2025年中考数学一轮复习精品讲义第18讲 等腰三角形（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156158026" \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156158027" 考点一 等腰三角形的性质与判定
\l "_Tc156158028" 题型01 等腰三角形的定义
\l "_Tc156158029" 题型02 根据等边对等角求角度
\l "_Tc156158030" 题型03 利用等边对等角证明
\l "_Tc156158031" 题型04 根据三线合一求解
\l "_Tc156158032" 题型05 根据三线合一证明
\l "_Tc156158033" 题型06 格点图中画等腰三角形
\l "_Tc156158034" 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
\l "_Tc156158035" 题型08 根据等角对等边证明边相等
\l "_Tc156158036" 题型09 根据等角对等边求边长
\l "_Tc156158037" 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
\l "_Tc156158038" 题型11 等腰三角形性质与判定综合
\l "_Tc156158039" 题型12 等腰三角形有关的折叠问题
\l "_Tc156158040" 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
\l "_Tc156158041" 题型14 等腰三角形有关的新定义问题
\l "_Tc156158042" 题型15 等腰三角形有关的动点问题
\l "_Tc156158043" 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
\l "_Tc156158044" 考点二 等边三角形的性质与判定
\l "_Tc156158045" 题型01 利用等边三角形的性质求线段长
\l "_Tc156158046" 题型02 手拉手模型
\l "_Tc156158047" 题型03 等边三角形的判定
\l "_Tc156158048" 题型04 等边三角形与折叠问题
\l "_Tc156158049" 题型05 等边三角形有关的规律探究问题
\l "_Tc156158050" 题型06 等边三角形有关的新定义问题
\l "_Tc156158051" 题型07 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156158052" 考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理
\l "_Tc156158053" 题型01 利用垂直平分线的性质求解
\l "_Tc156158054" 题型02 线段垂直平分线的判定
\l "_Tc156158055" 题型03 线段垂直平分线的实际应用
考点一 等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b20）的图象上，则k的值为 ．

【答案】12
【分析】过点A作AC⊥OB于点C，利用等腰三角形的性质求得OC=BC=3，再利用勾股定理求得AC=4，得到点A的坐标是3，4，利用待定系数法即可求解．
【详解】解：过点A作AC⊥OB于点C，

∵OA=AB=5，OB=6，
∴OC=BC=3，
∴AC=52-32=4，
∴点A的坐标是3，4，
∵点A在反比例函数y=kx（k≠0，x>0）的图象上，
∴k=3×4=12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查反比例函数与等腰三角形的综合，利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标是解题关键．
【变式4-4】（2023·河北·统考模拟预测）如图，点D,C,E在直线l上，点A,B在l的同侧，AC⊥BC，若AD=AC=BC=BE=5,CD=6，则CE的长为 ．

【答案】8
【分析】过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，证明△ACM≌△CBN，得出AM=CN，BN=CM，根据等腰三角形性质得出DM=CM=12CD=3，根据勾股定理求出AM=AD2-DM2=52-32=4，根据等腰三角形性质得出EN=CN=12EC，求出CE=2CN=8即可．
【详解】解：过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，如图所示：

