北京市大兴区2023_2024学年高二数学上学期期中检测试题含解析

这是一份北京市大兴区2023_2024学年高二数学上学期期中检测试题含解析，共22页。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 斜率为的直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由斜率与倾斜角的关系可得.
【详解】设直线的倾斜角为，
则，且，
则，即直线的倾斜角为.
故选：D.
2. 已知两个向量，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用向量的共线定理求解.
【详解】解：因为，
所以，，
故，即，
解得，.
故选：A.
3. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）
A. 至多一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都没中靶
【答案】D
【解析】
【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.
【详解】对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，
“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；
对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；
对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”包含关系，C选项不满足条件；
对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.
故选：D.
4. 点到直线的距离等于（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线的距离等于.
故选：C
5. 圆关于点中心对称的圆的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】两圆关于中心对称，根据圆心关于对称与半径相等求解即可.
【详解】圆，圆心，半径为，
设关于对称的对称点为，
则，解得，则，
故所求圆的方程为.
故选：B.
6. “”是“直线和直线垂直”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线互相垂直求出的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论.
【详解】当直线和直线垂直时，
有，即，解得或，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件，
故选：A.
7. 已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心和半径，从而得出圆的方程.
【详解】解：因为，的中点为，
，即，
所以以线段为直径的圆的方程为，
化简得.
故选：D.
8. 在空间直角坐标系中，已知，若点在平面内，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量共面定理求解.
【详解】已知，
则，
若点在平面内，则，
即，
则，解得，
故选：A.
9. 如图，已知正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（）
A. 存在点，使
B. 三棱锥的体积随动点变化而变化
C. 直线与所成的角不可能等于
D. 存在点，使平面
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量来表达出，，，从而判断AC选项；求出平面的法向量，判断与的关系，判断D选项；B选项可以判断出∥平面，从而得到到平面的距离不变，所以为定值，不随E的变动而变动，故三棱锥的体积不随动点变化而变化，B选项错误.
【详解】以点D为原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则，，，，，，因为为线段上运动，设（），则，，若，则（），则有，显然无解，故A错误；
因为∥AC，平面，平面，故∥平面，因为为线段上运动，故到平面的距离不变，所以为定值，不随E的变动而变动，故三棱锥的体积不随动点变化而变化，B错误；
，设直线与所成角为，则，令，解得：，故当E为中点时，此时直线与所成的角为60°，故C错误；
设平面的法向量为，则，令得：，故，因为当时，即，故平面，故D正确.
故选：D
10. 如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴对称点，则就是所求的路程长.
【详解】易知直线的方程为，
设点关于直线的对称点，
则且，解得，即，
又点关于轴的对称点，
由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线，
所以光线所经过的路程长为
.
故选：B.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 直线的一个方向向量为______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】首先得到其法向量为，则可直接写出其一个方向向量.
【详解】直线的法向量为，
则其一个方向向量为.
故答案为：（答案不唯一）.
12. 在空间直角坐标系中，已知，，，则的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量线性坐标运算求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
又，，所以.
故答案为：
13. 已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为_________．
【答案】或除去点
【解析】
【分析】根据题意，设另一个端点的坐标为，由，列出方程，化简即可得到结果.
【详解】设底边的另一个端点的坐标为，则，
化简可得，
因为三点构成三角形，所以三点不共线且不重合，
当三点共线时，，
由直线的点斜式可得，化简可得，
所以点的轨迹方程为或除去点.
故答案为：或除去点.
14. 甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是_________；第3次由甲射击的概率是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况，从而得出结果；第二空：第3次由甲射击有两种情况，分类讨论得出结果.
【详解】第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中，第2次甲未击中，故概率是；
第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中，第2次甲还击中；第1次甲未击中，第2次乙也未击中，
故概率是.
故答案为：；.
15. 在平面直角坐标系中，定义、两点间的直角距离为，如图，是圆当时的一段弧，是与轴的交点，将依次以原点为中心逆时针旋转五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则_______．若点为曲线上任一点，则的最大值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出、的坐标，利用题中定义可求得的值；设点为第一象限内的点，设出点的坐标，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得的最大值.
