2025年四川省广元市中考数学二模试卷

这是一份2025年四川省广元市中考数学二模试卷，共52页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）|﹣2025|的倒数是（ ）
A．12025B．−12025C．2025D．﹣2025
2．（3分）下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是（ ）
A．60°B．55°C．45°D．35°
4．（3分）如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转34°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上．则∠C′＝（ ）
A．56°B．62°C．68°D．73°
5．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85°B．75°C．70°D．65°
6．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为AB上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
7．（3分）已知a＞0，则下列事件中随机事件的是（ ）
A．a+3＞0B．2a＞0C．a﹣3＞0D．a＞0
8．（3分）反比例函数y=4x的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（ ）
A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2D．当t＞0时，0＜y1＜y2
9．（3分）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．36πB．52πC．72πD．80π
10．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2025，y1），（2025，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点(14，y1)，(14+n，y1)对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤32．
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上）
11．（4分）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为 ．
12．（4分）若式子x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．（4分）若关于x的不等式组2(x+1)＞83x+1＜a+2有且只有2个整数解，则a的取值范围是 ．
14．（4分）如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝ ．
15．（4分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则sin∠APD的值为 ．
16．（4分）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片ABCD，AB＝24，BC＝20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B'MN，连结AB′．AB'达到最小值时，求BM＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，要求写出必要的解答步骤或证明过程）
17．（8分）已知b3﹣2ab＝0，求(a−1)2+b2−1ab2的值．
18．（8分）在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至E，使BE＝BD，过点E作EF∥BD交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形BEFD是菱形；
（2）连接BF，若BC＝3，CD＝4，求线段BF的长．
19．（8分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上．请用无刻度尺按要求作图：
（1）作△ABC的高AH；
（2）①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC；
②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分．
20．（8分）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究．
已知笔记本电脑屏幕宽AB＝BC＝23cm．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：sin70°≈0.9，cs70°≈0.3）
（1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使∠ABC＝110°，求此时电脑屏幕上点A与桌面的距离．
（2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使∠ABC分别为110°与120°时，点A距离桌面的高度差．
21．（9分）如图，反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y=kx的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．
22．（9分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
23．（10分）近期，国产AI大模型deepseek的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着deepseek等中国AI大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球AI领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产AI大模型deepseek应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为 ；估计全校非常了解国产AI大模型deepseek的应用场景的有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产AI大模型deepseek应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率．
24．（10分）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在BD上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若BG=45，sin∠DAE=13，求DE的长．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为一边向外作正方形ABDE，点F为直线BC上的一点，连接DF，作FG⊥DF交直线AB于点G．
（1）如图1，若AB＝AC，点F在线段BC上，请直接写出线段DF与FG的数量关系；
（2）如图2，若AB=3AC，点F在线段BC上，试探究线段BD，BF，BG三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB=3AC，若AB＝6，DF=42，请直接写出AG的长．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
（3）延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B′都落在抛物线L′上．试判断抛物线L′与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
2025年四川省广元市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）
1．（3分）|﹣2025|的倒数是（ ）
A．12025B．−12025C．2025D．﹣2025
