串讲 整式乘法（4大考点+9大题型剖析+5个易错+押题预测）2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲课件

这是一份串讲 整式乘法（4大考点+9大题型剖析+5个易错+押题预测）2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲课件，共60页。PPT课件主要包含了易错易混，题型剖析，考点透视，押题预测，四大常考点知识梳理，九大题型典例剖析，考点一整式的乘法，1系数相乘，考点二平方差公式，平方差公式等内容，欢迎下载使用。
五大易错易混经典例题+针对训练
精选5道期中真题对应考点练
1、单项式乘以单项式：
（2）相同字母的幂分别相乘
（3）只在一个单项式中现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.
单×单＝(系数×系数)(同底数幂×同底数幂)(单独的幂)
注意：（1）注意符号 （2）运算顺序 （3）防止遗漏
2、单项式与多项式相乘的法则
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
m(a+b+c)= ma+mb+mc (m，a，b，c都是单项式)
3、多项式与多项式相乘的法则
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差
左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数；
右边是相同项的平方减去相反项的平方.
(a+b)(a-b)=a2-b2
注意：公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是 单项式或者多项式.
考点三：完全平方公式
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2= a2 +2ab+b2(a-b)2= a2 - 2ab+b2
注：公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1、单项式除以单项式：
（2）相同字母的幂分别相除
（3）对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
单÷单＝(系数÷系数)(同底数幂÷同底数幂)(单独的幂)
注意：（1）注意符号 （2）运算顺序 （3）防止遗漏
(am +bm+cm) ÷m
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
2、多项式除单项式法
注意：两项相除时，先定符号.
题型一：单项式与单项式相乘
【例1】计算： （1）(－5a2b)(－3a)；　　　（2）(2x)3(－5xy2)．
解： (－5a2b)(－3a) ＝[(－5)×(－3)](a2·a)·b ＝15a3b；　　　
解： (2x)3(－5xy2) ＝8x3·(－5xy2) ＝[8×(－5)](x3·x)·y2 ＝－40x4y2．
注意:（1）系数相乘；（2）相同字母的幂相乘；（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与单项式的乘法法则
【变式】已知6an＋1bn＋2与－3a2m－1b的积与2a5b6是同类项，求m，n的值．分析：先将单项式相乘，再根据同类项的定义得到关 于m，n的方程．解：(6an＋1bn＋2)(－3a2m－1b)＝－18a2m＋nbn＋3，所以－18a2m＋nbn＋3与2a5b6是同类项．所以2m＋n＝5 ①，n＋3＝6 ②.由②解得n＝3，代入①解得m＝1.所以m＝1，n＝3.
【变式】有理数x，y满足条件|2x＋4|＋(x＋3y＋5)2＝0，求(－2xy)2·(－y2)·6xy2的值．解：由题意得2x＋4＝0，x＋3y＋5＝0，解得x＝－2，y＝－1.所以(－2xy)2·(－y2)·6xy2＝4x2y2·(－y2)·6xy2＝－24x3y6.当x＝－2，y＝－1时，原式＝－24×(－2)3×(－1)6＝－24×(－8)×1＝192.
【变式】计算：(1)(－3x)2－8x·2x； (2)(－4xy2)·(2x2y)2.
解：原式＝(－4xy2)(4x4y2)＝－16x5y4
解： 原式＝9x2－16x2＝－7x2
解：原式＝4ab2·(－a6b3)＝－4a7b5
题型二：单项式与多项式相乘
【例2】 计算：(1) 2ab(5ab2+3a2b)；(2) ；(3) 5m2n(2n + 3m－n2)； (4) 2(x+y2z + xy2z3)·xyz .解：(1) 2ab(5ab2+3a2b)=2ab·5ab2 + 2ab·3a2b =10a2b3 +6a3b2；
(3) 5m2n(2n + 3m－n2) =5m2n·2n +5m2n·3m－5m2n·n2 =10m2n2 +15m3n－5m2n3 ； (4) 2(x + y2z + xy2z3)·xyz =(2x +2 y2z + 2xy2z3)·xyz =2x·xyz +2 y2z·xyz +2xy2z3·xyz =2x2yz +2xy3z2 +2x2y3z4.
