福州金山中学2025届九年级下学期入学考试数学试卷(含解析)

这是一份福州金山中学2025届九年级下学期入学考试数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列符号中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．对于反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．任意实数
3．如图，是由绕点A顺时针旋转得到，下列各角中，度数一定等于的角是（ ）
A．B．C．D．
4．已知某个一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是下列四个方程中的（ ）
A．B．
C．D．
5．已知二次函数下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向上B．顶点坐标为
C．函数的最大值是D．在对称轴直线的右侧，y随x的增大而减小
6．如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（ ）
A．点MB．点NC．点ED．点F
7．如图，点D，E分别在的边，上，且，若，，则（ ）

A．4.5B．6C．9D．10
8．若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是（ ）
A．B．C．D．
10．已知线段的端点坐标分别为，，二次函数的图象与线段有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
二、填空题
11．如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为 ．
12．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是 个．
13．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x= 时才能使利润最大．
14．如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是 度．
15．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留）
16．我市于2024年11月14日举办第二届中小学师生万人硬笔书法大赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校学生硬笔字的优秀率（该校成绩优秀人数与该校参加比赛人数的比值）y与该校参加比赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则硬笔字成绩优秀人数最多的学校是 ．
三、解答题
17．计算：
18．解下列方程：
(1)
(2)
19．如图，在中，，点D在延长线上，且，过点D作射线．
(1)求作：，使得点E落在射线上，且（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
(2)连接，求．
20．如图，是的直径，直线与相切于点B，点D是上的一点，，延长交的延长线于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：．
21．已知抛物线过点，顶点为Q，抛物线
(1)求a的值和点Q的坐标．
(2)求证：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．
22．已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，即在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能（通电、断开），并且这两种状态的可能性相等．
(1)如图1，A，B之间和C，D之间电流在一定时间段内能够正常通过的概率______，______；
(2)现有3个这样的电子元件，请你用这3个电子元件设计一个电路，使得电流在一定时间段内，能够正常通过电路两端口M，N的概率为，画出你设计的电路的示意图，并说明理由．
23．已知点，点都在抛物线上，其中点A是抛物线与x轴的交点，点D是抛物线的顶点，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的度数；
(3)点P是抛物线在x轴上方的一个动点，当时，求P点坐标．
24．根据以下素材，探索完成任务：
素材1：中国食品标签营养素参考值（）是指导正常成年人保持健康体重和正常活动的标准．在国家标准中，能量和主要营养素的日推荐摄入量如表1所示：
表1：营养素参考值（）
表2： A品牌纯牛奶营养成分表
素材2：《中华人民共和国食品安全法》规定：预包装食品的包装上应当标示主要营养成分及其含量．根据《预包装食品营养标签通则》规定，营养成分表上必须标示能量和核心营养素的名称、含量及．其中，的含义为每份（如）食品中营养素的含量占该营养素每日摄入量的比例（通常精确到），计算公式为：每份食品中营养素的含量该营养素的营养素参考值．
表2是A品牌纯牛奶（净含量：）的营养成分表．
素材3：超滤牛奶是采用超滤膜过滤掉牛奶中的水和脂肪等成分，保留蛋白质、钙等成分，将牛奶纯化、浓缩，达到高蛋白条件的牛奶品类．
任务一：请写出表2中a与b的关系式： ；
任务二：营养师建议：早餐的营养至少占全天营养的．某天早晨，小颖食用了一瓶A品牌牛奶和面包．妈妈说：“孩子，再吃个鸡蛋．”小颖答：“不吃了，早上营养够了．”已知每面包中蛋白质的为，请从蛋白质的角度分析，小颖的说法是否正确．
任务三：某实验室利用超滤工艺对A品牌纯牛奶进行过滤．经过两次过滤后牛奶还剩，且第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率是第一次的倍（过滤过程不考虑蛋白质流失）．某工厂应用该实验室的超滤工艺对A品牌纯牛奶进行一次过滤后生产出高蛋白牛奶，请问这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质的应标示多少？
25．如图，在五边形中，点，，，是上的四个点，，平分．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：；
(3)若，，求面积的最大值．
营养成分
能量
蛋白质
脂肪
碳水化合物
钠
钙
项目
每
能量
蛋白质
脂肪
碳水化合物
钠
钙
《福建省福州金山中学2024-2025学年下学期九年级入学考数学试卷》参考答案
1．B
解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2．A
解：∵反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴，
故选：A．
3．A
解：∵是由绕点A顺时针旋转得到的，
∴A. 的度数一定等于；
B. 的度数一定不等于；
C. 的度数一定不等于；
D. 的度数不一定等于．
故选：A．
4．A
解：A.得，该项符合题意；
B.得，该项不符合题意；
C.得，该项不符合题意；
D.得，该项不符合题意；
故选：A．
5．C
解：∵二次函数，
∴，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，故B错误，
∴抛物线开口向下，函数的最大值是，故A错误，C正确；
∴在对称轴直线的右侧，y随x的增大而减小，故D错误；
故选：C．
6．C
解：如图所示：