【考点】倒数；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】利用倒数和绝对值的定义求解即可．
【解答】解：∵|﹣2025|＝2025，
2025的倒数是12025，
∴|﹣2025|的倒数是12025．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数和绝对值，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（3分）下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】利用平移设计图案．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案，进而可得答案．
【解答】解：A、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意；
B、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意；
C、能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项符合题意；
D、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，关键是掌握平移的特点．
3．（3分）如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是（ ）
A．60°B．55°C．45°D．35°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】B
【分析】依据PC⊥OB，PD∥OB，可得∠CPD＝90°，再根据∠OPC＝35°，即可得出∠APD＝55°．
【解答】解：∵PC⊥OB，PD∥OB，
∴∠CPD＝90°，
又∵∠OPC＝35°，
∴∠APD＝55°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4．（3分）如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转34°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上．则∠C′＝（ ）
A．56°B．62°C．68°D．73°
【考点】旋转的性质．
【答案】D
【分析】利用旋转的性质得出AC＝AC′，以及∠CAC′的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案．
【解答】解：由题意可得：AC＝AC′，
∵把△ABC绕着点A顺时针方向旋转34°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上，
∴∠CAC′＝34°，
∴∠ACC′＝∠C′=12×（180°﹣34°）＝73°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出AC＝AC′是解题关键．
5．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85°B．75°C．70°D．65°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，再根据平角的性质可得∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
∴∠BDC=12∠BOC=12×130°=65°．
解法二：因为AB是直径，
所以∠ACB＝90°
所以∠BDC＝∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
6．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为AB上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OA、OE，则∠AOE=15×360°＝72°，由圆周角定理得∠APE=12∠AOE＝36°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OA、OE，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠AOE=15×360°＝72°，
∵P为AB上一点，
∴∠APE=12∠AOE=12×72°＝36°，
故选：B．
【点评】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求得∠AOE＝72°是解题的关键．
7．（3分）已知a＞0，则下列事件中随机事件的是（ ）
A．a+3＞0B．2a＞0C．a﹣3＞0D．a＞0
【考点】随机事件；不等式的性质．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：A、a+3＞0，是必然事件，不符合题意；
B、2a＞0，是必然事件，不符合题意；
C、a﹣3＞0，是随机事件，符合题意；
D、a＞0，是必然事件，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．（3分）反比例函数y=4x的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（ ）
A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2D．当t＞0时，0＜y1＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y=4x中，k＝4＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
A、当t＜﹣4时，t+4＜0，
∵t＜t+4，
∴y2＜y1＜0，正确，符合题意；
B、当﹣4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t+4，y2）在第一象限，
∴y1＜0，y2＞0，
∴y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意；
C、由B知，当﹣4＜t＜0时，y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意；
D、当t＞0时，t+4＞0，
∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限，
∵t＜t+4，
∴y1＞y2＞0，原结论错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
9．（3分）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．36πB．52πC．72πD．80π
【考点】作图—复杂作图；等边三角形的性质．
【专题】作图题；运算能力．
【答案】B
【分析】根据扇形的面积公式求解．
【解答】解：第一段的长度为：13×2×1π=23π，
第二段的长度为：13×2×2π=43π，
第三段的长度为：13×2×3π=63π=2π，
第四段的长度为：13×2×4π=83π，
……，
第12段的长度为：13×2×12π=243π=8π，
∴蚊香”的长度为：23×（1+2+3+……+12）π＝52π，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2025，y1），（2025，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点(14，y1)，(14+n，y1)对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤32．
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），
∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
由条件可知a＜0，开口向下，
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确；
②：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，
由条件可知−1＜a＜−12，故②错误；
