2021北京初三一模数学汇编：新定义练习（含答案）

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（2）已知点，的半径为2．如果直线上存在点可以成为点和的“中立点”，求点的坐标；
（3）以点为圆心，半径为2作圆．点为直线上的一点，如果存在点，使得轴上的一点可以成为点与的“中立点”．直接写出点的横坐标的取值范围．
2．（2021•通州区一模）在平面直角坐标系中，任意两点，，，，定义线段的“直角长度”为．
（1）已知点．
① ；
②已知点，若，求的值；
（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点．
①点，，如果为“和距三角形”，求的取值范围；
②在平面直角坐标系中，点为直线上一点，点是坐标系中的一点，且满足，当点在直线上运动时，点均满足使为“和距三角形”，请你直接写出点的横坐标的取值范围．
3．（2021•西城区一模）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点称为线段的“等幂点”．
（1）已知．
①在点，，，中，是线段的“等幂点”的是 ；
②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点的坐标；
（2）已知点的坐标为，点在直线上，记图形为以点为圆心，2为半径的位于轴上方的部分．若图形上存在点，使得线段的“等幂三角形” 为锐角三角形，直接写出点的横坐标的取值范围．
4．（2021•顺义区一模）对于平面直角坐标系中的和图形，给出如下定义：如果平移个单位后，图形上的所有点在内或上，则称的最小值为对图形的“覆盖近距”．
（1）当的半径为1时，
①若点，则对点的“覆盖近距”为 ；
②若对点的“覆盖近距”为1，写出一个满足条件的点的坐标 ；
③若直线上存在点，使对点的“覆盖近距”为1，求的取值范围；
（2）当的半径为2时，，，且．记对以为对角线的正方形的“覆盖近距”为，直接写出的取值范围．
5．（2021•朝阳区一模）对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”．例如，图1中点为点关于点的“垂直图形”
（1）点关于原点的“垂直图形”为点．
①若点的坐标为，则点的坐标为 ；
②若点的坐标为，则点的坐标为 ；
（2），，．线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为．
①求点的坐标（用含的式子表示）；
②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．
6．（2021•丰台区一模）如图，直线和直线外一点，过点作于点，任取直线上点，点关于直线的对称点为点，称点为点关于直线的垂对点．
在平面直角坐标系中，
（1）已知点，则点，，中是点关于轴的垂对点的是 ；
（2）已知点，且，直线上存在点关于轴的垂对点，求的取值范围；
（3）已知点，若直线上存在两个点关于轴的垂对点，直接写出的取值范围．
7．（2021•平谷区一模）已知点、分别为图形和图形上的任意点，若存在点、使得，我们就称图形、为友好图形，、为关于图形、的一对友好点．
（1）已知点，，中， 与点为一对友好点；
（2）已知半径，若直线与有且只有一对友好点，求的值；
（3）已知点，半径，若直线与是友好图形，求的取值范围．
8．（2021•房山区一模）对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有交点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差称为点视角下图形的“宽度”
（1）如图1．点，．
①在点视角下，则线段的“宽度”为 ；
②若半径为1.5，在点视角下，的“宽度”为 ．
（2）如图2，半径为2．点为直线上一点．求点视角下 “宽度”的取值范围；
（3）已知点，，直线与轴，轴分别交于点，．若随着点位置的变化，使得在所有点的视角下，线段的“宽度”均满足，直接写出的取值范围．
9．（2021•大兴区一模）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，，，若为常数且，则称点为点的倍直角点．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点，
①若点是点的倍直角点，则的值是 ；
②在点，，，中是点的2倍直角点的是 ；
③若直线上存在点的2倍直角点，求的取值范围；
（2）的圆心的坐标为，半径为，若上存在点的2倍直角点，直接写出的取值范围．
10．（2021•石景山区一模）在平面直角坐标系中，对于点和线段，我们定义点关于线段的线段比．
（1）已知点，．
①点关于线段的线段比 ；
②点关于线段的线段比，求的值．
（2）已知点，点，直线与坐标轴分别交于，两点，若线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，直接写出的取值范围．