则∠AMD=∠AMC=∠BNC=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠BCN=∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACM=∠CBN，
∵AC=BC，∠AMC=∠BNC=90°，
∴△ACM≌△CBN，
∴AM=CN，BN=CM，
∵AD=AC，AM⊥CD，
∴DM=CM=12CD=3，
∴AM=AD2-DM2=52-32=4，
∴CN=AM=4，
∵BC=BE，BN⊥CE，
∴EN=CN=12EC，
∴CE=2CN=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明△ACM≌△CBN．
题型05 根据三线合一证明
【例5】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
B．线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
C．线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
D．线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】如图所示，连接AD，设该圆圆心为O，连接OE，OD，先由三线合一定理和切线的性质证明A、O、D三点共线，即AD是⊙O的直径，进而得到点O是线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点．
【详解】解：如图所示，连接AD，设该圆圆心为O，连接OE，OD，
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴A、O、D三点共线，即AD是⊙O的直径，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∵OA=OE，
∴点O在线段AE的垂直平分线，
∴点O是线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点，
故选C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，三线合一定理，证明AD是⊙O的直径是解题的关键．
【变式5-1】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点．
(1)求证：DE=BF；
(2)请从以下三个条件：①AC=2BD；②∠BAC=∠DAC；③AB=AD中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形DEBF为菱形．
你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)②，证明见解析
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到AO=CO,OD=OB然后根据题意得到OE=OF，进而证明出四边形DEBF是平行四边形，即可得到DE=BF；
（2）选择添加的条件是：②∠BAC=∠DAC，首先根据平行四边形的性质得到∠DCA=∠BAC，然后利用等量代换得到∠DCA=∠DAC，然后利用等腰三角形三线合一性质得到AC⊥BD，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO,OD=OB
∵点E，F分别是AO，CO的中点
∴OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形
∴DE=BF；
（2）选择添加的条件是：②．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC
∵∠BAC=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC
∴AD=CD
∵AO=CO
∴AC⊥BD
∵四边形DEBF是平行四边形
∴平行四边形DEBF是菱形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式5-2】（2023·广西河池·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
(1)求证：AD是圆O的切线．
(2)若PC是圆O的切线，BC=4，求PE的长．
【答案】(1)见解析
(2)22
【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质得到AD⊥BC，即可得证；
（2）连接OP，通过证明△DEC∽△POC，利用相似三角形的性质得到PC与CE的长度，再进行线段和差即可求解．
【详解】（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是圆O的切线；
（2）连接OP，
∵BC=4，
∴BD=DC=2，
∵BD为直径，
∴BO=OD=1，
∵EP为⊙O切线，
∴OP=1，
∵OC=3，
∴在 Rt△OPC中，OC2-OP2＝PC2，
∴PC=32-12=22，
∵∠ECD＝∠PCO，∠EDC＝∠OPC＝90°，
∴△DEC∽△POC，
∴ ECOC=DCPC，
∴ EC3=222，
∴ EC=322，
∴PE=PC-EC= 22-322 = 22．
【点睛】本题考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质．如果已知切线，连半径，得垂直；如果证明切线，则连半径，证垂直．
【变式5-3】（2023·贵州黔东南·统考三模）（1）如图，直线AB经过⊙O上一点C，连接OA,OB，从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．①OA=OB；②CA=CB；③AB是⊙O的切线．你选择的条件是____________，结论是______（填序号）；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB=90°，OA=42，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）①②，③（答案不唯一）；（2）16-4π
【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接OC，根据等腰三角形性质可得OC⊥AB，即可；
（2）先求出OC，再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，即可．
【详解】解：选择的条件是①②，结论是③；理由如下：
如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵OC为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）∵∠AOB=90°，OA=42，OA=OB，
∴AB=OA2+OB2=8，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，OC=12AB=4，
∴阴影部分的面积为
S△AOB-S扇形=12×42×42-90π×42360=16-4π．
【点睛】本题考查命题与定理，切线的判定，扇形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型06 格点图中画等腰三角形
【例6】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是AB、BC上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足∠MPN=45°的点P有（ ）个
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形的两个锐角等于45°，构造出一个P点，再画出△P1MN的外接圆，这个外接圆与网格交点为格点的都符合题意．
【详解】解：如图，在BC边上取点P1，使BP1=AN=2，连接NP1，MP1，
∴NB=AM=4，
∵∠MAN=∠NBP1=90°，
∴△MAN≌△NBP1SAS，
∴MN=NP1，∠AMN=∠BNP1，
∵∠ANM+∠AMN=90°，
∴∠ANM+∠BNP1=90°，
∴△P1MN是等腰直角三角形，
∴∠MP1N=45°，
作△P1MN的外接圆交网格于P2、P3、P4、P5，
根据圆周角定理，得∠MP1N=∠MP2N=∠MP3N=∠MP4N=∠MP5N=45°，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等，解答时需要一定的空间想象能力，模型意识．
【变式6-1】（2023·广西玉林·统考一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】确定AB的长度后即可确定点C的位置．
【详解】AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，

故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆以及等腰三角形的判定，解题的关键是确定AB的长，难度不大．
【变式6-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1