③：又∵对称轴为直线x=−1+m2，1＜m＜2，
∴0＜−1+m2＜12，
∴若（﹣2025，y1），（2025，y2）是函数图象上的两点，2025离对称轴近些，则y1＜y2，
故③正确；
④若图象上两点(14，y1)，(14+n，y2)对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
则满足
0＜−1+m2≤14，
解得1＜m≤32，
故④正确；
∴①③④正确；②错误．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上）
11．（4分）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客1.47亿人次，1.47亿用科学记数法表示为 1.47×108 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】1.47×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1.47亿＝147000000＝1.47×108．
故答案为：1.47×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）若式子x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥﹣2．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x+2≥0，再求出答案即可．
【解答】解：要使式子x+2在实数范围内有意义，必须
x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得出x+2≥0是解此题的关键，式子a中a≥0．
13．（4分）若关于x的不等式组2(x+1)＞83x+1＜a+2有且只有2个整数解，则a的取值范围是 14＜a≤17 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】14＜a≤17．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组有且只有2个整数解得出5＜a+13≤6，再求出答案即可．
【解答】解：2(x+1)＞8①3x+1＜a+2②，
解不等式①，得x＞3，
解不等式②，得x＜a+13，
所以不等式组的解集是3＜x＜a+13，
∵关于x的不等式组2(x+1)＞83x+1＜a+2，有且只有2个整数解（是4和5），
∴5＜a+13≤6，
解得：14＜a≤17，
故答案为：14＜a≤17．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
14．（4分）如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝ 120° ．
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到α⋅π⋅6180=2π•2，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得α⋅π⋅6180=2π•2，
解得α＝120，
即侧面展开图扇形的圆心角为120°．
故答案为120°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（4分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则sin∠APD的值为 255 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】255．
【分析】过点B作BE∥CD，连接AE．根据题图和勾股定理先判断△ABE的形状，再求出∠APE的正弦，利用平行线的性质可得结论．
【解答】解：如图，过点B作BE∥CD，连接AE．
由网格和勾股定理可求得；
BE=12+12=2，
AB=12+32=10，
AE=22+22=8=22，
∵BE2+AE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形．
在Rt△ABE中，sin∠ABE=AEAB=2210=255．
∵BE∥CD，
∴∠APD＝∠ABE．
∴sin∠APD=255．
故答案为：255．
【点评】本题考查了勾股定理和解直角三角形，作辅助线平移∠APE到直角△ABE中，是解决本题的关键．
16．（4分）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片ABCD，AB＝24，BC＝20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B'MN，连结AB′．AB'达到最小值时，求BM＝ 203 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】203．
【分析】根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点B′在以N为圆心，NB为半径的圆上，根据三角形的三边关系得到AB′≥AN﹣NB′，结合点M在AB上，根据勾股定理即可求出BM．
【解答】解：将△BMN沿MN折叠得到△B′MN，
∴BN＝NB′，
∵点N为的BC中点，BC＝20，
∴BN＝CN＝NB′＝10，
∴当点M在边AB上运动时，点B′在以N为圆心，NB为半径的圆弧上运动，
连接AN，在△AB′N中，AB′≥AN﹣NB′，
∴A、B′、N共线时，AB′的值最小，如图，
最小为AB′=AN−NB′=AB2+BN2−NB′=242+102−10=676−10=26−10=16；
∴∠AB′M＝90°，
设BM＝x，
∴BM＝BM′＝x，AM＝24﹣x，
在直角三角形AB′M中，
由勾股定理得：B′M2+B′A2＝AM2，
∴x2+162＝（24﹣x）2，
解得：x=203，
即BM=203，
故答案为：203．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理，正确运用相关性质定理是正确解答此题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，要求写出必要的解答步骤或证明过程）
17．（8分）已知b3﹣2ab＝0，求(a−1)2+b2−1ab2的值．
【考点】分式的化简求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】将b3﹣2ab＝0因式分，将b2用a来表示，然后代入求值．
【解答】解：∵b3﹣2ab＝0，
∴b（b2﹣2a）＝0，
∴b＝0或b2﹣2a＝0，
∵b＝0时，分母为0，分式无意义，舍去，
∴b2﹣2a＝0，即b2＝2a，
∴(a−1)2+b2−1ab2=(a−1)2+2a−1a⋅2a=a2−2a+1+2a−12a2=12．
【点评】本题考查了分式的化简求值，要熟悉因式分解，同是要熟悉整体思想．
18．（8分）在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至E，使BE＝BD，过点E作EF∥BD交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形BEFD是菱形；
（2）连接BF，若BC＝3，CD＝4，求线段BF的长．
【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质；勾股定理．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）45．
【分析】（1）根据矩形性质先判定四边形BEFD是平行四边形，然后有BE＝BD即可证明菱形；
（2）先根据矩形性质得到AD和AB的长度，然后用勾股定理算出BD即为DF，然后算出AF的长度，在利用勾股定理计算BF即可．
【解答】（1）证明：由矩形可得：BE∥DF，
∵EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∵BE＝BD，
∴平行四边形BEFD是菱形；
（2）解：在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，
在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=5，
由（1）得：DF＝BD＝5，
∴AF＝AD+DF＝8，
