浙江省六校联盟2025届高三下学期5月模拟考试 数学 含答案

这是一份浙江省六校联盟2025届高三下学期5月模拟考试 数学 含答案，共8页。试卷主要包含了 考试结束后，只需上交答题卷，635，879等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．
1．已知集合A={x∣−1≤x≤4}，B=x3x≤1，则A∩B=（ ▲ ）
A．3,4B．[−1,0)∪3,4C．−∞,0∪[3,+∞)D．[−1,0)
2．已知复数1+2iz=i2025（i是虚数单位），则z=（ ▲ ）
A．35B．55C．3D．5
3．已知向量a=1,m+4,b=4,2，若a+b=a−b，则a=（ ▲ ）
A．5B．3C．5D．3
4．函数fx=cs2x+2sinx在−π,π上的图象是（ ▲ ）
A．B．C．D．
5．已知圆O:x2+y2=9，则“点Ma,b在圆O外”是“直线ax+by=1与圆O相交”的（ ▲ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，atanB+atanA=−2ctanA，则B=（ ▲ ）
A．π3B．2π3C．π6D．5π6
7．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与C的左、右支分别交于M,N两点，且MN⊥NF2,OM//NF2，其中O为坐标原点，则C的离心率为（ ▲ ）
A．5B．17C．4D．13
8．若负实数t满足：对于任意a∈−4,t，总存在b,c∈−4,t，使得ab+c=1，则t的范围是（ ▲ ）
A．−4,−54B．−54,−13C．−5,−13D．−5,−4
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正数a,b满足2a+b=1，则（ ▲ ）
A．ab≤116B．1a+2b≥8
C．2a+b≤2D．a2+b2≥15
10．若各项为正的无穷数列an满足：对于∀n∈N∗,an+12−an2=d，其中d为常数，则称数列an为等方差数列．那么（ ▲ ）
A．2n是等方差数列
B．若数列an是等方差数列，则数列an2是等差数列
C．若数列an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
D．若数列an是等方差数列，则数列akn（k∈N∗，k为常数）也是等方差数列
11．设函数fx=2x−a2x−2，则（ ▲ ）
A．x=a是fx的极值点B．当a=12时，f2−x+fx=−1
C．当a>2时，fsin2x≤fx2D．当a=−1时，fsin2x≥fx2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填在答题卷的相应位置．
12．二项式1x−x36的展开式的常数项是 ▲ ．
13．已知三棱锥的侧棱两两夹角都等于60∘，三个侧面三角形的面积分别为S1,S2,S3，满足
S1=2S2=2S3=3，则三棱锥的体积是 ▲ ．
14．盒子中有3个红球，4个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入5个同色球，则第三次取出红球的概率为 ▲ ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春．又到春暖花开时，校园的樱花如约而至．浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫．师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光．每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”．从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示：
（1）求m的值；
（2）根据小概率值α=0.01的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？
（3）现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：参考公式：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
16．（15分）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，C上动点P到点F的最小距离为1．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，O为坐标原点，S△AOB=433，求AFBF的值．
17．（15分）如图，棱长为2的正四面体A−BCD中，P为直线CD上的动点，满足PD=λCD．
（1）若λ=32，证明：平面PAB⊥平面ABD；
（2）若直线CD与平面PAB所成夹角为45∘，求线段PA的长度．
18．（17分）已知函数fx=x+alnx+1a∈R,gx=lnx−bxb>0．
（1）若a=2，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
（2）当x>0时，fx>2x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若存在x1,x2∈0,+∞，使得gx1=gx2x1≠x2．证明：x1+x2>2b．
19．（17分）对于一个严格递增的无穷正整数数列an，如果对每个正整数n，这个数列前an项的平均数为an，则称这个数列是“中立的”．数列bn的通项公式为bn=2n−1n∈N+．