(1)在图1中画一个腰长为5，面积为10的等腰三角形ABC，（点A、B、C在小正方形的顶点上）．
(2)在图2中画出一个腰长为10的等腰三角形DEF（点D、E、F在小正方形的顶点上），并直接写出等腰三角形DEF的底角的正切值为__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，7
【分析】（1）根据腰长和面积求出腰上的高，即可画图；
（2）根据勾股定理求解可画出三角形，过点E作EG⊥DF交DF于点G，由勾股定理求得DF=22，根据等腰三角形的性质可得DG=FG=12DF=2，求得EG=72，即可求得底角的正切值．
【详解】（1）解：该等腰三角形腰上的高为：10×2÷5=4，
AB=32+42=5，如图所示

（2）如图，DE=EF=62+82=10，
过点E作EG⊥DF交DF于点G，
DF=22+22=22，根据等腰三角形的性质可得DG=FG=12DF=2，
EG=102-22=72，
∴tan∠EDG=EGDG=722=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了勾股定理，网格内作三角形，等腰三角形的性质和正切值的计算，结合勾股定理作出三角形是解题的关键．
【变式6-3】（2023·浙江丽水·统考二模）如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．

(1)在图1中画出以AB为边的平行四边形ABCD，且点C，D在格点上；
(2)在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；
(3)在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找到格点C,D，根据AD=BC=2，且AD∥BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）AB,AE分别为两个小菱形的对角线，即可求解；
（3）作菱形ABMN对角线AM,BN交于点F，则AF⊥BF，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，AD=BC=2，且AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，

（2）解：如图所示，AB,AE分别为两个小菱形的对角线，
∴AB=AE，
∴△ABE是等腰三角形，

（3）解：如图所示，
∵AB,AN,MN,BM分别等于两个菱形的对角线长，
∴四边形ABMN是菱形，
对角线AM,BN交于点F，则AF⊥BF
∴△ABF是直角三角形．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的定义，菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
【例7】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，D，E是△ABC边上的点，ED∥BC，BE平分∠ABC．

(1)求证：BD=DE；
(2)若BD:BC=2:3．直接写出S△ADE:S△EDC的值．
【答案】(1)见解析
(2)2:1
【分析】（1）由平行线的性质可得∠CBE=∠BED，由角平分线的定义可得∠DBE=∠CBE，即∠DBE=∠BED，即可解答；
（2）由已知条件可得DEBC=23，再说明△ADE∼△ABC可得AEAC=DEBC=23,即AE=2EC；如图：过D作DG⊥AC，则S△ADE=12AE⋅DG,S△EDC=12EC⋅DG，然后代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵ED∥BC，
∴∠CBE=∠BED,
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE=∠CBE,
∴∠DBE=∠BED
∴BD=DE．
（2）解：∵BD:BC=2:3，BD=DE，
∴DEBC=23，
∵ED∥BC，
∴△ADE∼△ABC
∴AEAC=DEBC=23,即AE=2EC
如图：过D作DG⊥AC
∴S△ADE=12AE⋅DG,S△EDC=12EC⋅DG,
∴S△ADE:S△EDC=AE:EC=2EC:EC=2:1．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【变式7-1】（2023·江苏常州·统考二模）如图，已知△ABC．

(1)在图中用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD，作∠ADE，使得∠ADE=∠C，射线DE交AB于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，判断△BDE的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)△BDE是等腰三角形，证明见解析
【分析】（1）作∠ABC的角平分线BD，作∠ADE=∠C．
（2）利用平行线的性质与判定证明∠BDE=∠DBC，结合角平分线的定义可得△BDE两个内角相等，进而得△BDE是等腰三角形．
【详解】（1）解：如图所示，BD为△ABC的角平分线，∠ADE=∠C．