【详解】由图可知，点位于第一象限，在圆的方程中，令，可得，则点.
如图可得，点，所以；
根据对称性，只需讨论点在第一象限的情况：
当点在上时，设，则，则，
所以，
，则，当时，；
当点不在上时，所在圆的圆心为，
易知直线轴，设，，同理可得，则，，
，
，则，当时，.
因为，所以，的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查距离的新定义，解题的关键在于对点的位置进行分类讨论，利用三角形式设出点的坐标，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性来求解.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知中，点，点，点．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求角平分线所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直线的垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，进而得出答案；
（2）由得，所以角平分线的倾斜角为，求出的斜率，进而可得出答案．
【小问1详解】
因为点，点，所以边所在直线斜率，
所以边上的高所在直线的斜率，且过点．
所以边上的高所在直线的方程为．
小问2详解】
由得，所以角平分线的倾斜角为，
所以角平分线所在直线的斜率．
又因为角平分线过点，
所以角平分线所在直线的方程为．
17. 有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示试的样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字．设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．
（1）写出这个试验样本空间；
（2）分别求出的值；
（3）判断事件和事件是否相互独立，并说明理由．
【答案】17. 答案见解析
18. ，，
19. 事件和事件相互独立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）逐一列举出样本空间；
（2）根据古典概型的公式求解结果；
（3）根据独立性公式判断.
小问1详解】
依题意试验的样本空间为：；
【小问2详解】
因为，
所以
因为，
所以；
【小问3详解】
因为，
所以事件和事件相互独立．
18. 在长方体中，，是的中点．以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出在平面上的投影向量的坐标；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意平面，所以在平面上的投影向量为；
（2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解；
（3）利用直线与平面所成角的向量公式求解.
【小问1详解】
依题意：，，，所以，
因为在长方体中，平面，
所以在平面上的投影向量为，坐标为．
【小问2详解】
由题意知，，，，
所以，．
设平面的法向量为，则，
所以，所以.
令，则，所以是平面的一个法向量．
因为，
所以到平面的距离为．
【小问3详解】
设直线与平面所成角为，
则．
即直线与平面所成角的正弦值是．
19. 已知圆经过点和点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为一般式，然后根据题意进行求解；
（2）设出点坐标，根据题意求解出点坐标，代入圆后解得点的轨迹方程.
【小问1详解】
解：设圆的方程为，
故圆心为，
由题意得，解得，
所以圆的方程为；
小问2详解】
设点的坐标是，点的坐标是．
因为点的坐标是，且是线段的中点，
所以．
故．①
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，
即．②
把①代入②，得，
整理，得．
20. 如图，在三棱柱中，平面，，，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）建立空间坐标系，证即可；
（2）求出平面的法向量，证即可；
（3）设点满足，，求出平面的法向量，平面的法向量，利用向量夹角公式求解.
【小问1详解】
因为在三棱柱中，平面，
所以平面．又，
所以．
故两两垂直．
以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以．
因为，
所以，即．
【小问2详解】
设平面的法向量为，则
因为，
所以取则．
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．又因为平面，
所以平面．
【小问3详解】
设点满足，，
则．
设平面的一个法向量为，则
因为
所以取,则．
所以是平面的一个法向量．
由（1）得，是平面的一个法向量，
则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角．
若平面与平面的夹角为，则
，
解得.
所以，在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为，
此时．
21. 已知直线的方程分别是，点的坐标为．过点的直线的斜率为，且与分别交于点的纵坐标均为正数
（1）若，且为线段中点，求实数的值及的面积；
（2）是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由．
【答案】（1），面积为
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解；
（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得，得到，进而得到结论.
【小问1详解】
解：因为直线l过点，且斜率为，所以直线的方程为，
因为直线与分别交于点，所以，
由，解得，即，
由，解得，即，
又因为的纵坐标均为正数，所以，即，
因为，所以
若时，，，
又因为点为线段中点，所以解得，
所以，，所以，的面积．
【小问2详解】
解：假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，
由（1）知：，且
因此，，
所以
因为，所以当时，为定值，
所以存在实数，使得的值与无关．