北京市中国农业大学附属中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每道题只有一个最佳选项）
1. 在中，M是的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加法法则计算．
【详解】如图，作平行四边形，因为M是的中点，所以M也是的中点，则.
故选：C.
2. 若，，则等于（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直接求解.
【详解】因为，，
所以.
故选:D.
3. 设， 是两个不共线的向量，已知，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线B. B，C，D三点共线
C. A，B，D三点共线D. A，C，D三点共线
【答案】C
【解析】
【分析】借助向量线性运算与共线基本定理即可得.
【详解】，故，故，
又、有公共点，故A，B，D三点共线.
故选：C.
4. 已知向量，.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标表示计算可得结果.
【详解】由向量平行的坐标表示可得，
解得.
故选：C
5. 若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析阴影部分的两条边界对应的内角的终边，然后直接写出范围即可.
【详解】阴影部分的两条边界分别是角的终边，所以的取值范围是.
故选D.
【点睛】本题考查根据阴影求角的范围表示，难度较易.求解角的范围时，注意两个点：（1）终边对应的范围内的角；（2）按逆时针方向表示.
6. 在四边形中，，设.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出草图，过作，又．可得四边形是平行四边形． ，根据．可得 ，又，可得，据此即可得出结果．
【详解】如图所示，
过作，又．
∴四边形是平行四边形．
， 又．
，
又，则 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7. 数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误.
【详解】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
8. 在中，为边上的中线，为的中点．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】因为中，为边上的中线，为的中点，
所以，
故选：A．
9. 已知，，，且，则的值为（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求再根据向量平行坐标表示列式，即可得结果.
【详解】因为，，
所以
因为，
所以
故选：A
【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.
10. 在中，D为AC的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据得到，再根据可求出结果.
【详解】因为，所以，所以，
.
故选：D
11. 已知为所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】由题意作出图形,如图,则
，
故选：A.
12. 在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意，应用向量加减、数乘几何意义逐项判断即可得.
【详解】对A：，故A正确；
对B：由，故，故，
则，故B正确；
对C：由，故，
故C错误；
对D：，故D正确.
故选：C.
二．填空题（将答案写在横线上）
13. 如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量________
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量基本定理即可求得结果.
【详解】易知，显然；
可得；
故答案：
14. 如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
分析】设，利用将用表示出来，再利用平面向量基本定理列方程组计算即可.
【详解】∵是上的一点，
设，又 ，
则
．
∴，，
解得，．
故答案为：．
15. 已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系求得向量的坐标表示联立方程组即可求得，可得结果.
【详解】以为坐标原点，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：

易知，
则，
由可得，解得；
可得.
故答案为：
16. 将化为的形式是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件直接计算即可.
【详解】因为,
故答案为：
17. 本次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了_____弧度
【答案】
【解析】
【分析】由角度制和弧度制之间互化可得答案.
【详解】本次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了，
即.
故答案为：.
18. 如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且，则x的取值范围是___；当时，y的取值范围是___.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以的反向延长线为相邻两边，得到x的取值范围，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到y的取值范围.
【详解】解：如图，,点在射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以的反向延长线为相邻两边，
故x的取值范围是；
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，,
故y的取值范围是：.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.
三、解答题（写出必要的计算、证明及推理过程）
19. 已知，向量，.
（1）如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；
（2）若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解；
（2）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解.
【小问1详解】
设点C的坐标为，
因为，，，可得，
则，
若四边形OACB为平行四边形，可得，
则，解得，
故点C的坐标为.
【小问2详解】
设点P的坐标为，
由（1）可知：，则，
若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则，
则，解得，
故点P的坐标为.
20. 在平面直角坐标系中，已知角终边经过点.
（1）求、、的值；
（2）设，角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
【答案】（1）答案见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）分，两种情况，根据三角函数的定义即可求解.
（2）先根据题意得出；再利用诱导公式即可求解.
【小问1详解】
因为在直角坐标系中，角的终边经过点，
所以.
当时，，此时，，；
当时，，此时，，；
综上可得：当时， ，，；
当时，，，.
【小问2详解】
由（1）知：当时，.
因为角的终边与角的终边关于轴对称，
所以.
则.
21. 如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.
（1）用向量，表示；
（2）设向量，，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可；
（2）用，表达，结合三点共线即可求得.
【小问1详解】
∵为中线上一点，且，
∴
；
【小问2详解】
∵，，，
∴，又，，三点共线，
∴，解得，故的值为.
22. 如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点.
（1）若，则的值
（2）若为中点，连接，交于点，求证.
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系利用向量的坐标表示联立方程组解得；
（2）利用三点共线求出，即得.
【小问1详解】
如下图，以点为坐标原点，分别以方向为轴正方向建立平面直角坐标系，
则，
则，
由可得，
即，解得，
因此；
【小问2详解】
易知，设，
易知三点共线，可得，即，
可得，即，
又三点共线，且，
所以，解得，则，
所以，，易知；
即可得.