（2）解：△BDE是等腰三角形，理由如下：
∵ ∠ADE=∠C，
∴ DE∥BC，
∴ ∠BDE=∠DBC，
又∵ ∠DBC=∠DBE，
∴ ∠BDE=∠DBE，
∴ DE=BE，
∴ △BDE是等腰三角形．
【点睛】本题考查了用尺规作角平分线，用尺规作相等的角，平行线的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式7-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，D是AB上的一点，C是⊙O上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：△PCE是等腰三角形；
（2）连接BC，若AD=OD，AE=258，BC=6，求PC的长．
【答案】（1）见解析；（2）6516
【分析】（1）根据垂直和切线的性质得到∠AED=∠PCA，然后根据对顶角相等得到∠AED=∠PEC，根据等角对等边即可证明；
（2）作OF⊥AC于点F，PG⊥AC于点G，连接OE，根据三角形中位线的性质得到OF的长，在Rt△OEF中应用勾股定理得到EF的长，进而得到CE的长，然后根据三角形相似的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵PD⊥AB，
∴∠DAE+∠AED=90°．
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA+∠OCA=90°．
∵OA=OC，
∴∠DAE=∠OCA．
∴∠AED=∠PCA，
∵∠AED=∠PEC，
∴∠PCA=∠PEC．
∴PC=PE，即△PCE是等腰三角形．
（2）作OF⊥AC于点F，PG⊥AC于点G，连接OE，
可得OF=12BC=3，OE=AE=258，
∴EF=OE2-OF2=78．
∴AF=4，AC=8．
∴AB=10，⊙O的半径为5．
∴CE=AC-AE=398．
∵∠PCE=∠PEC=∠AED=∠B
又∵∠PGC=∠ACB
∴△PCG∼△ABC
∴PCCG=ABBC．
∵CG=12CE=3916
∴PC=CG·ABBC=6516．
故答案为6516．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的性质，是几何部分的综合题，第（2）问关键是证明两个三角形相似．
题型08 根据等角对等边证明边相等
【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则CF的长为（ ）

A．2B．3C．3.5D．4
【答案】B
【分析】直接利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出CD=AB=6，∠DAF=∠F，进而求出DF=AD=9的长即可由FC=DF-CD得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD=9，
∴FC=DF-CD=9-3=3，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．利用平行线与角平分线得出∠DAF=∠F是解题的关键．
【变式8-1】（2023·江苏苏州·统考二模）如图锐角△ABC中，AB=4，BC=6，∠A=2∠C，则AC的值为 ．

【答案】5
【分析】过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D，证明△ABD∼△CBA，进而即可得到答案．
【详解】解：过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D，则∠1=∠2=12∠BAC，

∵∠BAC=2∠C，即∠C=12∠BAC，
∴∠1=∠2=∠C，
∴AD=CD，∠3=∠2+∠C=2∠C，
∴∠3=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∼△CBA，
∴ABCB=BDBA=ADCA，
∵AB=4，BC=6，
∴BD=83，
∴CD=6-83=103，
∴46=103CA，
∴AC=5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，添加辅助线构造相似三角形是关键．
【变式8-2】（2023·浙江·统考二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC．

(1)求证：BC=CE；
(2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)36°
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DEB=∠BEC，根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBC，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠C=∠A，设∠C=∠A=x，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）解：证明：∵BE平分∠DEC，
∴∠DEB=∠BEC，
∴DE∥BC．
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE；
（2）∵BC=CE，CE=AB，
∴BC=AB，
∴∠C=∠A，
设∠C=∠A=x，
∵EA=EB，
∴∠ABE=∠A=x，
∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x，
∴2x+2x+x=180°，
∴∠C=x=36°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式8-3】（2023·湖北武汉·统考二模）如图，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．

(1)求证：DE=DF；
(2)若∠C=120°，直接写出∠1的度数．
【答案】(1)见解析
(2)150°
【分析】（1）利用AD∥BC推出∠FED=∠FBC，AB∥CD推出∠2=∠F，用BF平分∠ABC推导∠2=∠FBC，从而得到∠F=∠FED，从而得证；
（2）根据AD∥BC，推出∠EDF=∠C=120°，再结合∠F=∠FED利用三角形内角和为180°推出∠FED=180°-∠EDF2=30°，从而得到∠1=180°-∠FED=150°.
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠FED=∠FBC．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠F．
∵BF平分∠ABC，
∴∠2=∠FBC，
∴∠F=∠FED，
∴DE=FD．
（2）∠1=150°，
求解过程如下：
∵∠C=120°，AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=120°，
又∵∠F=∠FED，
∴∠FED=180°-∠EDF2=30°，
∴∠1=180°-∠FED=150°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的相关计算，等角对等边，三角形内角和等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．
题型09 根据等角对等边求边长
【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，点F为对角线AC上一点，当∠CBF=22.5°时，则AF的长是（ ）

