北京市2023_2024学年高一数学下学期阶段性诊断3月试卷含解析

这是一份北京市2023_2024学年高一数学下学期阶段性诊断3月试卷含解析，共10页。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（）
A. B. C. 1D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算，可得复数的虚部.
【详解】因为，所以复数的虚部为：.
故选：D
2. 已知向量，.若，则向量（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的坐标运算直接求解可得结果.
【详解】因为，
故选：B
3. 在中，若，则（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，再由正弦定理即可得到结果.
【详解】因为，所以，
由正弦定理可得.
故选:A
4. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（）
A. 8B. 12C. 22D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】以为基底，表示出向量，，再根据向量数量积运算可得结果.
【详解】易知：，，且，.
由.
故选：C
5. 在中，若，则的形状一定是（）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：B
6. 已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的夹角得出差向量的模长判断充分条件,举反例判断是不是必要条件即得
【详解】由向量，是两个单位向量，且与的夹角为锐角，可设.
则，
因为，所以，所以，
故“与的夹角为锐角”是“”的充分条件；
若，则，但此时，不锐角，
所以“与的夹角为锐角”是“”的不必要条件.
总之，“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7. 已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的数量积运算求向量的模.
【详解】因为（当且仅当时取“”）.
故选：D
8. 在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得.
【详解】如下图所示：
在直线上取一点，使得，
所以，当时，取得最小值为，即；
又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形，
建立以为坐标原点平面直角坐标系，如下图所示：
又可得为的中点，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
则，
令，由可得，
所以，，
由二次函数上单调递增可得，.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果.
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知复数满足，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的模的性质进行计算.
【详解】由.
故答案为：
10. 已知向量，，在坐标纸中的位置如图所示，若每个小方格的边长为1，则____________；____________.
【答案】 ①. 0 ②. 3
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，再用坐标运算求值.
【详解】如图：建立如图坐标系.
则，，.
则.
故答案为：；
11. 已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都为，灯塔A在观测站C的北偏东方向上，灯塔B在观测站C的南偏东方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为_________．
【答案】
【解析】
【分析】易得角，再利用余弦定理即可得解.
【详解】如图，由题意得，
则，
所以，
即灯塔A与灯塔B的距离为.
故答案为：.
12. 在中，，，，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：
考点：正余弦定理解三角形
13. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝，,则该三角形的面积等于__________．
【答案】或
【解析】
【分析】利用余弦定理求出，再根据三角形面积公式可求出结果.
【详解】由余弦定理得，即，
即，解得或，
当时，，
当时，.
所以该三角形的面积等于或.
故答案为：或
14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积."若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积.给出下列四个结论:①周长为；②三个内角A，C，B满足关系；③外接圆半径为；④中线CD的长为，其中，所有正确结论的序号是___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】结合正弦定理，求出三边长之比，在根据已知三角形的面积，可求出三边长，再用正弦定理、余弦定理，向量的模的运算判断各选项.
【详解】因为，根据正弦定理可得：，
可设：，，.
代入得.
所以周长：，故①正确；
有余弦定理：，所以，故②正确；
由（为三角形外接圆半径）得：，故③错误；
因为且，，，
所以，故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛：用向量的方法求三角形中线长是一个常用的简单方法.
三、解答题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. 如图，在平面四边形中，，，，，.
（1）求的值；
（2）求，的值.
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】
（1）由同角三角函数基本关系得，利用两角和的正弦及内角和定理展开求解即可
（2）利用正弦定理得，再利用余弦定理求解
【详解】（1）∵，，∴
在△中，，
∴
（2）在△中，由正弦定理得，即
解得，∵，，∴，
在△中，，根据余弦定理，
解得
【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16. 已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：
①②③④
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求的面积.
【答案】（1）同时满足①，②，③，理由见解析.（2）
【解析】
【分析】（1）判断三角形的满足条件，推出结果即可.
（2）利用余弦定理求出，利用面积公式求解的面积.
【详解】（1）同时满足①，②，③.
理由如下：
若同时满足①，④，则在锐角中，
，所以
又因为，所以
所以，这与是锐角三角形矛盾，
所以不能同时满足①，④，
所以同时满足②，③.
因为所以若满足④.
则，则 ，这与是锐角三角形矛盾.
故不满足④.
故满足①，②，③.
（2）因为，
所以.
解得或.
当时，
所以为钝角，与题意不符合，所以.
所以的面积.
【点睛】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.