11．（2021•东城区一模）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，，，，，．，为该正方形外两点，．
给出如下定义：记线段的中点为，平移线段得到线段，使点，分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合，，分别为点，，的对应点），线段长度的最小值称为线段到正方形的“平移距离”．
（1）如图1，平移线段，得到正方形内两条长度为1的线段，，则这两条线段的位置关系是 ；若，分别为，的中点，在点，中，连接点与点 的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”．
（2）如图2，已知点，，若，都在直线上，记线段到正方形的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若线段的中点的坐标为，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
12．（2021•海淀区一模）在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，且，则称线段是点的“相关线段”．例如，图1中线段是点的“相关线段”．
（1）已知点的坐标是．
①在图2中画出点的“相关线段” ，并直接写出点和点的坐标；
②若点的“相关线段”经过点，，求的值；
（2）若存在，使得点的“相关线段”和“相关线段”都经过点，记，直接写出的取值范围．
13．（2021•门头沟区一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，点是平面内一点，过点的直线交于点和点，，我们把点称为点关于的“斜射点”．
（1）如图，在点，，，中，存在关于的“斜射点”的是 ．
（2）已知若，点关于的斜射点”为点，则点的坐标可以是 ．（写出两个即可）
（3）若点直线上，点关于的“斜射点”为，画出示意图，直接写出的取值范围．
2021北京初三一模数学汇编：新定义
参考答案
1．【分析】（1）根据“中立点”的定义，画出图形即可判断；
（2）如图2中，点和的“中立点”在以为圆心，1为半径的圆上运动，因为点在直线上，设，则有，求出的值即可解决问题；
（3）如图3中，由题意，当点确定时，点与的“中立点”是以的中点为圆心1为半径的，当与轴相切时，点的横坐标分别为或，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
观察图象可知，满足条件的点在的平行于的中位线上，
故成为点和线段的“中立点”的是、．
故答案为、．
（2）如图2中，点和的“中立点”在以为圆心，1为半径的圆上运动，
因为点在直线上，设，
则有，
解得或1，
点坐标为或．
（3）如图3中，由题意，当点确定时，点与的“中立点”是以的中点为圆心1为半径的，
当与轴相切时，点的横坐标分别为或，
所以满足条件的点的横坐标的取值范围为．
2．【分析】（1）根据题干中线段的”直角长度“计算公式代入求值即可，②中去绝对值注意讨论正负即可．
（2）结合图象和坐标系综合考虑即可找出答案．
【解答】解：（1）①，，
，
②，，
，
，
或，
（2）如图所示：
，，
，，，
当时，不存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，发现不存在“和距三角形”，
当时，恒成立，发现存在“和距三角形”，但时，三点共线，不能构成三角形，
锐角三角形不可能成为“和距三角形“，
故：且，
（3）依题意，点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，且锐角三角形不可能成为“和距三角形“，如图所示：
因此：或．
3．【分析】（1）①分别计算出对应三角形的面积，和进行比较，若相等即为线段的等幂点；
②若既是线段的“等幂三角形”，又是等腰三角形，需要分类讨论，当若，，时，分别求点的坐标；
（2）先找到使得线段的“等幂三角形” 为锐角三角形的点，再根据题目中的条件求出点的横坐标的取值范围即可．
【解答】解：（1）①，则，，
，，，，
，，
，，
是线段的“等幂点”的是，；
②若，为的等幂三角形，则，
或；
若，为的等幂三角形，则，即，显然不成立；
若，为的等幂三角形，则，即，显然不成立；
或；
（2）设，
，
，
，
直线与轴交于但，与轴交于点，，
设与轴交于点，而，
点到的距离为，
存在点使的等幂三角形，
为锐角三角形，
且，
则，
即，
，
又当时，不存在点使的等幂，
，．
4．【分析】（1）①如图1中，根据对图形的“覆盖近距”的定义解决问题即可．
②根据对图形的“覆盖近距”的定义解决问题即可．
③分或，两种情形分别求解即可．
（2）求出时，的最大值，以及时，的最小值，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1，
当向右移动2个或4个时，点都在圆上，
，
的最小值是2，
对点的“覆盖近距”为2；
故答案为：2；
②由题意，满足条件的点（答案不唯一）．
③如图2中，当时，设直线交轴于，交轴于，过点作于．
由题意，，，，
，