A．22-2B．116C．2D．5
【答案】C
【分析】根据正方形的性质得出∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=12×90°=45°，求出∠ABF=90°-22.5°=67.5°，∠AFB=∠BCF+∠CBF=67.5°，得出∠ABF=∠AFB，根据等腰三角形的判定，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=12×90°=45°，
∵∠CBF=22.5°，
∴∠ABF=90°-22.5°=67.5°，
∠AFB=∠BCF+∠CBF=67.5°，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=2，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，得出∠ABF=∠AFB．
【变式9-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E.若DE=2，则BD的长为（ ）

A．4B．23C．2D．22
【答案】D
【分析】过点D作DF⊥AB，根据角平分线的性质得出DF=DE=2，再由等角对等边得出DF=BF=2，由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点D作DF⊥AB，如图所示：

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DE=2，
∴DF=DE=2，
∵∠B=45°，
∴∠BDF=∠B=45°，
∴DF=BF=2
∴BD=BF2+DF2=22，
故选：D．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式9-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点，分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BCD的内部交于点P，射线CP交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由题意可得：CP是∠BCD的平分线，然后可由角平分线的定义、平行四边形的性质以及等角对等边得出BF=BC=8，再根据线段的和差即可得出答案.
【详解】解：由题意可得：CP是∠BCD的平分线，
∴∠BCF=∠DCF，
∵▱ABCD，AB=6，BC=8，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠FCD，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC=8，
∴AF=BF-AB=8-6=2；
故选：B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关图形的性质、得出BF=BC是解题的关键.
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【例10】（2020·安徽淮北·统考一模）如图，在矩形ABCD中， AB=4,BC=6,点E是AD的中点，点F在DC上，且CF=1,若在此矩形上存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF为腰，E为顶角顶点时，②当EF为腰，F为顶角顶点时，③当EF为底，P为顶角顶点时，分别确定点P的位置，即可得到答案．
【详解】∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，CF=1，点E是AD的中点，
∴EF=32=18>4．
∴△PEF是等腰三角形，存在三种情况：
①当EF为腰，E为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC上存在两个点P，在AB上存在一个点P，共3个，使△PEF是等腰三角形；
②当EF为腰，F为顶角顶点时，
∵180的图象过点An,2和B85,2n-3两点．

(1)求n和k的值；
(2)点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S△AOC=6，求C点的坐标；
(3)过C点作DE∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)n和k的值分别为4，8；
(2)C(2,4)，
(3)点F(-9,6)或(-3,9)。
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得n、k的值；
（2）设点C(m,8m)，过点C做CG⊥x轴于点G，交OA于点H，以CH为底，由△AOC的面积解出点C坐标；
（3）先用待定系数法求得进而求出直线DE的解析式，再分两种情况进行讨论：①以DE为直角边，D为直角顶点；②以DE为直角边，E为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．
【详解】（1）解：∵函数y=kxx>0的图像过点An,2和B85,2n-3两点，
∴2n=k85(2n-3)=k，
解得n=4k=8，
故n和k的值分别为4，8；
（2）解：∵n=4,k=8，
∴A(4,2),B(85,5)，
设直线OA的解析式为：y=mx，
把A(4,2)代入y=mx，得2=4m，解得m= 12，
∴直线OA的解析式为：y=12x，
过点C作CG⊥x轴于点G，交直线OA于点H，

设C(m,8m)(m>0)，
∴H(m,12m)，
∴SΔAOC=12CH⋅xA=6，
∴12(8m-12m)×4=6，
∴m=2或m=8（不符合题意舍去）
∴C(2,4)，
（3）解：∵DE∥OA，直线OA的解析式为：y=12x，
∴设直线DE的解析式为：y=12x+b，
∵点C(2,4)在直线DE上，，
∴4=12×2+b，即b=3，
∴直线DE的解析式为：y=12x+3；
当x=0时，y=3，
∴E0,3，OE=3
当y=0时，x=-6，
∴D-6,0，OD=6

