专题04+整式的乘法与因式分解（6大题型+5大技巧+3大思想+5大易错）突破 2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲课件

这是一份专题04+整式的乘法与因式分解（6大题型+5大技巧+3大思想+5大易错）突破 2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲课件，共60页。PPT课件主要包含了易错易混，题型剖析，考点透视，押题预测，ab＋b2，阅读与思考，a2b，技巧思想突破，易混易错，－12等内容，欢迎下载使用。
六大题型典例剖析+五大技巧+三大思想
精选6道期末真题对应考点练
2. [2024邢台期末]计算( a2 b )3的结果是(　C　)
3. [2023泉州期末]下列计算正确的是(　A　)
(2)( p － q )4÷( q － p )3·( p － q )2.
解：(2)( p － q )4÷( q － p )3·( p － q )2＝( q － p )4÷( q － p )3·( q － p )2＝( q － p )4－3＋2＝( q － p )3.
5. [2024保定期末]用简便方法计算：
考点2　幂的运算的逆运算6. [2024永州期末]已知 xm ＝2， xn ＝4，则 xm＋ n 的值为(　C　)
考点4　整式的乘除法9. 一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作2×104秒运算的次数为(　D　)
10. 已知 a ( a －2)＝8，则整式 a2－2 a －6的值为(　D　)
11. [2024沧州期末]若(2 x ＋ a )与( x －3)的乘积中不含 x 的一次项，则 a 的值为 (　A　)
12. [2023济南模拟]计算：(1)(14 a3 b2－7 ab2)÷7 ab2；
解：(1)(14 a3 b2－7 ab2)÷7 ab2＝14 a3 b2÷7 ab2－7ab2÷7 ab2＝2 a2－1.
考点5　整式乘法的应用13. 【新视角·实践探究】[2024开封期末]综合与实践【提出问题】如图，在长方形 ACDF 中，点 B 在 CD 上，点 E 在 DF 上. BC ＝ DE ＝ a ， AC ＝ BD ＝ b ， AB ＝ BE ＝ c ，且 AB ⊥ BE . 求 a ， b ， c 之间的数量关系.
【探究问题】某校数学社团成员在探究 a ， b ， c 之间的数量关系时，利用学习多项式乘多项式时积累的方法发现，可以利用长方形的面积来探究 a ， b ， c 之间的数量关系.长方形 ACDF 的面积 S 可以用两种不同的方法求解：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到 S ；另一种是将长方形 ACDF 看成是由△ ABC ，△ BDE ，△ AEF ，△ ABE 组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到 S . 请根据以上材料，填空：
方法一： S ＝ ⁠；
【问题解决】(1)由于方法一和方法二表示的都是长方形 ACDF 的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求 a ， b ， c 之间的数量关系(需要化简)；
(2)请直接运用(1)中的结论，求当 a ＝3， c ＝5时 S 的值.
解：(2)∵ a2＋ b2＝ c2，且 a ＝3， c ＝5，∴32＋ b2＝52，∴ b ＝4(负值舍去)，∴ S ＝ ab ＋ b2＝3×4＋16＝28.
考点6　乘法公式14. 已知 a － b ＝3， a2－ b2＝－12，则 a ＋ b 的值为 ⁠ ⁠.
15. 已知 x ＋ y ＝5， x2＋ y2＝17，则( x － y )2的值是 ⁠.
点拨：∵ x ＋ y ＝5，∴( x ＋ y )2＝25，
∴ x2＋2 xy ＋ y2＝25，
又∵ x2＋ y2＝17，∴2 xy ＝25－17＝8，
∴( x － y )2＝ x2＋ y2－2 xy ＝17－8＝9.
16. [2023杭州模拟]先化简，再求值：(2 x ＋3)(2 x －3)－( x ＋2)2－3 x ( x －1)， 其中 x ＝2 024.
解：原式＝4 x2－9－ x2－4 x －4－3 x2＋3 x ＝－ x －13，当 x ＝2 024时，原式＝－2 024－13＝－2 037.
考点7　因式分解17. [2024苏州期末]下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　C　)
18. [2023永州期末]下列因式分解正确的是(　D　)
19. [2024上海期末]把12 a2 b3 c －8 a2 b2 c ＋6 ab3 c2分解因式时，应提取的公因式是 (　C　)
20. 已知 x － y ＝1， xy ＝2，则 x2 y － xy2的值为(　D　)
21. [2023邯郸期末]将多项式( m － n )3－ m ( m － n )2－ n ( n － m )2分解因式， 结果为(　C　)
22. [2024石家庄期末]将 a4－2 a2＋1分解因式，所得结果正确的是(　D　)
题型一：“将错就错”问题1. 甲、乙两人共同计算一道整式：( x ＋ a )(2 x ＋ b )，由于甲抄错了 a 的符号，得到的结果是2 x2－7 x ＋3，乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果是 x2＋2 x －3.(1)求(－2 a ＋ b )( a ＋ b )的值；
(2)若整式中的 a 的符号不抄错，且 a ＝3，请计算这道题的正确结果.
