2025届广东省东莞市东华松山湖高级中学高三高考适应性测试（1）数学试卷（高考模拟）

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数学答案
12． 13． 2 14． 。
15．【详解】（1）由及正弦定理得
，即，
又，故，3分
因为，所以，所以，，
所以，所以6分
（2）由题意为圆内接四边形，所以，又，
由余弦定理得，所以，所以，8分
同理，，所以，
所以，10分
所以四边形面积为
，所以四边形面积最大值为13分
16．【详解】（1）将和代入椭圆C可得，
解得，
∴4分
（2）因为、，所以
由点斜式可知直线，即 ，…….6分
设点B到直线的距离为d，则即 , 解得6分
因为过P的直线交C于另一点B，可设,
则，
，
或，8分
当时，,解得 ，
当时，
此时;10分
当时，
此时;12分
当时，，解得，
所以,，此时;14分
综上所述或或15分
17．【详解】（1）证明：取线段的中点，连接、，
因为，，为的中点，则且，2分
因为为的中点，则且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，4分
因为平面，平面，所以，平面6分
（2）解：连接，因为，，为的中点，
则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，且，
因为，则，又因为，则，
因为，为的中点，则，
因为，，，所以，，
所以，，则，
又因为，、平面，所以，平面，8分
以点为坐标原点，、所在直线分别为、、轴建立如下所示的空间直角坐标系，
则、、、，10分
设，则，
，，设平面的法向量为，
则，取，可得，12分
，若直线与平面所成角的正弦值为，
则，整理可得，14分
因为，解得，故15分
18．【详解】（1）已知时，，根据求导公式得.
设切点为，切线斜率，由点斜式得切线方程.
把代入切线方程得，解得，则切线斜率，切线方程为5分
（2），定义域，. 6分
分类讨论单调性：
当时，，，；，，，
当时，，，；，，.
综上，函数在递减，在递增10分
（3）等价于，11分
由单调性知等价于，即.
构造函数分类讨论：令12分
时，，在上递减，，，矛盾.
时，得，，，递减，，矛盾.
时，，，递增，，矛盾15分
时，，，递增；，，递减，，不等式成立.所以取值集合为17分
19．【详解】（1）由已知，所有不超过正整数12，且与12互素的正整数有，共4个，所以，所有不超过正整数27，且与27互素的正整数有
，共18个，所以4分
（2）不超过，且与不互素的数有，共个
所以，则 ，
所以，①
则，②
①-②得：，
，所以10分
（3）①不超过，且与p不互素的数有，共q个；
不超过，且与q不互素的数有，共p个，11分
所以不超过，且与不互素的数有
，，其中重复的数有，
所以.13分
② 不超过，且与p不互素的数有，共个；
不超过，且与q不互素的数有，共个，
所以不超过，且与不互素的数有
，，15分
其中重复的数有，共有个，
所以17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
D
D
B
A
A
B
AC
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