根据题意，分两种情况进行讨论：
①以DE为直角边，D为直角顶点；
如图，过F1做FK⊥x轴于点K，可知：∠F1KD=∠DOE=90°，

∵∠F1DE=90°，
∴∠F1DK+∠EDO=90°，
又∵∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠F1DK=∠DEO，又DF1=DE，
∴△F1KD≌△DOE，
∴F1K=DO=6,KD=OE=3，
故点D到点F1的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点F1坐标，
∵D(-6,0)，且F在第二象限，
∴F1(-6-3,0+6)即F1(-9,6)；
②以DE为直角边，E为直角顶点；同①理得，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得F2(-3,9)．
综上所述：点F(-9,6)或(-3,9)
【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
【例12】（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂足为B，且BC>AB．求证：BC=AD+BD．

①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD，连接AE，将线段BC与AD，BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系．

②如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线，分别与AC，CD交于F，E两点，连接AE，将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类此分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点A作AD∥BC（点D与点C在AB同侧），若∠ADB=2∠C．求证：BC=AD+BD．

【学以致用】
（3）如图5，在四边形ABCD中，AD=1003,CD=1213,sinD=35,∠BCD=∠BAD,∠ABC=3∠ADC，求四边形ABCD的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）14443
【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路，利用垂直平分线的性质、三角形外角的性质，可得AE=AD=CE，进而可证BC=CE+BE=AD+BD；选择小亮同学的解题思路，先证AE=EC，∠D=∠AED，推出AE=AD，再根据等腰三角形“三线合一”证明BE=BD，进而可证BC=CE+BE=AD+BD；
（2）过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，证明四边形AEBD是平行四边形，推出AD=BE，AE=BD，∠ADB=∠E，在BC上截取BF=BE，同（1）可证BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD；
（3）延长AB交DC的延长线于点E，作AH⊥DE于点H，作BF⊥DE于点F，先通过导角证明∠D=∠E，∠BCE=2∠E，同（1）可得EF=BC+CF．再利用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形，求出△EAD，△EBC的底和高，根据四边形ABCD的面积=S△EAD-S△EBC即可求解．
【详解】解：（1）选择小鹏同学的解题思路，证明如下：
如图，

∵ BE=BD，AB⊥CD，
∴ AB是线段DE的垂直平分线，
∴ AE=AD，
∴ ∠D=∠AED，
∵ ∠D=2∠C，
∴ ∠AED=2∠C，
又∵ ∠AED=∠C+∠CAE，
∴ ∠C=∠CAE，
∴ CE=AE，
∴ CE=AD，
∴ BC=CE+BE=AD+BD；
选择小亮同学的解题思路，证明如下：
如图，

∵ EF是线段AC的垂直平分线，
∴ AE=EC，
∴ ∠C=∠CAE，
∴ ∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
又∵ ∠D=2∠C，
∴ ∠D=∠AED，
∴ AE=AD，
∴ CE=AD．
∵ AE=AD，AB⊥CD，
∴ BE=BD，
∴ BC=CE+BE=AD+BD；
（2）证明如下：
如图，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，在BC上截取BF=BE，连接AF，

∵ AE∥DB，AD∥BC，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴ AD=BE，AE=BD，∠ADB=∠E，
∵ ∠ADB=2∠C，
∴ ∠E=2∠C，
∵ ∠ABC=90°，
∴ AB⊥FE，
又∵ BE=BF，
∴ AB是线段EF的垂直平分线，
∴ AE=AF，
∴ ∠E=∠AFE，
∵ ∠E=2∠C，
∴ ∠AFE=2∠C，
又∵ ∠AFE=∠C+∠CAF，
∴ ∠C=∠CAF，
∴ CF=AF，
∴ CF=AE，
∴ BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD；
（3）如图，延长AB交DC的延长线于点E，作AH⊥DE于点H，作BF⊥DE于点F，

