数学：浙江省浙南名校2024-2025学年高二下学期4月期中试题（解析版）

这是一份数学：浙江省浙南名校2024-2025学年高二下学期4月期中试题（解析版），共15页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 在的展开式中，含项的系数是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为,又因为
所以
故选：D
2. 直线与圆位置关系是（ ）
A. 相离B. 相交
C. 相切D. 无法确定
【答案】B
【解析】由，即圆心，半径，
所以到的距离，
所以直线与圆相交.故选：B
3. 已知的面积为，若，，则“为锐角”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当为锐角时，，
而当为钝角时，亦有，
所以“为锐角”是“” 充分不必要条件，A正确.
故选：A
4. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到的函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）,
可得到函数的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位，
可得到函数的图象.
故选：A.
5. 已知两个非零向量，同时满足，则向量与的夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据可得，可得，
因此，
所以，
又，
所以.
即向量与的夹角的大小为.
故选：C
6. 现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共（ ）有种？
A. 20B. 38C. 70D. 74
【答案】B
【解析】由甲、乙、丙、丁四人是好友关系，至少有一名好友相伴，可分为两类，
（1）把4名好友分在同一个社区，另4人在一个社区有2种不同方法，
（2）有两名好友在1个社区，另2名好名在另一个社区有种，
综上所述：共有种不同分配方法.
故选：B.
7. 在的展开式中，含项的系数是 ( )
A. 165B. 164C. 120D. 119
【答案】B
【解析】依题意，项的系数为
.故选B.
8. 已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过作平面于，连接，
因为，可得，
所以为的外心，
所以三棱锥的外心在上，
因为，由正弦定理可得，
所以，
设外接球的半径为，则可得，
所以，
所以该三棱锥的外接球表面积为.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球,方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（ ）
A.
B. ，其中
C.
D.
【答案】ACD
【解析】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为，
摸次球，则取得红球个数，
所以，
故选项A正确.
选项B，方案一中，，.
方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，，，，
则，.
当时，，，
所以，故选项B错误.
选项C，，，所以，故选项C正确.
选项D，，
.
可得，即，故选项D正确.
故选：ACD.
10. 已知在等差数列的前项和为，其中，，在等比数列中，，，则（ ）
A.
B. 数列是等差数列
C. 数列的前项和为
D. 数列的前项和为
【答案】ABD
【解析】设等差数列的公差为，已知，，
令，则．
所以，即，解得．
所以．
，故A选项正确．
已知，，
设等比数列的公比为，
则，
所以，
则，
所以（常数），
所以数列是等差数列，故B选项正确．
已知．
设数列前项和为，则
，故C选项错误．
已知．设数列的前项和为，
则
所以
所以，故D选项正确．
故选：ABD．
11. 已知函数，，下列结论正确的是（ ）
A. 曲线在点（1，2）处的切线方程为
B. 函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为(－3,0)
C. 若曲线与有三个交点，，，则，，必成等差数列
D. 存在曲线与有三个交点，，，使得，，成等比数列
【答案】AC
【解析】因为函数，所以.
因为在点(1,2)处的切线方程为，
所以在点(1,2)处的切线方程为，即为，故A为真；
又因为函数在开区间上存在最小值，则在区间上不单调，且存在极小值点，
由的图像可知的极小值点为，所以，则，故B为假；
由于，则的解为，且，则关于中心对称，
又因为，所以恒过点，即为的对称中心，
所以曲线与有三个交点时，又因为，根据对称可得，为中点，所以恒成立，故C为真；
因为恒成立，要使得，，成等比数列，
且因为，
当且仅当时取等，所以不存在这样的三点，故D为假.
故选：AC
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知复数，则的虚部为_____.
【答案】
【解析】，
故其虚部为.
故答案为：
13. 老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为，则_____.
【答案】0
【解析】设该同学抽到能背诵的得分，的可能取值为，
所以，
，，
则的分布列为：
所以.
14. 已知椭圆，抛物线，点是与在第一象限的交点，是的左顶点，直线交于点，若点恰为线段的中点，则的值为_____.
【答案】
【解析】易知，设，如下图所示：
因为点为线段的中点，可得，
且在上，即，解得，
又在上，则，解得，
因为，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下：
（1）判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关？
（2）对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用?
附：，
解：（1）设：浓度与汽车流量无关，
由，
所以有的把握认为不成立，即浓度与汽车流量有关.
（2）由题知，
则，所以事件对事件是抑制作用.
16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，过点的直线与双曲线的右支于、两点，点分别为双曲线的左顶点和右焦点，且到渐近线的距离为1，为直角三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）求的面积.
解：（1）由题知，，
同时到渐近线的距离，
所以，所以双曲线的方程为；
（2）因为双曲线的渐近线为，过的双曲线与右支交于两点，
所以，因此不妨设，
当直线的斜率不存在时，由对称性可知显然不为直角三角形，
所以的斜率存在，设直线.，，
在以为直径的圆上，如下图所示：
因为，所以的中点为，
所以，所以以为直径的圆的方程为，
故，解得或，
不妨取，
此时，所以，
再由，，所以，，
，到直线的距离，
所以.
17.如图，在四棱锥中,底面是平行四边形,平面,,为的中点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
解：（1）且是中点，直角中，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
又底面，平面底面.
（2）取中点，连接，，
且是中点，且
由（1）得平面底面，又平面底面，
底面，
分别以，为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系；
，，，，，
，，，，
若平面的一个法向量，
，令，则，
所以平面的一个法向量为，
若平面的一个法向量，
，令，则，
所以平面的一个法向量，
，
所以锐二面角的余弦值为.
18. 函数，其中，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（3）若，，，求证：.
解：（1），
当时，由，解得或，所以的单调递增区间为和，
当时，由，解得，所以的单调递增区间为，
当时，由，解得或，所以的单调递增区间为和，
综上所述：当时，的单调递增区间为和，
当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为和，
（2）由（1）知函数的极大值为，极小值为，
当，，，，
则或者，
，即，
，解得
综上，的取值范围或.
（3）由题知，，，
由，得
，，
要证：，只要证：，
令，
，
设，，由得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上递增，
并且，，
所以，，，
即，，，
所以，单调递减，，单调递增，
是的极小值点，也是最小值点，
，故，，
故，结论得证.
19. 已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为，传球给其他队员的概率均为；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是.开始进攻时，球在乙手中.
（1）求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；
（2）经过次传球后，球回到乙手中的概率；
（3）记经过次传球后，球到甲的手中的概率为，求证：满足的的个数不少于满足的的个数.
解：（1）记事件“经过2次传球并由甲执行投篮”，“球有经过丙之手”，
则.
（2）记事件“传球后球回到乙手中”，，
则，
，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，即.
（3）事件“传球后球到甲手中”，事件“传球后球不在甲和乙手中”
则，
，
，两边同时乘以，
，
设，则有，而，
叠加得，
，
显然，当为奇数时，，当为偶数时，，
因此的的个数不少于满足的的个数.
解法二：，
假设结论不成立，则至少有两个连续的自然数，，使得且.
若为偶数，且则有：
，
若为奇数，且，则有
，
，.如此连续，
故不存在连续的两个自然数，，使得且.
0
2
浓度（单位：）
汽车流量（单位：千辆/24小时）
合计
8
2
10
1
13
14
合计
9
15
24
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828