，
当时，对点的“覆盖近距”为1，
，
，，
，
，
，
，
，
当时，同法可得，
观察图象可知，满足条件的的值为．
（2）如图3中，当时，，
，此时的值最大，最大值，
当时，，，，设经过点，，交轴于．此时的值最小，
，
，．
最小值，
综上所述，．
5．【分析】（1）①②根据“垂直图形”的定义解决问题即可．
（2）①构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解即可．
②如图3中，观察图像可知，满足条件的点在第一象限的上．求出点的坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，观察图像可知．
故答案为：．
②如图，，
故答案为：．
（2）①如图2中，过点作轴于，过点作轴于．
，
，，
，
，
，
，，
，
．
②如图3中，观察图像可知，满足条件的点在第一象限的上．
，，
，
，
，，
．
6．【分析】（1）依据垂对点的定义判断即可；
（2）依据垂对点的定义确定所有垂对点组成的图形，利用相切的性质和勾股定理即可解答；
（3）对的取值分三种情况，分别是：、、，仿照（2）的方法分类讨论即可．
【解答】解：（1）由题意，点关于轴的垂对点组成的图形是以点为圆心，半径为2的圆（该圆与轴的交点除外）．
点，在这个圆上，
点关于轴的垂对点的是：点，点．
故答案为：点和点．
（2）由题意可知，点关于轴的垂对点形成的图形为以点为圆心，以线段的长为半径的圆（射线与该圆的交点除外）．
此时与轴相切．
当直线与相切时，记切点为点，直线与轴，轴的交点分别为点和点，连接，，如答图1，
对于，令，则；令，则．
点，点．
，．
．
，是的切线，
，．
．
，
，．
在中，
，
．
解得：．
与直线有公共点，
．
（3）点关于轴的垂对点是以点为圆心，以2为半径的圆上的点，不包括点．
①当时，与直线恰有两个交点，即存在两个点关于轴的垂对点；
②当时，如答图2所示．
与相切于左上方点，为临界状态．
连接点与切点，
作轴于点，作轴于点，作轴于点交于点．
设直线交轴于点、交轴于点．
则，
故．
轴，
于点．
，．
与相切于点，
，
．
故为等腰直角三角形．
，
即，
．
，
．
则点坐标为，，
点在直线上，代入点坐标得：
，
解得：．
特别地，当时，直线与圆交于点、，此时只有一个垂对点，
故．
③当时，如答图3所示，
直线与相切与右下方点，为临界状态．
设，同情形②类似可得点坐标为，，
代入中，得，
解得．
综上所述，的取值范围为：且．
7．【分析】（1）求出，，，可得结论．
（2）如图1中，以为圆心，2为半径作．当直线与大圆相切时，满足条件．
（3）当时，以为圆心，2为半径作，当直线与大圆相切时，设切点为，交轴于，连接交轴于．构建方程，可得结论，时，同法可得．
【解答】解：（1），，，
，，，
点与是一对友好点．
故答案为：．
（2）如图1中，以为圆心，2为半径作．
当直线与大圆相切时，满足条件，此时直线经过，或，，
或．
（3）当时，以为圆心，2为半径作，当直线与大圆相切时，设切点为，交轴于，连接交轴于．
则，
，
，
，
当时
此时有：，
，
观察图像可知，满足条件的的值为：．
8．【分析】（1）①②点视角下图形的“宽度”的定义解决问题即可．
（2）当点在外时，点视角下 “宽度” ，可得的最大值为4，当直线时，的最小值，由此即可解决问题．
（3）如图3中，观察图象可知当与直线的交点在线段（不包括点，上或与直线没有交点，满足条件．求出几种特殊位置点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）①如图1中，
，，
，，，
，
点视角下，则线段的“宽度”为，
故答案为：2．
②设直线交于，．
则在点视角下，的“宽度” ，
故答案为：3．
（2）如图2中，
当点在外时，点视角下 “宽度” ，
的最大值为4，
当直线时，的最小值，
．
（3）如图3中，观察图象可知当与直线的交点在线段（不包括点，上或与直线没有交点，满足条件．
与轴，轴分别交于点，，
，，，
当在直线的左侧与直线相切时，，，
当经过点时，，，
观察图象可知满足条件的的值为：或．
9．【分析】（1）①②根据新定义即可得出结论；
③先确定出满足条件的点的图形，进而找出分界点，即可得出结论；
（2）同（1）③的方法确定出满足条件的点的图形，进而找出分界点，即可得出结论．
【解答】解：（1）①，，
，
故答案为5；
②，，
，
，，，
，，
，
，，
，
是点的2倍直角点的是点和，
故答案为：点和；
③设平面内的点是点的2倍直角点，
①，
当，时，①化为；
当，时，①化为，
当，时，①化为，
当，时，①化为，
满足是点的2倍直角点的点，如图1所示的正方形的边上的点，点，，
直线上存在点的2倍直角点，
当直线过点时，，
，
当直线过点时，，
，
的取值范围为；
（2）设上存在点的2倍直角点的点，
则，
同（1）③的方法得，满足条件的点为如图2所示的正方形的边上的点，点，，
过点作于，此时过点，则，
当过点时，满足条件，，
即满足条件的的范围为．
10．【分析】（1）①求出、、，根据线段比定义即可得到答案；
②方法同①，分和讨论；