∵ ∠BCD=∠BAD，∠BCD+∠BCE=180°，∠BAD+∠E+∠D=180°，
∴ ∠BCE=∠E+∠D，
∵ ∠ABC=∠E+∠BCE，
∴ ∠ABC=∠E+∠E+∠D=2∠E+∠D，
∵ ∠ABC=3∠ADC，
∴ 3∠D=2∠E+∠D，
∴ ∠D=∠E，
∴ ∠BCE=∠E+∠D=2∠E，
又∵ BF⊥DE，
同（1）可证EF=BC+CF．
∵ AD=1003，sinD=35，AH⊥DE，
∴ AH=AD⋅sinD=1003×35=20，
∴ HD=AD2-AH2=10032-202=803，
∵ ∠D=∠E，
∴ AD=AE，
又∵ AH⊥DE，
∴ HE=HD，
∴ DE=2HD=1603，
∵ CD=1213，
∴ EC=DE-CD=160-1213=13，
设EF=x，则CF=EC-EF=13-x，
∵ EF=BC+CF，
∴ BC=EF-CF=x-13-x=2x-13，
∴ BF2=BC2-CF2=2x-132-13-x2=3x2-26x，
∵ sinD=35，∠D=∠E，
∴ tanE=tanD=34，
∴ BF=EF⋅tanE=34x，
∴ 34x2=3x2-26x，
解得x1=323，x2=0（舍），
∴ BF=34×323=8，
∴四边形ABCD的面积=S△EAD-S△EBC=12DE⋅AH-12EC⋅BF=12×1603×20-12×13×8=14443．
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，注意应用前两问的结论．
【变式12-1】（2023·福建南平·统考二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角090°，和不可能为90°，
当2∠OAD+∠ADO=90°时，即2∠OAD+∠B=90°，
又∵∠B+∠C=90°，
∴∠OAC=∠C=2∠OAD，
设∠OAD=x，则∠DAC=x，∠C=2x，
∴∠ADO=3x，
即5x=90°，
∴x=18°，
即∠C=36°，
如图2，∵∠ADC为钝角，

∴∠OAD+2∠AOD=∠B+∠AOB>90°，和不可能为90°，
当2∠OAD+∠AOD=90°时，即∠OAD+∠B=90°，
∵∠OAD+∠B=90°，
∴∠OAD=∠C=∠OAC，
设∠OAD=x，则∠OAC=∠C=x，∠AOD=2x，
即4x=90°，
∴x=22.5°，
即∠C=22.5°，
综合以上可得∠C为36°或22.5°；
②如图3，作AF⊥BC，不妨设DF=1，CD=x，若△ABC的面积为△ADE面积的7.5倍，

∵ S△ABC=12BC⋅AF，S△ADE=S△ADC-S△CDE=12CD⋅(AF-DE)，
∴ xx+2⋅1x+1=17.5，
解得x1=4，x2=12，经检验都是原方程的解；
当x=4时，BC=6，AD= 6，
∴ ADBC=66，
当x=12时，BC=2.5，AD= 102，
∴ ADBC=105．
综合以上得出ADBC的值为66或105．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，新定义倍余三角形的理解与运用，熟练掌握与三角形有关的性质定理是解题的关键．
题型15 等腰三角形有关的动点问题
【例15】（2023·湖南郴州·统考二模）如图，等腰Rt△ABC中，D是AC上一动点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接ED．若BC=5，则△AED周长最小值是 ．

【答案】5+52/52+5
【分析】根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论.
【详解】∵将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，
∴AE=CD,BE=BD,∠DBE=90°,
∴AE+AD=AD+CD=AC,△DBE是等腰直角三角形，
∴当BD取最小值时，DE的值最小，则△AED周长的值最小，当BD⊥AC时, BD的值最小,
∴DE=2BD，
∵△ABC是等腰直角三角形,BC=5,
∴DE=5,
∴AC=2BC=52，
∴BD=12AC=522，
∴△AED周长最小值是AC+DE=5+52,
故答案为： 5+52.
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键.
【变式15-1】（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点（不于B、C重合），连接BE，DE，作EF⊥BE交CD或其延长线于F，下列结论：①BE=DE；②△DEF为等腰三角形；③AE=CF；④CE