABFH=56，AD=4，则EF= .
?题型03 根据三线合一求解或证明
11．（2024·贵州黔东南·二模）如图，△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若AE=4，则BD的边长为（ ）
A．2.5B．3.5C．2D．3+1
12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，点B、C在x轴上，BC=4OC，若△ABC的面积等于8，则k的值为 ．
13．（2024·山西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中点E，连接BE，过点C作BE的垂线，交BE的延长线于点D，若BD=8，DC=2，则DE的长为 ．
14．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛
(1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. AB=AD，CB=CD， AC 与BD 交于点O，求证: BO=DO
(2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架AC和BD (如图2)，当AC垂直平分BD时即可固定风筝.现在有总长度为120cm的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当AC为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？
15．（2024·山东聊城·三模）如图，△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE∥AB，点F是AD的中点，连接EF，并延长EF交AB于点G．
(1)连接DG，求证：四边形AGDE是平行四边形．
(2)若使四边形AGDE是菱形，△ABC应为什么特殊三角形？点D在BC的什么位置？证明你的猜想．
?题型04 在格点图中画等腰三角形
16．（2024·贵州贵阳·二模）在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C有 个．
17．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹．
(1)在图①中，以AC为中线作△ABD，使AB=AD；
(2)在图②中，以AC为中线作Rt△AEF，使∠AEF=90°；
(3)在图③中，以AC为中线作△AMN，使∠AMN为钝角且tan∠MAC=12．
18．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1，已知格点P，请按要求完成以下问题．

(1)在图中画一个格点等腰三角形PEF，使得底边长为2；
(2)在图中再找一个格点G，使得P，E，F，G四点构成平行四边形，则该平行四边形的面积为__________．
19．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使△ABPn（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （ ）

A．P1B．P2C．P3D．P4
?题型05 根据等角对等边求边长
20．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边△ABC中，AB=6，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长为 ．
21．（2024·贵州毕节·三模）如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°， AC=BC， 点 D 在 AB上， AD=4， CD=10，则BD的长为 ．

22．（2024·海南海口·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则点E到AB的距离为 ，DEEF的值是 ．
23．（2024·陕西·模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的13处BE=13AB，已知试管AB=24cm，试管倾斜角α为10°，实验时，导气管BF交CD的延长线于点F，且ED⊥CF，测得DE=27.36cm，∠ABF=145°，求DF的长度．（参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
24．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC，若AB=5，AC=4，则△ABD与△ACD的面积比为（ ）
A．5：4B．4:5C．16:25D．25：16
25．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BC，交BC于点E，且AB=5，AE=BC=4，则CD的长为 ．
?题型06 根据等角对等边证明
26．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在△ABC中，O是AB边的中点，D是CO上一点，AE ∥ BD交CO的延长线于点E．
(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ACB=90°，∠BDO=∠CAO，AC=6，求BD的长．
27．（2024·江苏连云港·模拟预测）某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等．该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系．请根据下列探究思路完成作图和解答：
(1)尺规作图：过点E作EF⊥AE．分别交边AD、BC于点G、F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：EC=EF=AE．
?题型07 确定构成等腰三角形的点
28．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
(1)从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
(2)从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
29．（2023兰州市模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得ΔPAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
30．（2020·江苏泰州·一模）已知点A(2，m)，点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m= ．
31．（2024君山区一模）已知坐标原点O和点A(1,1)，试在x轴上找到一点P，使△AOP为等腰三角形，写出满足条件的点P的坐标
?题型08 等腰三角形性质与判定综合
32．（2024通辽市模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC,AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为 ．

33．（2024·贵州·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠C=60∘，BC=6，P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
34．（2024·山西·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，到△AB'C'，连接CC'，交AB于点P，若AB=4，BC=2，则CP的长为 ．
35．（2024·湖南·模拟预测）如图，将等腰Rt△ABC的斜边BC向上平移至AD（点B和A重合），连接CD，M为线段CD上一点（不与点C重合），连接AM并将其绕点A顺时针旋转90°至AN，连接MN交BC于点E，连接BN．
(1)求证：△ABN≌△ACM；
(2)求证：EN=EM；
(3)如图2，分别取AM,CE的中点P,Q,连接PQ，试探究线段PQ和BE之间的数量关系，并说明理由．
?题型09 利用等边三角形的性质求解
36．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于☉O，连接AO，DO，已知△AOD是等边三角形，DO是∠ADC的平分线，则∠ABC=（ ）