（2）分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．
【解答】解：（1）①，，，
，，，
根据线段比定义点关于线段的线段比；
故答案为：；
②，，，
，，，
，，
当时，，即，
由关于线段的线段比可得：
，解得或（舍去），
，
当时，，即，
由关于线段的线段比可得：
，
解得（舍去）或，
，
综上所述，点关于线段的线段比，或；
（2）直线与坐标轴分别交于，两点，
，，
点，点，
，在右边2个单位，
当线段上的点到距离较小时，分两种情况：
①当、在点左侧时，如图：
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，
，即，
解得：，
②当在右侧，在左侧时，过作于，如图：
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，
，即，
，
而，，
，
时等腰直角三角形，
，
，即，
解得，
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，线段上的点到距离较小时，，
当线段上的点到距离较小时，也分两种情况：
①当在右侧，在左侧时，如图：
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，
，即，
解得，
②当、在点右侧时，过作于，如图：
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，
，即，
，
而，，
，
时等腰直角三角形，
，
，即，
解得：，
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，线段上的点到距离较小时，，
综上所述，线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，则或．
11．【分析】（1）线段到正方形的“平移距离”的定义解决问题即可．
（2）如图2中，当，分别在，上时，存在最小值，最小值等于点到的距离．
（3）当与重合时，的中点为，此时线段到正方形的“平移距离”为的值最小，当与重合时，的中点为，此时线段到正方形的“平移距离”为的值最大．
【解答】解：（1）由题意，，连接点与点的线段的长度是等于线段到正方形的“平移距离”．
故答案为：，．
（2）如图2中，当，分别在，上时，存在最小值，最小值等于点到的距离．
，，，，，．
，
，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，在上取一点，使得，则，
，
，
，
设，则，
，
，
，
点到直线的距离．
（3）如图3中，
当与重合时，的中点为，此时线段到正方形的“平移距离”为的值最小，最小值，
当与重合时，的中点为，此时线段到正方形的“平移距离”为的值最大，最大值，
综上所述，．
12．【分析】（1）①如图1中，根据要求作出图形即可，过点作于．解直角三角形求出，，可得结论．
②分两种情形分别画出图形求解即可．
（2）如图3中，过点作的平行线，以为圆心，长为半径作，当与直线有两个交点且线段，线段经过时，满足条件．求出两种特殊位置的值，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，图形如图所示，过点作于．
，
，
在中，，
，，
，．
②如图中，当点与，重合时，．
如图中，当点与，重合时，，
综上所述，满足条件的的值为或．
（2）如图3中，过点作的平行线，以为圆心，长为半径作，当与直线有两个交点且线段，线段经过时，满足条件．
观察图象可知，满足条件的的值为，
．
13．【分析】（1）由图象直接判断点存在关于的“斜射点”；对于点，过点作弦轴，用勾股定理求出弦的长为1，可得点存在关于的“斜射点”；过点作弦轴，说明此时弦的值最小，再用勾股定理求的长，可得的值大于1，因此点不存在关于的“斜射点”；
（2）设交轴于点，连接交于点，先证明点是点关于的“斜射点”，再根据相似三角的性质求出点的坐标，点关于轴的对称点也符合题意；
（3）先证明当直线与轴成角时，，求出此时的值，这个值就是时的最小值或时的最大值，由此求出的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，由图象可知，对于外的任意一点，都存在点关于的“斜射点”，
点在外，
点存在关于的“斜射点”；
过点作弦与轴垂直，连接，
则，
，
点存在关于的“斜射点”；
过点作弦与轴垂直，连接，
设点到弦的距离为，
则，
当轴时，的值最大，此时的值最小，的值也最小；
，
，
，
点不存在关于的“斜射点”．
故答案为：，．
（2）如图2，设交轴于点，
连接交于点，作于点、轴于点，
则，
，，，
，
，
，
点是点关于的“斜射点”；
，
；
，
，
，
，．
同理，点关于轴的对称点也符合题意，其坐标为，
故答案为：，，，．
（3）如图3，当时，直线交轴于点，
当时，连接，
，
是等边三角形，
，
此时，点是点关于的“斜射点”， ，
当时，，
；
如图4，当时，同理可得，当时，点是点关于的“斜射点”．
综上所述，的取值范围是：或．
明：