【解】由(1)可知 b ＝－1.∴正确的计算结果为( x ＋3)(2 x －1)＝2 x2＋5 x －3.
2. [2024长春宽城区模拟]两名同学将一个关于 x 的二次三项式 ax2＋ bx ＋ c 分解因式时，其中一名同学因看错了一次项系数而分解成2( x －1)( x －9)，另一名同学因看错了常数项而分解成2( x －2)( x －4).(1)求原来的二次三项式；
【解】∵2( x －1)( x －9)＝2 x2－20 x ＋18，2( x －2)( x －4)＝2 x2－12 x ＋16，∴原来的二次三项式为2 x2－12 x ＋18.
(2)将原来的二次三项式分解因式.
【解】2 x2－12 x ＋18＝2( x2－6 x ＋9)＝2( x －3)2.
题型二： “无关求值”问题3. 已知将( x3＋ mx ＋ n )( x2－3 x ＋4)展开的结果不含 x3和 x2项.( m ， n 为常数)(1)求 m ， n 的值；
(2)在(1)的条件下，求( m ＋ n )( m2－ mn ＋ n2)的值.
【解】( m ＋ n )( m2－ mn ＋ n2)＝ m3＋ n3.当 m ＝－4， n ＝－12时，原式＝(－4)3＋(－12)3＝－64－1 728＝－1 792.
4. 已知代数式 A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2.(1)求3 A －(2 A ＋3 B )的值；
【解】∵ A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2，∴3 A －(2 A ＋3 B )＝3 A －2 A －3 B ＝ A －3 B ＝(2 x2＋5 xy －7 y －3)－3( x2－ xy ＋2)＝2 x2＋5 xy －7 y －3－3 x2＋3 xy －6＝－ x2＋8 xy －7 y －9.
(2)若 A －2 B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值.
【解】∵ A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2，∴ A －2 B ＝(2 x2＋5 xy －7 y －3)－2( x2－ xy ＋2)＝2 x2＋5 xy －7 y －3－2 x2＋2 xy －4＝7 xy －7 y －7.∵ A －2 B 的值与 x 的取值无关，∴7 y ＝0.∴ y ＝0.
题型三：“论证说理”问题5. [2024厦门思明区月考]认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题.①32－12＝8＝8×1，②52－32＝16＝8×2，③72－52＝24＝8×3，④92－72＝32＝8×4，
…(1)请写出算式⑤： ⁠，算式⑥： ⁠；
112－92＝40＝8×5　
132－112＝48＝8×6　
(2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，请说明这个规律是成立的；
【解】两个连续奇数的平方差可表示为(2 n ＋3)2－(2 n＋1)2.∴(2 n ＋3)2－(2 n ＋1)2＝(2 n ＋3－2 n －1)(2 n ＋3＋2 n ＋1)＝2(4 n ＋4)＝8( n ＋1).∴“两个连续奇数的平方差能被8整除”这个规律是成立的.
(3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由.
【解】这个说法不成立，理由：两个连续偶数的平方差可表示为(2 n ＋2)2－(2 n )2.∴(2 n ＋2)2－(2 n )2＝(2 n ＋2＋2 n )(2 n ＋2－2 n )＝(4 n ＋2)×2＝4(2 n ＋1).∴两个连续偶数的平方差能被4整除，但不一定能被8整除.∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是不成立的.
6. 观察下列各式：4×1×2＋1＝(1＋2)2；4×2×3＋1＝(2＋3)2；4×3×4＋1＝(3＋4)2；…
(1)根据你发现的规律，写出4×2 024×2 025＋1可以是哪个数的平方？
【解】4×2 024×2 025＋1＝(2 024＋2 025)2＝4 0492，即4×2 024×2 025＋1可以是4 049的平方.
(2)试猜想第 n 个等式，并通过计算验证它是否成立.
【解】猜想第 n 个等式为4 n ( n ＋1)＋1＝(2 n ＋1)2.∵4 n ( n ＋1)＋1＝4 n2＋4 n ＋1＝(2 n ＋1)2，∴猜想的等式是成立的.