【变式】先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2.
解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2＝－28a2＋15a， 当a＝2时，原式＝－82.
【变式】化简求值：x(x2－1)＋2x2(x＋1)－3x(2x－5)，其中，x＝－1.
解：原式＝x3－x＋2x3＋2x2－6x2＋15x ＝3x3－4x2＋14x当x＝－1时，原式＝3×(－1)3－4×(－1)2＋14×(－1) ＝－3－4－14 ＝－21
题型三：多项式乘多项式
【例3】计算：(1) (1－x) (0.6－x)； (2) (2x + y) (x－y) .
解：(1) (1－x) (0.6－x)=1×0.6－1× x + x×0.6 + x·x=0.6－x－0.6x+ x2 =0.6－1.6x+ x2 ；
(2) (2x + y) (x－y) =2x·x－2x·y + y·x－y·y =2x2－2xy+xy－y2=2x2－xy－y2.
【变式】计算:(1)(3x+1)(x+2)； (2)(x-8y)(x-y)； (3) (x+y)(x2-xy+y2).
解： (1) 原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2 =3x2+6x+x+2
(2) 原式=x·x-xy-8xy+8y2
=x2-9xy+8y2；
(3) 原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2 =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 = x3+y3.
【变式】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.
【变式】计算：（1）x(x2+x-1)-(2x2-1)(x-4)．
解：原式=x3+x2-x-(2x3-8x2-x+4)=x3+x2-x-2x3+8x2+x-4=-x3+9x2-4.
（2）(x+5)(2x-3)-2x(x2-2x+3).
解：原式=2x2-3x+10x-15-2x3+4x2-6x=-2x3+6x2+x-15.
【例4】利用平方差公式计算：(1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)；(3) (－m+n)(－m－n) .解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2；(2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ；(3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .
= ( x + y)2 – z2
解： 原式=[( x + y) + z][( x + y) – z]
【变式】利用平方差公式计算：
( x + y+z)( x + y – z).
当 m = 2 时，原式 = 24 – 16 = 0
= (m2 – 4)(m2 + 4)
=(m + 2)(m – 2)(m2 + 4)
解:（1） (m + 2)(m2 + 4)(m – 2)
【变式】先化简，再求值 ：
(m + 2)(m2 + 4)(m – 2)，其中m = 2.
【变式】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
【变式】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1).
解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(24－1)(24＋1)(28＋1) ＝(28－1)(28＋1) ＝216－1
题型五：平方差公式与几何图形
【例5】如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
分析：直先计算图①中阴影部分面积为S1＝a2－b2，再计算图②中阴影部分面积为S2＝ (2b＋2a) (a－b)，然后根据面积相等得到乘法公式．解：(1) S1＝a2－b2， S2＝ (2b＋2a)(a－b) ＝(a＋b)(a－b)． (2) (a＋b)(a－b)＝ a2－b2.
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
【变式】王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
【变式】如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(　　)A.a(a－b)＝a2－abB.(a－b)2＝a2－2ab＋b2C.(a－b)2＝a2－b2D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
【变式】(1)如图①,可以求出阴影部分的面积是　　　 (写成两数平方差的形式); (2)若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,如图②,则这个长方形的宽是　　　　,长是　　　,面积是　　　　　 (写成多项式乘法的形式); (3)比较图①②中阴影部分的面积,可以得到什么结论?
结论:(a+b)(a-b)=a2-b2.
解: 原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)] = x2－(2y－3)2 = x2－(4y2－12y+9) = x2－4y2+12y－9.
【例6】运用乘法公式计算:(1) (x+2y－3)(x－2y+3) ;
(2) (a+b－5)2.
解：原式= [(a+b)－5]2 = (a+b)2－10(a+b)+52 = a2+2ab+b2－10a－10b+25
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61.