（1）证明：数列bn是“中立的”；
（2）证明：对于任意一个“中立的”数列an，对任意正整数n，均有
aan+1+aan+2+⋯+aan+1=ban+1+ban+2+⋯+ban+1；
（3）证明：对于任意一个“中立的”数列an，均存在无穷多个正整数n，使得an=bn．
2025年全国高考数学模拟卷参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填在答题卷的相应位置．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】
（1）由题意可得5m+5=30，解得m=5．
（2）零假设H0：“樱花迷”与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到：K2=8025×10−5×40230×50×65×15≈0.1370，所以y1+y2=4my1y2=−4，
由S△AOB=12OFy1−y2=1216m2+16=433，解得m2=13，
由y1+y22y1y2=y1y2+y2y1+2=−43，解得y1y2=−13或-3，
所以AFBF=13或3．
17．【解析】
（1）取AB中点M，CD中点O，连PM，AO，MD，
由正四面体A−BCD，可得MD⊥AB,AO⊥CD，
因为AD=BD,∠ADP=∠BDP,DP=DP，
所以△ADP≅△BDP，所以AP=BP，所以PM⊥AB．
由AO⊥PO,λ=32，可得AO=3,PO=2,AP=7，所以PM=6，
所以PM2+MD2=PD2，所以PM⊥MD．
又因为AB∩MD=M，所以PM⊥平面ABD，
所以平面PAB⊥平面ABD．
（2）方法一：
由（1）PM⊥AB,MD⊥AB，所以AB⊥平面PMD，所以平面ABP⊥平面PMD，
又因为平面ABP∩平面PMD=MP，作DH⊥MP，则DH⊥平面ABP，
所以∠DPM即为直线CD与平面PAB所成线面角的平面角，即∠DPM=45∘，
因为AO⊥CD,BO⊥CD，所以CD⊥平面ABO，
所以CD⊥MO，所以PO=MO=2，所以AP=5．
方法二：
如图，以O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为x，y轴，过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则B3,0,0,A33,0,263,C0,1,0,D0,−1,0，
设P0,t,0，则AB=233,0,−263,PB=3,−t,0,DC=0,2,0，
设平面ABP的法向量为n=x,y,z，则AB⋅n=0PB⋅n=0，解得n=2t,6,t，所以sinθ=csDC,n=DC⋅nDC⋅n=2623t2+6=22，解得t=2，所以AP=5．
18．【解析】
（1）当a=2时，fx=x+2lnx+1，f'x=lnx+1+x+2x+1，所以f'0=2．
又因为f0=0，所以切线方程为y=2x．
（2）设ℎx=fx−2x=x+alnx+1−2x，只需ℎx>0在x>0时恒成立即可，
又ℎ'x=lnx+1+a−1x+1−1，且ℎ0=0，所以ℎ'0=a−2≥0，即a≥2．
下面证明a≥2的充分性：
①当a≥2时，由x>0，ℎx=x+alnx+1−2x≥x+2lnx+1−2x，
令φx=x+2lnx+1−2x,x>0，所以φ'x=lnx+1+1x+1−1，
所以φ''x=1x+1−1x+12=xx+12≥0，
所以φ'x在[0,+∞)上单调递增，则φ'x≥φ'0=0，
所以φx在[0,+∞)上单调递增，则φx≥φ0=0，所以ℎx≥φx≥0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是[2,+∞)．
（3）方法一：由函数gx=lnx−bx．可得g'x=1x−b，
设x10时，lnx+1>2xx+2，则x>1时，lnx>2x−1x+1，
所以lnx>2x−1x+1，则lnx=2lnx>4x−1x+1，所以lnx2x1>4×x2x1−1x2x1+1=4×x2−x1x2+x1，
代入可得：4×x2−x1x2+x10，
所以ℎt在1,+∞上单调递增，则ℎt>ℎ1=0，
综上所述，x1+x2>2b．
19．【解析】
（1）证明：因为bn的前bn项平均数为1+3+⋯+2bn−1bn=bn2bn=bn，所以数列bn是“中立的”
（2）证明：因为ban+1+ban+2+⋯+ban+1=ban+1+ban+1an+1−an2=an+12−an2，
又由题意，a1+a2+⋯+aanan=an,a1+a2+⋯+aan+1an+1=an+1，
所以aan+1+aan+2+⋯+aan+1=an+12−an2=ban+1+ban+2+⋯+ban+1．
（3）证明：若存在无数多个n，使得an+1−an=1，
则aan+1=San+1−San=an+12−an2=2an+1=2an+1−1，
所以对于这些an+1,aan+1=ban+1，命题成立．
若只有有限个n，使得an+1−an=1，则存在N1∈N+，当n≥N1时，an+1−an≥2，
又由（2），若对于任意的n≥N1,anN1时，aan+1+aan+2+⋯+aan+12N3−1，则当n≥N3,an>2n−1，
当an>N3时，aan+1+aan+2+⋯+aan+1>ban+1+ban+2+⋯+ban+1矛盾．
所以当n≥N2,an=2n−1恒成立，命题得证．
樱花迷
非樱花迷
男
5m
5
女
40
2m
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
C
A
A
B
D
B
9
10
11
BCD
BCD
BC
12
13
14
53
23
37
X
0
1
2
P
715
715
115