A．30°B．40°C．60°D．80°
37．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，OA=2，将等边△OAB绕原点顺时针旋转105°至△OA'B'的位置，则点B'的坐标为 ．
38．（2024·安徽合肥·三模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D是BC的中点，E，F分别在BC，AB上，连接AE，CF，两线交于点G，连接BG，DG，∠FGB=∠CGD，CE=1．
(1)求AE的长；
(2)求证：BG=2GD；
(3)求AG的长
39．（2024·湖南·模拟预测）平面图形的镶嵌往往给人以美的享受，如图1是用边长相等的正六边形与正三角形进行的无缝隙、不重叠的平面镶嵌．我们选取其中一个正六边形和三个与之相邻（正上方、左下方和右下方）的正三角形组成的图形部分，将其放在平面直角坐标系中．如图2，点A，B，C均为正六边形和正三角形的顶点．已知点A的坐标为2,0，反比例函数y=kxx>0的图象恰好经过点B，C，连接OB，OC，则△BOC的面积是 ．
?题型10 等边三角形的判定
40．（2023·江西赣州·一模）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），△ABC和△DBC中，∠A=∠D=90°．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．
小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取BC中点M，连接AM,DM，则有AM=BM=CM及DM=BM=CM，即AM=BM=CM=DM，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，MB为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
(1)如图2，在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，若∠BAC=64°，则∠EDF= °．
(2)如图3，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，G为CD的中点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合），若∠EGF=60°，求证：CD=12AB．
41．（2023·甘肃平凉·模拟预测）某学习小组在学习时遇到了∠ACB=∠AED=90°下面的问题：
如图1，在△ABC和△ADE中，，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一直线上，连接BD，F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．
问题探究
（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF．以下是她的证明过程：
请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图1上作出证明中所描述的辅助线．
②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．
证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．
∵F是BD的中点，∴BF=DF．
∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED∥CG，∴∠BGF=∠DEF
又∵∠BFG=∠DFE，∴△BGF≌△DEF（ ）．
∴EF=FG，∴CF=EF=12EG．
问题拓展 在（1）在探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．
?题型11 等边三角形性质与判定综合
42．（2023·广东深圳·三模）综合与实践
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、B、C在半径为1的⊙O上静止不动，第四只蚂蚁P在⊙O上的移动，并始终保持∠APC=∠CPB=60°．
(1)请判断△ABC的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：△ABC是______三角形；
(2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁P在⊙O上的移动时，线段PA、PB、PC三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明；
(3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁M同时随着蚂蚁P的移动而移动，且始终位于线段PC的中点，在这个运动过程中，线段BM的长度一定存在最小值，请你求出线段BM的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）．
43．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠MAN=∠B，AM，AN分别交BC，CD于点M，N．
(1)【动手操作】如图①，若M是边BC的中点，根据题意在图①中画出∠MAN，则∠BAM=________度；
(2)【问题探究】如图②，当M为边BC上任意一点时，求证：AM=AN；
(3)【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB=4，点P，N分别在边BC，CD上，在菱形内部作∠PAN=∠B，连接AP，若AP=13，求线段DN的长．
44．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE，AB，DE满足数量关系是 ；
(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB，BD，DE，AE之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；
(3)如图3，BC=8，AB=3，DE=7，若∠ACE=120°，则线段AE长度的最大值是 ．
45．（2024·山东·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．
(1)如图1，当点E在边BC上时，求证DE=EB；
(2)如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；
(3)如图1，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G， AG=5CG，BH=1．求CG的长．
46．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，⊙O为五边形ABCDE的外接圆，AB=BC，AE=DE，连接其对角线，交于点F，G，H，N，M．
(1)求证：∠AFG=∠AGF；
(2)当∠CAD= 时，△NED是等边三角形，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，若AF=4，tan∠BAF=337．求证：S四边形ABNE=3S△EDN．
?题型12 手拉手模型
47．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：
(1)观察猜想：如图①，已知△ABC,△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B、C重合，连接CE，易证△ABD≌△ACE，进而判断出AB与CE的位置关系是___________
(2)类比探究：如图②，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC=60°，试说明点B，D，E在同一直线上；
(3)解决问题：如图③，已知点E在等边△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，请求出BE的长．
48．（2023·河南洛阳·模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1)操作判断 已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α0°c；②a2+b2=c2；③c≥2(a+b)2，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
69．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31316；④四边形PCDQ周长的最小值为3+372，其中，正确结论的序号为 .
?题型18 探究等腰三角形中存在的线段数量关系
1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
【思考尝试】（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，D是BC边上的一点，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CE．用等式写出线段CD，BD，AD的数量关系，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，思考提出新的问题：如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为边BC上的点，且∠EAF=45°．用等式写出线段EF，BE，CF的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的问题，发现并提出新的探究点：如图3，在△ABC中，∠BAC为直角，∠ABC=45°，平面内存在一点D，使CD⊥BD．若AD=42，CD=2，求△ABC的面积．
2．（2024·贵州黔南·模拟预测）已知△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BE=BD．
【问题发现】
（1）如图1，当点B，C，E在同一条直线上时，AE与CD的数量关系是______，位置关系是______；
【问题探究】
（2）如图2，当点A，C，E在同一条直线上时，BE，CD交于点F，若AB=BC=2，BE=BD=32，求CFBF的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，连接CE，AD，G是线段CE的中点，连接BG，求BGAD的值．
3．（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践：
如图1，已知点D是等边三角形△ABC边BC上的一点（不与点B，C重合）．
动手操作：
第一步：连接AD，以A为旋转中心，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE；
第二步：以D为旋转中心，将线段DC逆时针旋转120°，得到线段DF，连接BF，交DE于点M．
特例探究：
（1）如图2，当点D为BC中点时，点F恰好在AB上，请写出线段EM与DM的数量关系，并说明理由；
探索发现：
（2）如图1，当点D不是BC中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC=6，CD=2时，请直接写出AM的长．
4．（2024·重庆江津·模拟预测）在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D，E分别为AB，BC边上的动点且满足AD=BE，连接DE，AE．
(1)如图1，AD