在Rt△ABF中，BF=AB2+AF2=42+82=45．
【点评】本题主要考查矩形的性质和菱形的判定，掌握相关图形的基本性质，并能结合勾股定理计算线段长度是解题的关键．
19．（8分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上．请用无刻度尺按要求作图：
（1）作△ABC的高AH；
（2）①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC；
②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分．
【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）作图见解析部分；
【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（2）①根据要求作出图形即可；
②取格点TM连接BT，AT，CT，则BT∥AC，推出△ACB与△ATC的面积相等．作出△ADT的中线AF即可（取P，Q，连接PQ交DT于点F）．
【解答】解（1）如图（1）中，线段AH即为所求；
（2）①如图（2）中，线段AD即为所求；
②如图（2）中，线段AF即为所求；
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究．
已知笔记本电脑屏幕宽AB＝BC＝23cm．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：sin70°≈0.9，cs70°≈0.3）
（1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使∠ABC＝110°，求此时电脑屏幕上点A与桌面的距离．
（2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使∠ABC分别为110°与120°时，点A距离桌面的高度差．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）此时电脑屏幕上点A与桌面的距离约为20.7cm；
（2）点A距离桌面的高度差约为4.6cm．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，先利用平角定义可得∠ABD＝70°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）延长AB交CE于点F，根据题意可得：BF⊥CE，从而可得∠BFC＝90°，然后分别求出当∠ABC＝120°时，当∠ABC＝110°时，BF的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵∠ABC＝110°．
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝70°，
在Rt△ABD中，AB＝23cm，
∴AD＝AB•sin∠ABD＝23×sin70°≈23×0.9＝20.7（cm），
∴此时电脑屏幕上点A与桌面的距离约为20.7cm；
（2）延长AB交CE于点F，
由题意得：BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
当∠ABC＝120°时，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝60°，
在Rt△BCF中，BC＝23cm，
∴BF＝BC•cs60°＝23×12=11.5（cm），
当∠ABC＝110°时，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝70°，
在Rt△BCF中，BC＝23cm，
∴BF＝BC•cs70°≈23×0.3＝6.9（cm），
∴点A距离桌面的高度差＝11.5﹣6.9＝4.6（cm），
∴点A距离桌面的高度差约为4.6cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（9分）如图，反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y=kx的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=−3 x，一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）t＞32．
【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
（2）先求出点C坐标，由面积关系可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，
∴k＝﹣1×3＝a×（﹣1），
∴k＝﹣3，a＝3，
∴点A（3，﹣1），反比例函数的解析式为y=−3 x，
由题意可得：3=−m+n−1=3m+n，
解得： m=−1n=2，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）∵直线AB交y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴S四边形COMN＝S△OMN+S△OCN=32+12×2×t，
∵S四边形COMN＞3，
∴32+12×2×t＞3，
∴t＞32．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
22．（9分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）8m，4m；
（2）72m，1474m2．
【分析】（1）设水池的长为a m，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
（2）设BC长为x m，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为a m，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为x m，则CD长度为（21﹣3x）m，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x−72）2+1474，
∵﹣3＜0，
∴当x=72时，总种植面积有最大值为1474m2，
此时CD＝21﹣3×72=212＜12，符合题意，
即BC应设计为72m总种植面积最大，此时最大面积为1474m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
23．（10分）近期，国产AI大模型deepseek的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着deepseek等中国AI大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球AI领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产AI大模型deepseek应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为 90° ；估计全校非常了解国产AI大模型deepseek的应用场景的有 1200 人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产AI大模型deepseek应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】（1）90°；1200．
（2）见解答．
（3）16．
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得调查的人数，用360°乘以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用样本估计总体，用3000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案．
（2）求出B组和D组的人数，补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，调查的人数为24÷40%＝60（人），
∴扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×1560=90°，