【变式】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
【变式】计算：　　　　　　　　　　　　　　(1)(3x＋5y)2;
解：原式＝(3x)2＋2·3x·5y＋(5y)2 ＝9x2＋30xy＋25y2
【变式】计算：　　　　　　　　　　　　　　(1)(4x－3y)2;
解：原式＝(4x)2－2·4x·3y＋(3y)2 ＝16x2－24xy＋9y2
题型七：完全平方公式的运用
【例7】七年级2班的49名同学准备定制统一的T恤去春游，据了解，一件T恤的价格为49元，班长小亮正在计算总的费用时，小明立马给出答案，2401元。你知道小明为什么算这么快吗？
【变式】计算：(1)(x+3)2－x2； (2) (a+b+3)(a+b－3)；(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .
解：(1) (x+3)2－x2= x2+6x+9－x2=6x+9
(2) (a+b+3)(a+b－3)= [(a+b) +3] [(a+b)－3] = (a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)= x2+10x+25－(x2－5x+6) = x2+10x+25－x2+5x－6= 15x+19 .
【变式】已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为a2＋b2＝13，ab＝6， 所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25； (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.
【变式】已知(a＋b)2＝19，ab＝2.(1)求a2＋b2的值；(2)求(a－b)2的值.
解：(1)(a＋b)2＝19则a2＋b2＋2ab＝19将ab＝2代入，得a2＋b2＋2×2＝19则a2＋b2＝15
(2)(a－b)2＝a2＋b2－2ab ＝15－2×2 ＝11
【变式】一个圆的半径长为r(r>2) cm，减少2 cm后，这个圆的面积减少了多少？
解：∵圆的半径长为r(r＞2) cm，减少2 cm后的半径变为(r－2) cm.则半径减少后圆的面积为：π(r－2)2＝π(r2－4r＋4)＝πr2－4πr＋4π.∴圆的面积减少了：πr2－(πr2－4πr＋4π)＝(4πr－4π) cm2.
题型八：单项式除以单项式
分析：（1）（2）直接运用单项式除法的运算法则；（3）要注意运算顺序：先乘方，再乘除；（4）鼓励学生悟出：将（2a+b）视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算．
(2)10a4b3c2÷5a3bc =(10÷5) a4-3b3-1c2-1=2ab2c；
(3)(2x2y)3·(-7xy2) ÷14x4y3 = 8x6y3·(-7xy2) ÷14x4y3 = -56x7y5 ÷14x4y3 = -4x3y2 ；
(4)(2a+b)4÷ (2a+b)2 = (2a+b)4-2 = (2a+b)2 = 4a2+4ab+b2 .
【变式】已知(－3x4y3)3÷ ＝mx8y7，求n－m的值 .导引：先利用单项式除以单项式法则计算等式左边的式子，再与等式右边的式子进行比较求解．解：因为 ＝18x12－ny7，所以18x12－ny7＝mx8y7.因此m＝18，12－n＝8.所以n＝4，所以n－m＝4－18＝－14.
题型九：多项式除以单项式
解：(1) (6ab+8b)÷2b = 6ab÷2b+8b÷2b = 3a+4 ；(2) (27a3-15a2+6a)÷3a = 27a3÷3a +(-15a2)÷3a +6a÷3a =9a2-5a+2 ；
解：(3) (9x2y-6xy2)÷3xy = 9x2y÷3xy +(-6xy2) ÷3xy = 3x -2y； (4)
(1) (3xy+y) ÷y
解：原式=3xy÷y+y÷y
(2) (12a3b2-6a2)÷3a
解：原式=12a3b2÷3a+(－6a2)÷3a
=4a2b2+(－2a)
(3) (12a3b2-6a2)÷(-3a)
解：原式=12a3b2÷(-3a)+(－6a2)÷(-3a)
【变式】化简求值：[(x－y)2＋y(4x－y)－8x]÷2x，其中，x＝8，y＝2 021.
【变式】化简求值：[(2x－y)(2x＋y)－(2x＋y)2]÷(－y)，其中，x＝2，y＝－3.
解：原式＝[4x2－y2－(4x2＋4xy＋y2)]÷(－y) ＝(4x2－y2－4x2－4xy－y2)÷(－y) ＝(－2y2－4xy)÷(－y) ＝2y＋4x当x＝2，y＝－3时，原式＝2×(－3)＋4×2＝－6＋8＝2.
易错点一：乘法公式的变形求值
易错点三：平方差公式与几何图形
易错点四：整式乘法的规律计算
易错点五：完全平方公式的综合