∵对应点的连线交于点，
点为位似中心，
故选：C．
7．D
解：，
，
，
，
，
．
故选：D．
8．D
解：∵，
∴，
∴原方程可化为：，
、当时，，故不符合题意；
、当时，，故不符合题意；
C、当时，，故不符合题意；
D、当时，，故符合题意；
故选：D．
9．A
解：过点O作，垂足为C，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴圆规能画出的圆的半径长度为，
故选：A．
10．C
解：，可知在直线上，
由，解得：，，
抛物线与直线的交点坐标分别为，，
抛物线与线段有且仅有一个公共点，即，中有且仅有一个点在线段上，分类讨论如下：
（一）当在左边，，时
（1）若M，N重合（即为抛物线顶点），有，，此时，，点在线段上，符合要求；
（2）若M在N的左边，即，时
，B在N的右边，
如图：
则有，，解得：．
（3）若M在N的右边，即，时
此时，，，A在M的左边，B在N的右边，
如图：
即，都在线段上，不符合题意．
（二）当在的右边或A与B重合时，，，
如图：，都不在线段上，不符合题意．
的取值范围时或．
11．6
解：如图所示，连接，，
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：6．
12．9
解：∵小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，
∴摸出白球的概率为，
∴袋子里白球可能是个，
故答案为：9．
13．70
解：设获得的利润为w元，由题意可得，
w=（x﹣40）（100﹣x）=﹣（x﹣70）2+900，
∴当x=70时，w取得最大值，
故答案是：70．
14．
解：设这个正多边形的边数为，
由题意得，，
解得，
正六边形的中心角是，
故答案为：．
15．
连接OC、OD，
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴的长=（cm），
故答案为：．
16．丙
解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，则令，
过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示：
由图可知，
∴、、、在反比例函数图象上，
根据题意可知优秀人数，则：
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故答案为：丙．
17．
解：
．
18．(1)，
(2)，
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
19．(1)见解析
(2)
（1）解：作可得，
所以，就是所求作的三角形．
（2）解：由（1）知，，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：解法一：连接，如图，
∵直线与相切于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴直线是的切线；
解法二：连接，如图，
∵直线与相切于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴直线是的切线；
（2）证明：连接，如图，
∵，
∴；
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)，
(2)见解析
（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线，
∴；
（2）证明：将向左平移个单位长度得到对应点的坐标为，
当时，，
∴在抛物线上．
22．(1)，
(2)见解析
（1）解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，
即某一个电子元件正常工作和不正常工作的概率都是，
则两个元件同时正常工作的概率为，两个元件同时不正常工作的概率为，
所以A，B之间电流在一定时间段内能够正常通过的概率为，
所以C，D之间电流在一定时间段内不能正常通过的概率为，C，D之间电流在一定时间段内能够正常通过的概率为；
故答案为：，；
（2）解：设计的电路如下：
理由如下：
设三个电子元件分别为a，b，c，画树状图如下：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有8种，且这些结果出现的可能性相等，
其中电流能够正常通过电路两端口M，N的结果有5种，
．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：依题意得：
解得
抛物线的解析式为；
（2）解：延长交x轴于点E，过C作轴于F
则，
，
设直线为
则，得
直线为
；
（3）解：法一：
设，则且，连接，与交于点N，
设直线的解析式为
代入，有，解得
直线的解析式为；
设直线的解析式为，代入，
有，解得
直线的解析式为；
点N是直线与直线的交点
，解得，即
又，
，解得
，
∴点P的坐标为．
法二：连接，与交于点N，
设直线的解析式为
代入，有，解得
直线的解析式为
设
，，
，解得
设直线的解析式为，代入，
有，解得
直线的解析式为
联立，解得：或
点P的坐标为．
法三：由（2）知
取的中点N，连接
则，N为
∴
延长与抛物线的交点即为点P
设直线的解析式为，代入，
有，解得
直线的解析式为
联立，解得：或
点P的坐标为．
24．任务二：（或或等）；任务二：小颖的说法不正确，理由见解析；任务三：这款高蛋白牛奶的应标示
解：任务一：表2中a与b的关系式为：，
故答案为：；
任务二：小颖食物摄入的蛋白质为，
而早晨需摄入蛋白质为，
∵，
∴小颖的说法不正确；
任务三：设第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为，那么第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率为，
因为牛奶总量从经过两次过滤后变成，相当于牛奶总量变为原来的，但蛋白质的量不变，
可以把最初牛奶中蛋白质的含量看作单位，第一次过滤后蛋白质含量为，
第二次过滤后蛋白质含量为，
而经过两次过滤后牛奶总量变为原来的，即蛋白质的含量也变为了原来的倍，因此可以列出一元二次方程：，
解得：（舍去）；
故第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为；
原来品牌纯牛奶每中蛋白质的为，经过一次过滤后，蛋白质占比上升，则高蛋白牛奶中蛋白质的为：，
即这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质的应标示为．
25．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)面积的最大值为．
（1）证明： ∵，平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：延长至，使，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
由（）知，，，
∴,
即，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设的外心为，连接，，
∴，
∵，
∴，
∴点为定点，
∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示，

在等腰直角三角形中，于点，则有，
当点，，三点共线时，的面积最大，
∴，
∴，
∴．