估计全校非常了解国产AI大模型DeepSeek的应用场景的有3000×40%＝1200（人）．
故答案为：90°；1200；
（2）D组的人数为60×5%＝3（人），
B组的人数为60﹣24﹣15﹣3＝18（人）．
补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：（甲，乙），（乙，甲），共2种，
∴甲和乙两名学生同时被选中的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
24．（10分）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在BD上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若BG=45，sin∠DAE=13，求DE的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠EDB＝∠EAB，求得∠BAD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，求得∠B＝∠G＝45°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）如图，连接CE，根据圆周角定理得到∠DAE＝∠DCE，∠DEC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧，
∴∠EDB＝∠EAB，
∵∠EAD+∠EDB＝45°，
∴∠EAD+∠EAB＝45°，
即∠BAD＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵AB＝AG，
∴∠B＝∠G＝45°，
∴∠GAB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：如图，连接CE，
∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵DC为直径，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin ∠DAE=13=DEDC，
∵BG=45，∠B＝45°，∠BAG＝90°，
∴AB=22BG=210=DC，
∴DE=DCsin∠DAE=210×13=2103．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为一边向外作正方形ABDE，点F为直线BC上的一点，连接DF，作FG⊥DF交直线AB于点G．
（1）如图1，若AB＝AC，点F在线段BC上，请直接写出线段DF与FG的数量关系；
（2）如图2，若AB=3AC，点F在线段BC上，试探究线段BD，BF，BG三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB=3AC，若AB＝6，DF=42，请直接写出AG的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）DF＝FG；
（2）2BF+BD=3BG，理由见解答过程；
（3）3−153或3+153．
【分析】（1）由正方形的性质及处置的性质可知，∠DBG＝∠DFG＝90°，所以D、B、F、G四点共圆，所以∠GBF＝∠GDF，则等腰三角形的性质可知，∠GDF＝45°，所以△GDF是以点F为直角顶点的等腰直角三形，由此可得结论；
（2）连接DG，过点G作GH⊥BC，垂足为点H，由正切函数的定义可知，∠ACB＝60°，∠ABC＝30°，由∠DBG＝∠DFG＝90°，可得D、B、F、G四点共圆，所以∠GBF＝∠GDF，即∠ABC＝∠GDF，因为∠DFG＝90°，所以GF=12DG，由D、B、F、G四点共圆，可知∠GFH＝∠GDB，所以cs∠GFH＝cs∠GDB，可得FH=12BD，在Rt△GBH中，由cs∠GBH＝cs30°=BHBG，代入化简可得结论；
（3）根据题意可知，需要分两种情况：①当点F在线段BI上时，②当点F在点I的左侧时，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1，连接DG，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝BD，∠DBA＝90°，
∵FG⊥DF，
∴∠DFG＝90°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，即∠GBF＝45°，
∵∠DBA＝90°，
∴∠DBG＝90°，
∵∠DBG＝∠DFG＝90°，
∴D、B、F、G四点共圆，
∴∠GBF＝∠GDF，
∴∠GDF＝45°，
∵∠DFG＝90°，
∴△GDF是以点F为直角顶点的等腰直角三形，
∴DF＝FG；
（2）连接DG，过点G作GH⊥BC，垂足为点H，如图2，
∴tan∠ACB=3，
∴∠ACB＝60°，∠ABC＝30°，
∵∠DBA＝90°，
∴∠DBG＝90°，
∵∠DBG＝∠DFG＝90°，
∴D、B、F、G四点共圆，
∴∠GBF＝∠GDF，即∠ABC＝∠GDF，
∴∠GDF＝30°，
∵∠DFG＝90°，
∴GF=12DG，
∵D、B、F、G四点共圆，
∴∠GFH＝∠GDB，
∴cs∠GFH＝cs∠GDB，
∵cs∠GFH=FHGF，
∴cn∠GDB=BDDG，
∴FHGF=BDDG，
∴FH12DG=BDDG，
∴FH=12BD，
在Rt△GBH中，
∵∠GBH＝∠ABC＝30°，
∴cs∠GBH＝cs30°=BHBG，
∴32=BHBG=BF+FHBG=BF+12BDBG，
∴2BF+BD=3BG；
∴线段BD、BF、BG三者之间的关系式：2BF+BD=3BG；
（3）∵AB＝3，AB＝BD，
∴BD＝3，
∵DF＝22，
∴DF＜BD，
∵点F在直线BC上，
∴点F在点B的左侧，
过点D作DI⊥BC，垂足为点I，
①当点F在线段BI上时，如图，
∵∠DBA＝∠DFG＝90°
∴D、F、B、G四点共圆，
∴∠GBC＝∠GDF，即∠ABC＝∠GDF，
∵∠ABC＝30°，
∴∠GDF＝30°，
∵cs∠GDF=DFDG，
∴DG＝DF÷cs30°=463，
∵BD＝3，
∴BG=DG2−BD2=153，
∴AG＝AB﹣BG＝3−153；
②当点F在点I的左侧时，如图，
∵∠DBA＝90°，
∴∠DBG＝90°，
∵∠DFG＝90°，
∴∠DBG+∠DFG＝180°，
∴D、F、B、G四点共圆，
∴∠GBF＝∠GDF，
∵∠ABC＝30°，
∴∠GBF＝∠GDF＝30°，
∵cs∠GDF=DFDG，
∴DG＝DF÷cs30°=463，
∵BD＝3，
∴BG=DG2−BD2=153，
∴AG＝AB﹣BG＝3+153；
综上所述，AG的长为3−153或3+153．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的三边关系，四点共圆及圆周角定义等相关知识，关键是得出点D，F，B，G四点共圆．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
（3）延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B′都落在抛物线L′上．试判断抛物线L′与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；函数的综合应用；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）AB＝4；
（2）tan∠ABD的值为103；
（3）抛物线L′与L交于定点（3，0）．
【分析】（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a中，令y＝0得0＝ax2﹣2ax﹣3a，又a＞0，可得x＝3或x＝﹣1，求出A（﹣1，0），B（3，0），AB＝4；
（2）当a＝1时，过D作DM∥y轴交x轴于M，DN∥x轴交AC于N，求出C（1，﹣4），直线AC解析式为y＝﹣2x﹣2，设 D（n，n2﹣2n﹣3），（0＜n＜3），可得N（−n2+2n+12，n2﹣2n﹣3），DN＝n−−n2+2n+12=n2−12，S△ACD=12DN•|yA﹣yC|=12×n2−12×4＝n2﹣1；根据△ACD的面积与△ABD的面积相等，S△ABD=12AB•|yD|=12×4×（﹣n2+2n+3）＝﹣2n2+4n+6，得n2﹣1＝﹣2n2+4n+6，可解得D（73，−209），求出BM＝3−73=23，DM=209，故tan∠ABD=DMBM=20923=103；
