浙江省浙南名校2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份浙江省浙南名校2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交
C．相切D．无法确定
3．已知的面积为，若，，则“为锐角”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到的函数的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知两个非零向量，同时满足，则向量与的夹角的大小为（ ）
A．B．C．D．
6．现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共（ ）有种？
A．20B．38C．70D．74
7．在的展开式中，含项的系数是 ( )
A．165B．164C．120D．119
8．已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（ ）
A．B．，其中
C．D．
10．已知在等差数列的前项和为，其中，，在等比数列中，，，则（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列的前项和为D．数列的前项和为
11．已知函数，，下列结论正确的是（ ）
A．曲线在点（1，2）处的切线方程为
B．函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为(－3,0)
C．若曲线与有三个交点，，，则，，必成等差数列
D．存在曲线与有三个交点，，，使得，，成等比数列
三、填空题
12．已知复数，则的虚部为 .
13．老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为，则 .
14．已知椭圆，抛物线，点是与在第一象限的交点，是的左顶点，直线交于点，若点恰为线段的中点，则的值为 .
四、解答题
15．为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下：
（1）判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关？
（2）对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用?
附：，
16．已知双曲线的一条渐近线方程为，过点的直线与双曲线的右支于、两点，点分别为双曲线的左顶点和右焦点，且到渐近线的距离为1，为直角三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）求的面积.
17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，为的中点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
18．函数，其中，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（3）若，，，求证：.
19．已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为，传球给其他队员的概率均为；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是.开始进攻时，球在乙手中.
（1）求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；
（2）经过次传球后，球回到乙手中的概率；
（3）记经过次传球后，球到甲的手中的概率为，求证：满足的的个数不少于满足的的个数.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为,又因为
所以
故选D
2．【答案】B
【详解】由，即圆心，半径，
所以到的距离，
所以直线与圆相交.
故选B
3．【答案】A
【详解】当为锐角时，，
而当为钝角时，亦有，
所以“为锐角”是“” 充分不必要条件，A正确.
故选A
4．【答案】A
【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）,
可得到函数的图象，
再将所得函数的图象向左平移个单位，
可得到函数的图象.
故选A.
5．【答案】C
【详解】根据可得，
可得，
因此，
所以，
又，所以.
即向量与的夹角的大小为.
故选C
6．【答案】B
【详解】由甲、乙、丙、丁四人是好友关系，至少有一名好友相伴，可分为两类，
（1）把4名好友分在同一个社区，另4人在一个社区有2种不同的方法，
（2）有两名好友在1个社区，另2名好名在另一个社区有种，
综上所述：共有种不同的分配方法.
故选B.
7．【答案】B
【详解】依题意，项的系数为.故选B.
8．【答案】B
【详解】过作平面于，连接，
因为，可得，
所以为的外心，所以三棱锥的外心在上，
因为，由正弦定理可得，
所以，
设外接球的半径为，则可得，所以，
所以该三棱锥的外接球表面积为.
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为，
摸次球，则取得红球个数，
所以，故选项A正确.
选项B，方案一中，，.
方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，，，，
则，.
当时，，，
所以，故选项B错误.
选项C，，，所以，故选项C正确.
选项D，，
.
可得，即，故选项D正确.
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】设等差数列的公差为，已知，，
令，则．
所以，即，解得．
所以．
，故A选项正确．
已知，，
设等比数列的公比为，则，所以，
则，
所以（常数），
所以数列是等差数列，故B选项正确．
已知．
设数列的前项和为，则
，故C选项错误．
已知．设数列的前项和为，
则
所以
所以，故D选项正确．
故选ABD．
11．【答案】AC
【详解】因为函数，所以.
因为在点(1,2)处的切线方程为，
所以在点(1,2)处的切线方程为，即为，故A为真；
又因为函数在开区间上存在最小值，则在区间上不单调，且存在极小值点，
由的图象可知的极小值点为，所以，则，故B为假；
由于，则的解为，且，则关于中心对称，
又因为，所以恒过点，即为的对称中心，
所以曲线与有三个交点时，又因为，根据对称可得，为中点，所以恒成立，故C为真；
因为恒成立，要使得，，成等比数列，且因为，
当且仅当时取等，所以不存在这样的三点，故D为假.
故选AC
12．【答案】/
【详解】，故其虚部为.
13．【答案】0
【详解】设该同学抽到能背诵的得分，的可能取值为，
所以，
，，
则的分布列为：
所以.
14．【答案】
【详解】易知，设，如下图所示：
因为点为线段的中点，可得，
且在上，即，解得，
又在上，则，解得，
因为，
所以.
15．【答案】（1）有的把握认为浓度与汽车流量有关-
（2）是抑制作用
【详解】（1）设：浓度与汽车流量无关，由
，
所以有的把握认为不成立，即浓度与汽车流量有关.
（2）由题知，
则，所以事件对事件是抑制作用.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题知，，
同时到渐近线的距离，
所以，所以双曲线的方程为；
（2）因为双曲线的渐近线为，过的双曲线与右支交于两点，
所以，因此不妨设，
当直线的斜率不存在时，由对称性可知显然不为直角三角形，
所以的斜率存在，设直线.，，
在以为直径的圆上，如下图所示：
因为，所以的中点为，
所以，所以以为直径的圆的方程为，
故，解得或，
不妨取，
此时，所以，
再由，，所以，，
，到直线的距离，
所以.
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）且是中点，直角中，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
又底面，平面底面.
（2）取中点，连接，，
且是中点，且
由（1）得平面底面，又平面底面，
底面，
分别以，为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系；
，，，，，
，，，，
若平面的一个法向量，
，令，则，
所以平面的一个法向量为，
若平面的一个法向量，
，令，则，
所以平面的一个法向量，
，
所以锐二面角的余弦值为.
18．【答案】（1）答案见解析
（2）或
（3）证明见解析
【详解】（1），
当时，由，解得或，所以的单调递增区间为和，
当时，由，解得，所以的单调递增区间为，
当时，由，解得或，所以的单调递增区间为和，
综上所述：当时，的单调递增区间为和，
当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为和，
（2）由（1）知函数的极大值为，极小值为，
当，，，，
则或者，
，即，
，解得
综上，的取值范围或.
（3）由题知，，，
由，得
，，
要证：，只要证：，
令，
，
设，，由得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上递增，
并且，，
所以，，，
即，，，
所以，单调递减，，单调递增，
是的极小值点，也是最小值点，
，故，，
故，结论得证.
19．【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）记事件“经过2次传球并由甲执行投篮”，“球有经过丙之手”，则
.
（2）记事件“传球后球回到乙手中”，，则，
，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，即.
（3）事件“传球后球到甲手中”，事件“传球后球不在甲和乙手中”
则，
，
，两边同时乘以，
，
设，则有，而，
叠加得，
，
显然，当为奇数时，，当为偶数时，，
因此的的个数不少于满足的的个数.
解法二：，
假设结论不成立，则至少有两个连续的自然数，，使得且.
若为偶数，且则有：
，
若为奇数，且，则有
，
，.如此连续，
故不存在连续的两个自然数，，使得且.
浓度（单位：）
汽车流量（单位：千辆/24小时）
合计
8
2
10
1
13
14
合计
9
15
24
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
2