题型四：新定义问题7. [2023·沈阳期末]设 a ， b 是实数，定义⊗的一种运算如下： a ⊗ b ＝( a ＋ b )2－( a － b )2，则下列结论：① a ⊗ b ＝ b ⊗ a ；②若 a ⊗ b ＝0，则 a ＝0且 b ＝0；③若 a ⊗ b ＝(－ a )⊗ b ，则 a ＝0或 b ＝0；④ a ⊗( b ＋ c )＝ a ⊗ b ＋ a ⊗ c .其中正确的个数是(　C　)
点拨：①∵ a ⊗ b ＝( a ＋ b )2－( a － b )2， b ⊗ a ＝( b ＋ a )2－( b － a )2＝( a ＋ b )2－( a － b )2，
∴ a ⊗ b ＝ b ⊗ a ，故①正确；
∴ a ＝0或 b ＝0，故②错误；
②∵ a ⊗ b ＝( a ＋ b )2－( a － b )2＝4 ab ＝0，
③∵ a ⊗ b ＝( a ＋ b )2－( a － b )2，(－ a )⊗ b ＝(－ a ＋ b )2－(－ a － b )2＝( a － b )2－( a ＋ b )2，
∴( a ＋ b )2－( a － b )2＝( a － b )2－( a ＋ b )2，
∴( a － b )2＝( a ＋ b )2，∴ a ＝0或 b ＝0，故③正确；
④∵ a ⊗( b ＋ c )＝( a ＋ b ＋ c )2－( a － b － c )2＝4 a ( b ＋ c )， a ⊗ b ＋ a ⊗ c ＝( a ＋ b )2－( a － b )2＋( a ＋ c )2－( a － c )2＝4 ab ＋4 ac ＝4 a ( b ＋ c )，∴ a ⊗( b ＋ c )＝ a ⊗ b ＋ a ⊗ c ，故④正确.
综上，正确的个数是3.故选C.
题型五：因式分解——十字相乘法
整式乘法与因式分解是方向相反的变形.即由( x ＋ p )( x ＋ q )＝ x2＋( p ＋ q ) x ＋ pq ，可得 x2＋( p ＋ q ) x ＋ pq ＝( x ＋ p )( x ＋ q ).利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”.例如：将式子 x2＋3 x ＋2分解因式.解： x2＋3 x ＋2＝ x2＋(1＋2) x ＋1×2＝( x ＋1)( x ＋2).
请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)分解因式： x2＋2 x －8；
解：(1)原式＝ x2＋(4－2) x ＋4×(－2)＝( x ＋4)( x －2).
(2)分解因式： x3－8 x2＋12 x ；
解：(2)原式＝ x ( x2－8 x ＋12)＝ x [ x2＋(－2－6) x ＋(－2)×(－6)]＝ x ( x －2)( x －6).
(3)若 x2＋ px －6可分解为两个一次因式的积，求整数 p 所有可能的值.
解：(3)∵－6＝(－1)×6＝1×(－6)＝2×(－3)＝(－2)×3，∴ p ＝－1＋6＝5或 p ＝1－6＝－5或 p ＝2－3＝－1或 p ＝－2＋3＝1，∴整数 p 的值可能为5或－5或1或－1.
题型六：因式分解——分组分解法
我们熟知的因式分解的方法有提公因式法、公式法和十字相乘法.但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了.因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解.再利用提公因式法或者公式法对整体进行因式分解.请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程：　－2 m2＋2 n2－4 m ＋4 n ＝(－2 m2＋2 n2)＋(－4 m ＋4 n )＝－2( m2－ n2)－4( m － n )＝－2( m － n )( m ＋ n )－4( m － n )＝－2( m － n )( m ＋ n ＋2).
请使用分组分解法解决下列问题：(1)分解因式： m2－ n2－3 m ＋3 n ；
解：(1) m2－ n2－3 m ＋3 n ＝( m2－ n2)－(3 m －3 n )＝( m ＋ n )( m － n )－3( m － n )＝( m － n )( m ＋ n －3).
(2)已知△ ABC 的三边 a ， b ， c 满足 b2＋ ab － bc － ac ＝0，请判断△ ABC 的形状并说明理由.
解：(2)△ ABC 是等腰三角形，理由如下： b2＋ ab － bc － ac ＝( b2＋ ab )－( bc ＋ ac )＝ b ( b ＋ a )－ c ( b ＋ a )＝( a ＋ b )( b － c )＝0，∵ a ＋ b ≠0，∴ b － c ＝0，即 b ＝ c ，∴△ ABC 是等腰三角形.
思想2 数形结合思想2. [2023北京石景山区期末]著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为 a ，宽为 b 的长方形拼成的正方形，其中 a ＞ b ＞0.根据图形写出一个正确的等式，可以表示为 ⁠ ⁠.