（3）过D作DM⊥x轴于M，设D（m，am2﹣2am﹣3a），则AM＝m+1，DM＝﹣am2+2am+3a，由AD＝DE，得EM＝AM＝m+1，而将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'，相当于将△ADB向右平移（m+1）个单位，再向上平移|m2﹣2am﹣3a|个单位，可得A'（m，﹣am2+2am+3a），B'（m+4，﹣am2+2am+3a），设抛物线L'解析式为 y＝ax2+bx+c（a＞0），根据点A′，B'都落在抛物线L′上，抛物线L'解析式为抛物线L'解析式为y＝a（x﹣m﹣2）2﹣am2+2am﹣a（a＞0），由ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣m﹣2）2﹣am2+2am﹣a（a＞0），从而知抛物线L′与L交于定点（3，0）．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a中，令y＝0得0＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴a（x﹣3）（x+1）＝0，
∵a＞0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4；
（2）当a＝1时，过D作DM∥y轴交x轴于M，DN∥x轴交AC于N，如图：
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴C（1，﹣4），
由A（﹣1，0），C（1，﹣4）得直线AC解析式为y＝﹣2x﹣2，
设 D（n，n2﹣2n﹣3），（0＜n＜3），
在y＝﹣2x﹣2中，令y＝n2﹣2n﹣3得x=−n2+2n+12，
∴N（−n2+2n+12，n2﹣2n﹣3），
∴DN＝n−−n2+2n+12=n2−12，
∴S△ACD=12DN•|yA﹣yC|=12×n2−12×4＝n2﹣1；
∵△ACD的面积与△ABD的面积相等，
而S△ABD=12AB•|yD|=12×4×（﹣n2+2n+3）＝﹣2n2+4n+6，
∴n2﹣1＝﹣2n2+4n+6，
解得n＝﹣1（舍去）或n=73，
∴D（73，−209），
∴BM＝3−73=23，DM=209，
∴tan∠ABD=DMBM=20923=103；
∴tan∠ABD的值为103；
（3）抛物线L′与L交于定点，理由如下：
过D作DM⊥x轴于M，如图：
设D（m，am2﹣2am﹣3a），则AM＝m+1，DM＝﹣am2+2am+3a，
∵AD＝DE，
∴EM＝AM＝m+1，
将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'，相当于将△ADB向右平移（m+1）个单位，再向上平移|am2﹣2am﹣3a|个单位，
又A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣4a），
∴A'（m，﹣am2+2am+3a），B'（m+4，﹣am2+2am+3a），C'（m+2，﹣am2+2am﹣a），
∴抛物线L'的对称轴为直线x＝m+2，
∴抛物线L'解析式为y＝a（x﹣m﹣2）2﹣am2+2am﹣a（a＞0），
由ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣m﹣2）2﹣am2+2am﹣a（a＞0），
解得：x＝3，
∴抛物线L′与L交于定点（3，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
注意：0没有倒数．
3．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
4．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
5．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
6．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
7．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
8．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
9．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
10．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
11．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
12．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
13．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
14．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
15．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
16．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
17．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
18．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
21．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
22．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
23．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
25．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
26．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
27．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
28．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
29．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积=13×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
31．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
32．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
33．利用平移设计图案
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
34．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
35．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
36．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
37．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
38．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
39．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
40．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
41．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
D
B
C
A
B
D
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置