北京市中央民族大学附属中学（朝阳）2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

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一、单项选择题.本题共10道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.（每小题4分，共40分）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式求解即可．
【详解】，
故选：B．
2. 已知，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可得解.
【详解】向量，，所以.
故选：A
3. 已知角终边上一点坐标为，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数的定义求解即可．
【详解】由正弦函数的定义得，，
故选：C．
4. 已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件可得，进而确定角所在象限.
【详解】由点位于第三象限，得，
由，得角是第二、四象限角；由，得角终边在及左侧，
所以角为第二象限角.
故选：B
5. 集合中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按取偶数、奇数分类确定角的终边所在的象限即可得解.
【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一致；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一致，
因此集合中角表示的范围所对图形是选项C反应的.
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由同角三角函数的商数关系得，构造齐次式求解即可．
【详解】由得，，
则，
故选：A．
7. 若在四边形中，满足，且，则四边形的形状一定是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量加减法的运算及数量积的运算律即可求解．
【详解】由得，，即四边形为平行四边形，
又，所以，
整理得，即，
所以四边形为矩形，
故选：B．
8. 已知、为同一平面中两个向量，满足，，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求，根据，可求的范围.
【详解】,
因为，则，
所以，
所以的范围为.
故选：D
9. 在同一平面中的角和角满足“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角基本关系式和诱导公式分别判断充分性和必要性.
【详解】判断充分性：若，
根据同角基本关系式，所以，
当时，或，
当时，或，
所以充分性不成立，
判断必要性：若，
则，
所以，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
10. 在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后将每个点用坐标的形式表示出来，根据条件，列出等式，并化简，最后求出的取值范围.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则
设,.
则.
因为，所以.
化简得：.
解得：.
所以.
因为，所以.
所以
故选：B.
二、填空题，本题共5道小题（每小题4分，共20分）
11. 已知向量，，，则_________，求=_________．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】由向量共线的坐标关系求出，由数乘和模的坐标运算求出即可.
【详解】因为，所以，
又，则.
故答案为：6；.
12. 已知扇形的周长为16，圆心角为2，求扇形的面积为_________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据给定条件，利用弧长公式求出半径，进而求出面积.
【详解】设扇形半径为，依题意，，解得，
所以扇形的面积.
故答案为：16
13. 已知和关于对称，写出一个满足条件的___________
【答案】（答案不唯一，）
【解析】
【分析】根据给定条件，列出等式，利用和角公式化简即得.
【详解】点和关于对称，
则，由，得，则，，
由，得，则， ，
因此，取.
故答案为：
14. 以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数定义及两角和的正弦余弦公式即可求解．
【详解】设与非负半轴夹角为，
由任意角的三角函数定义，得，且，
沿逆时针方向运动弧长，由弧长公式得，沿逆时针方向旋转，
因为，
则，
故答案为：
15. 关于函数，给出以下四个结论：
①函数的最大值为3；
②函数的最小正周期为；
③函数在上单调递增；
④当，的解集里有6个元素.
其中正确的结论序号有___________
【答案】①③④
【解析】
【分析】讨论的范围去掉绝对值可得到，结合的图象逐项分析可得答案.
【详解】其图像如图，
由图像知，函数的最大值为3；最小正周期为；在上单调递增；，方程有6个不等的实数根.
故①③④正确；②不正确.
故答案为：①③④.
三、解答题，本题共4道小题.（每小题10分，共40分）
16. 已知角为第二象限角，且，求：
（1）和的值；
（2）的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可；
（2）根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可求解．
小问1详解】
因为角为第二象限角，所以，
所以．
【小问2详解】
．
17. 已知函数.
（1）求的定义域.
（2）求的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求解的范围；（2）根据初等函数的性质求解的范围.
【小问1详解】
根据题意可得，，
则,
故的定义域为.
【小问2详解】
由（1）可知，，故，
所以，
故的值域为
18. 如图在直角中，，，，点平面中一点．
（1）若，请用和来表示．
（2）若，求和的面积之比．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算即可求解；
（2）根据平面向量线性运算及三点共线即可求解．
【小问1详解】
由题得，，．
【小问2详解】
延长交于点，如图所示，
设，则由，得，
由三点共线，可得，解得，
则，得，即，
所以．
19. 已知集合．对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为．说明：的充要条件是．
（1）当时，设，求；
（2）若，且存在，使得，求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据定义即可求解；
（2）根据定义及得出，即可证明．
【小问1详解】
根据定义得．
【小问2详解】
由得，，
又，故与同号，则与，同号，
所以对于每一个分量，
所以，即．
考
生
须
知
1. 本试卷共2页，共三道大题，19道小题.满分100分.考试时间90分钟.
2. 在试卷和答题纸上填写班级和姓名.
3. 试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效.
4. 在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其余题用黑色字迹签字笔作答.
5. 考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回.