( a ＋ b )2－4 ab ＝( a －b )2(答案不唯一)　
3. 阅读材料：若 x2－2 xy ＋2 y2－8 y ＋16＝0，求 x ， y 的值.解：∵ x2－2 xy ＋2 y2－8 y ＋16＝0，∴( x2－2 xy ＋ y2)＋( y2－8 y ＋16)＝0.∴( x － y )2＋( y －4)2＝0.∴( x － y )2＝0，( y －4)2＝0.∴ y ＝4， x ＝4.根据你的观察，探究下列问题：
已知△ ABC 的三边长 a ， b ， c 都是正整数，且满足 a2＋ b2－4 a －6 b ＋13＝0，求 c 的值.
【解】∵ a2＋ b2－4 a －6 b ＋13＝0，∴( a2－4 a ＋4)＋( b2－6 b ＋9)＝0.∴( a －2)2＋( b －3)2＝0.∴ a －2＝0， b －3＝0.∴ a ＝2， b ＝3.∴1＜ c ＜5.∵ c 为正整数，∴ c ＝2或3或4.
4. 数学课上，老师用如图①中的1张边长为 a 的正方形纸片 A ，1张边长为 b 的正方形纸片 B 和2张宽与长分别为 a 与 b 的长方形纸片 C ，拼成了如图②所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
(1)由图①和图②可以得到的等式为 ⁠ (用含 a ， b 的等式表示)；
( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2(或 a2＋2 ab ＋ b2＝( a ＋ b )2)　
(2)莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为(2 a ＋ b )( a ＋2 b )的大长方形，求需 A ， B ， C 三种纸片各多少张；
【解】(2 a ＋ b )( a ＋2 b )＝2 a2＋4 ab ＋ ab ＋2 b2＝2 a2＋5 ab ＋2 b2.∴需纸片 A 2张，纸片 B 2张，纸片 C 5张.
(3)如图③， S1， S2分别表示边长为 p ， q 的正方形的面积，且 A ， B ， C 三点在一条直线上， S1＋ S2＝20， p ＋ q ＝6，求图中阴影部分的面积.
思想3 整体思想5. [2024北京海淀区一模]已知2 x2＋ x －1＝0，求代数式(2 x ＋1)2－2( x －3)的值.
【解】(2 x ＋1)2－2( x －3)＝4 x2＋4 x ＋1－2 x ＋6＝4 x2＋2 x ＋7.∵2 x2＋ x －1＝0，∴2 x2＋ x ＝1.∴4 x2＋2 x ＝2(2 x2＋ x )＝2.∴原式＝2＋7＝9.
1. [2024保定期末]若 am ＝2， an ＝3，则 am＋ n ＝(　C　)
2. [2023天津滨海新区期末]若 x2－ kx ＋9是完全平方式，则 k 的值等于(　B　)
3. [2024唐山期末]对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是(　D　)① a2＋ b2；② a2－ b2；③－ a2＋ b2；④－ a2－ b2.
4. [2023白城期末]如图，从边长为 a ＋3的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开后又拼成如图的长方形(不重叠，无缝隙)，则拼成的长方形的另一边的长为(　C　)
点拨：拼成的长方形的面积为( a ＋3)2－32＝( a ＋3＋3)( a ＋3－3)＝ a ( a ＋6).
∵拼成的长方形一边长为 a ，
∴另一边长是 a ＋6.故选C.
5. [2024保定期末]甲、乙两个同学因式分解 x2＋ ax ＋ b 时，甲看错了 b ，分解结果为( x ＋4)( x －8)，乙看错了 a ，分解结果为( x －2)( x ＋6)，则 a ＝ ， b ＝ ⁠.
6. [2024重庆北碚区期末]数形结合可以使代数问题与图形之间相互转化，我们学习的乘法公式也可以利用数形结合的思想解释.如图①，现有 A ， B ， C 三种卡片若干.
(1)观察图②，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式： ；
a2－ b2＝( a ＋ b )( a － b )　
(2)现用 x 张 A 卡片， y 张 B 卡片， z 张 C 卡片拼出一个长为2 a ＋3 b ，宽为 a ＋ b 的长方形，试求 x ， y ， z 的值；
解：(2)(2 a ＋3 b )( a ＋ b )＝2 a2＋3 ab ＋2 ab ＋3 b2＝2 a2＋5 ab ＋3 b2，∴一共需要 A 卡片2张， B 卡片5张， C 卡片3张，∴ x ＝2， y ＝5， z ＝3.